浙教版七年级上册数学 第1讲 有理数同步学案

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第1讲 有理数
一、小题精检
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 0是相反数 B.a的相反数不是正数就是负数
C.若x与y互为相反数， 则x+y=0 D.a+b=0，则a=b=0
2. 用最小的正整数、最小的正奇数、最小的非负数和最小的正偶数组成的四位数中，
最大的一个数是（ ）
A. 2101 B.2110 C.1012 D.2011
3. 超市里有10kg的大米三袋，检查人员把超过标准质量的记作正数，他一边称质量，
一边在本子上标着—0.5，—0.3，+0.4，则这三袋米的实际质量分别为________，
________，________.
4. 如果数轴上的A点所对应的数为-3，那么与点A相距2个单位长度的点B所对应的
数是________.
5．将下列各数填入的相应的大括号内：
﹣，13，﹣6，24.3，﹣721，+2008，+，﹣7.8，3
正数： { } 负数： { }
正整数： { } 负整数： { }
正分数： { } 负分数： { }
6．观察下面每组数，按某种规律填上适当的数：
（1）﹣ ，﹣ ，﹣，________， ________；
（2）1，0，2，1，3，2，4，________.
7. 已知a、b互为相反数，且|a﹣b|=6，求b﹣1的值是________.
8. 三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，
试求a、b的值。





二、考点精讲
考点一：正数和负数，为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，大
于零的数就叫做正数；把另一种与之意义相反的量规定为负，大于零的数前面
放上负号“—”，叫做负数。
考点二：0既不是正数，也不是负数。
考点三：数轴，规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

考点四：相反数，从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个
数叫做互为相反数；若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a
与b互为相反数；0的相反数是0，也只有0的相反数是它的本身。
考点五：有理数的分类
★按有理数的定义

★按正数、负数与零的关系

【重要提示】
对“0”的理解：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界线，但它是自
然数，是整数，既属于非负数集合，又属于非正数集合，它是最小的自然数。
2.经常用到的概念：
（1）非负数：正数和0统称非负数。
（2）非正数：负数和0统称非正数。
（3）非负整数：正整数和0统称非负整数，即自然数。
（4）非正整数：负整数和0统称非正整数。

三、考点精练
考点1：有理数的分类
例1．把下列各数填在相应的括号内：
﹣12 ，+5，﹣63，0，﹣1213 ，245 ，6.9，﹣7，210，0.031，﹣43，﹣10%
整数 （ ） 正数 ( )
非负数（ ） 负分数 ( )
例2.请在横线上填上适当的数．
2，5，8，11，______；
1，3，6，10，______；
1，2，4，7，11，______.
例3.某商店以每件60元的价格出售两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，
那么这两件衣服卖出后是盈利还是亏损？




考点2：数轴
例1．下列判断正确的个数有（ ）
a.在数轴上找不到最大的正整数点
b.在数轴上找不到最小的正整数点
c.在数轴上+2和-2间只能找到两对相反数
d.在数轴上能找到一个既不表示正数也不表示负数的点
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2．已知数a.b在数轴上的位置如图所示，那么在下列四个数的大小关系是（ ）

A.a>b>-b>-a B. -aa>b>-a D. –a<-b例3．已知A，B，P均在数轴上，点P对应的数是-5，线段AP的长是3个单位长度，
线段BP的长是7个单位长度，则线段AB的长为________个单位长度.


例4．某水利勘察队勘测一条河，第一天向上游走了5千米，第二天又向上游走了5
千米，第三天计划有变，勘测队开始向下游行走，第三天向下游走了4千米，第四天
又向下游走了3千米，这时勘察队位于出发点的哪个方向？距离出发点多少千米？







考点3:相反数
例1．一个数在数轴上所对应的点向左移动2016个单位后，得到它的相反数对应的
点，这个数是（ ）
A. 2016 B.﹣2016 C.1008 D.﹣1008
例2．若3x-2与-x+3互为相反数，则x=________.




考点4:零的特殊性
例1．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为________.

例2.若表示一个整数，则整数x可取值共有( ).
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
例3. x是任意有理数，则2|x|+x 的值( ).
A.大于零 B. 不大于零 C. 小于零 D.不小于零




四、课后精炼
第一组
一、选择题
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.正整数和负整数统称为整数
B.正有理数和负有理数统称为有理数
C.整数和分数统称为有理数
D.有理数包括整数、分数和0
2. 在15,- ，0.15，-30，-12.8，中，负分数的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 下列说法正确的是（ ）
A.符号相反的两个数互为相反数 B. 与互为相反数
C.3与-3.5互为相反数 D.a+1的相反数是-a+1
4. 如图在数轴上表示5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2013年8
月8日20时应是（　　）



A．伦敦时间2013年8月8日11时 B．巴黎时间2013年8月8日13时
C．纽约时间2013年8月8日5时 D．汉城时间2013年8月8日19时
二、填空题
5. 如果将点A向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0,
那么点A表示的数是 　　　　　　．
6. 在时钟上，若把时钟从钟面数字“3”开始,按顺时针方向拨到“9”,记做+周,那
么把时针从钟面数字“3”开始,拨了—周后,该时刻时针所指的钟面数字是 ．

7. 观察下列各式：
12+1=1×2=2，
22+2=2×3=6，
32+3=3×4=12，
…
试猜想：992+99= × = .
8. 按规律填空：-1，，-2，，-3，，…，-2016,__________，___________，___________.三、解答题
9. 出租车司机小张某天下午营运全在南北走向的大街上行驶,如果规定向北为正,向南为负,这天下午行车里程如下（单位：km）：+6,+8,-5,+10,-9,+12,+7,-15,-4
（1）将最后一名乘客送到目的地时,距上午营运起始点的距离为多少千米?
（2）若每千米的营运额为4元,这天下午该司机的营业额为多少?
（3）若成为本1.2元/千米,这天下午他盈利多少元?

　





10. 请你观察下列数的排列规律，并回答问题：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……
请问第20个数是几？
请你算出前16个数的和。



第二组
一、选择题
1．已知4个矿泉水瓶可以换一瓶矿泉水，现有16个空矿泉水瓶。若不交钱，最多可以喝
几瓶矿泉水（ ）
A. 3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
2．数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1㎝，若在这个数轴上随意画一条
长为2014㎝的线段ab,则线段ab盖住的整点的个数是（ ）
A、2011或2012 B、2012或2013 C、2013或2014 D、2014或2015
3. 金老师设计了一个计算机程序，输入和输出的数据如下：

那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ）
A. B . C. D.
二、填空题
4. 如图，圆圈内分别标有：0，1，2，3，4，…，11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，
可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，
按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是________。
(?http:?/??/?d.hiphotos.baidu.com?/?zhidao?/?pic?/?item?/?d6ca7bcb0a46f21fbd7755e1f5246b600d33aec4.jpg" \o "\"点击查看大图\" \t "_blank?)
5. 将1，﹣3，5，﹣7，9……按如图的方法进行排列.

若把—23的位置记为（3，2），﹣15的位置记为（2，3）,则这列数中2013的位置为
______.
6． 如图若把面积为1的正方形进行分割，每次都是四等分共分3次，求图中阴影部分的
总面积是______.

7. 观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，…将这列数排成下列形式：

按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______.
三、解答题
8．有一种“二十四点”的游戏,其游戏规则是这样的：任取四个1至10之间的自然数，将
这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算,使其结果等于24，例如对
1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24.
现有四个有理数3，4，—6，10，请运用上述规则写出三种不同方法的算式，可以使用
括号，使其结果等于24.




9. 观察下面一列数，探索其规律.
1，﹣，，﹣，，﹣，…
（1）写出这列数的第9个数；
（2）第2014个数是什么数？
（3）如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越近？

10. 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）
用求和符号可表示为 ；
（2）计算：






【提高训练】
1. 把一个正方形的纸盒沿着它的棱剪开，可以得到如图所示的平面展开图。
已知这个正方形相对面上的两个数都互为相反数。请你把下列各数填入每
个小正方形中：5，-7，1，-5，-1，7．


2. 有50个同学，头上分别戴有编号1，2，3，…，49，50的帽子．他们按编号从小到大
的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：从1号开始按顺时针方向“1，2，1，2…”报数，
报到奇数的同学退出圈子，报到偶数的同学留下。一圈下来后，接着又从编号最小的人
重新开始“1，2，1，2，…”报数，报到奇数的同学退出圈子。经过了若干轮后，圆圈
上只剩下了一个人，那么，这位同学原来的编号是______．
3. 在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
（1）当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数．
①数轴上原点的位置可能（　　）
A、在点A左侧或在A、B两点之间
B、在点C右侧或在A、B两点之间
C、在点A左侧或在B、C两点之间
D、在点C右侧或在B、C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，则a=　 　．
（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，100时，对应的a的值分别为a1，a2，a3，…a100，则a1+a2+a3+…+a100=　 ．

4. 自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等你探索。比如：对任意一个自然数，
先将其各位数字求和，在将其乘以3后加1，然后对所得的结果多次重复这种操作
运算,，最终的结果会得到一个固定不变的数——“黑洞”，没有一个自然数能逃出
它的“魔掌”。试求这个固定不变的数。











第1讲 有理数
参考答案
一、小题精检
1. C
2. B【分析】最小的正整数是1，最小的正奇数是1，最小的非负的数是0，最小的正偶
数是2.
3. 9.5 kg ，9.7 kg ，10.4 kg.
4. -5或1
【解答】如图所示：


与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为1或-5.
5. 正数 { 13，24.3，+2008，+ ，3 }负数 {﹣，﹣6，﹣721，﹣7.8 }
正整数 { 13，+2008 } 负整数 {﹣6，﹣721 }
正分数 { +，24.3，3 } 负分数 { ﹣，﹣7.8 }
6. (1)—，— （2）3
7. 2或﹣4
【解答】∵a、b互为相反数，∴a+b=0即a=﹣b．
当b为正数时，∵|a﹣b|=6，∴b=3，b﹣1=2；
当b为负数时，∵|a﹣b|=6，∴b=﹣3，b﹣1=﹣4．
8. 解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的元素分别对应相等．于是可以判定与中有一个是0，中有一个是1，但若，会使无意义，∴，只能，即，于是．只能是，于是＝－1。
三、考点精练
考点1：
例1. 整数（﹣12 ，+5，﹣63，0，﹣1213 ，245，﹣7，210，﹣43）
正数 (+5，245，6.9，210，0.031)
非负数（+5，0，245 ，6.9，210，0.031）
负分数 (﹣10%　)
例2. 14，15，16．
【分析】①从第二个数开始，每一个数都等于前面的数加上3；
②从第二个数开始，每一个数都等于前面的数对应加上2、3、4、5、6…；
③从第二个数开始，每一个数都等于前面的数对应加上1、2、3、4、5…；
由此规律得出答案即可．
例3. 亏损
【分析】先把第一件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1+25%），它对应的数量是60元，由此用除法求出成本价，进而求出赚了多少钱；再把第二件衣服的成本价看成单位“1”，售价是成本价的（1-25%），它对应的数量是60元，由此用除法求出成本价，进而求出赔了多少钱；
再把赚的钱数和赔的钱数比较即可．
【解答】60÷（1+25%）=60÷125%=48（元）；
60-48=12（元）；
60÷（1-25%）=60÷75%=80（元）；
80-60=20（元）；12＜20；所以卖这两件衣服总的是亏损．
考点2：
例1．B【解答】a. 数轴上的点与实数一一对应，在数轴上找不到最大的正整数点.
b.错。1是最小的正整数.
c. 正负分数也可能构成相反数，如﹣1.5与1.5，﹣与 等.
d．0既不是正数，也不是负数.　
例2．B
【分析】首先根据a与-a，b与-b在数轴上的位置关于原点中心对称，在数轴上标出-a，-b的位置，然后根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，故选B．
例3．4或10【分析】此题考查数轴上点的位置关系，注意分类讨论
【解答】（1）如下图,AB=AP+BP=7+3=10

(2)如下图,AB=BP-AP=7-3=4

例4．3千米
【分析】这是一道正负数的混合运算题，向上游走为正，向下游走为负，列出算式计算即可求解，或者也可根据实际问题，画出数轴解答。
【解答】5+5-4-3=3（千米）
考点3：
例1. C
【解答】一个数在数轴上所对应的点向左移动2016个单位后，得到它的相反数，即这个数和它的相反数在数轴上对应的点的距离是2016个单位长度．且这两个点到原点的距离相等，这个点在原点的右侧，所以这个数是1008.

例2. -0.5
【分析】根据互为相反数的两个数的和是0，可得（3x-2）+（-x+3）=0，据此求出x的值是多少即可．
【解答】因为3x-2与-x+3互为相反数，
所以（3x-2）+（-x+3）=0 2x+1=0 2x+1-1=0-1 2x=-1
2x÷2=（-1）÷2
x=-0.5
考点4：
例1. -1，0，1，2
【解答】由数轴上被污染的部分的范围可知，被污染的部分内含有的整数就是大于-1.3小于2.6的整数，有-1，0，1，2共四个.
例2.D
例3.D
四、课后精练
第一组
1. C【解答】整数和分数统称为有理数, 故选C．
2. B
3. C
4. B
【解答】A、伦敦时间20-8=12，为2013年8月8日12时，故A错误；
B、巴黎时间20-（8-1）=13，为2013年8月8日13时，故B正确；
C、纽约时间20-[8-（-5）]=20-13=7，为2013年8月8日7时，故C错误；
D、汉城时间20+（9-8）=20+1=21，为2013年8月8日21时，故D错误．
5. 2
6. 11【解答】若把时针从钟面数字3开始，按顺时针方向拨到9，记做+周, 那么把时针从钟面数字3开始，拨了—周即倒走了4小时, 故时针指向11．
7．99，100，9900
【分析】根据已知的式子，可以得到首先提取两个加上的公因数，然后相乘．
【解答】992+99
=99×（1+99） =99×100=9900．
8. ,﹣2017，
9. 【解答】(1)正表示他往北开,负表示他往南开（返回来了）,所以,只需要将这天下午的行车里程相加.即：（+6）+（+8）+（-5）+（+10）+（-9）+（+12）+（+7）+（-15）+（-4）=10（KM）
(2)首先,求司机今天下午跑了多少路程.无论是往南还是往北走,都需记录.即：
6+8+5+10+9+12+7+15+4=76 KM,所以总营业额 76X4=304元
(3)今天的总成本：76 X 1.2 =91.2 元,根据第二问求出的总营业额,可得盈利：304-91.2=212.8.
10. (1) 6 (2) 61
【分析】根据规律可写出接下来的数字：5555,666666,7777777,88888888
【解答】所以第20个数字是6.
前16个数字之和为1+2×2+3×3+4×4+5×5+6=61.

第二组
1. C
【分析】4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，16个矿泉水空瓶可换4瓶矿泉水，喝完后又得4个空矿泉水瓶，又可换一瓶，喝完后得一空瓶．所以最多可以喝矿泉水5瓶．
【解答】16个空瓶可换16÷4=4瓶矿泉水；4瓶矿泉水喝完后又可得到4个空瓶子，可换4÷4=1瓶矿泉水；
因此最多可以喝矿泉水4+1=5瓶.
2. D
【分析】此题应考虑线段ab的端点正好在两个整数点上和两个端点都不在整数点上两种情况．
【解答】①当线段ab起点在整点时覆盖2015个数；
②当线段ab起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2014个数．
3. B
【分析】由表格可知：输入的数字是从1开始连续的自然数，输出数字的分子与输入的数字相同，分母比分子多1的数的平方减去2，由此规律得出答案即可．
【解答】∵输入的数字是从1开始连续的自然数，输出数字的分子与输入的数字相同，分母比分子多1的数的平方减去2，
∴当输入数据是8时，输出的数据是 =
4. 6
【分析】本题的关键是要找出12个数一循环，然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数．
若余数为0，圆圈所标的数字是0；
若余数为1，圆圈所标的数字是11；
若余数为2，圆圈所标的数字是10；
若余数为3，圆圈所标的数字是9；
…；
若余数为11，圆圈所标的数字是1．
【解答】根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环．
因为2010除12余数为6．
所以该圆圈所标的数字是6．
5.（202,2）
【分析】由题意,位置的确定是（行数,列数）
那么2013,末尾为3,即在第二列
行数的确定：不看符号,第一行为3,第二行为13,第三行为23,…
那么2013的行数就是202（把个位数扔掉,看剩下的数+1）
6. 【分析】第1次四等分后每份面积为;
第2次四等分后较小的每一份面积为x=;
第3次四等分后最小的每一份面积为xx=.
【解答】将三次分割后的阴影面积相加得++=.
7. 90
【分析】根据奇数为负，偶数为正，每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是81，第10行从左边第9个数是81+9=90．
【解答】根据每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，
所以第9行最后一个数字的绝对值是：9×9=81，
第10行从左边第9个数是：81+9=90．
8. （1）3×[4+10+（﹣6）]；
（2）[（10﹣4）﹣3×（﹣6）]；
（3）4﹣（﹣6）÷3×10．
【分析】此题是二十四点游戏，在给定的数字之间，加任意的加减乘除符号，使其结果等于24即可．
【解答】主要考查了有理数的混合运算，24点游戏是常见的一种蕴含数学运算的小游戏．要求能够灵活运用运算顺序和法则进行计算．
9. （1） （2）﹣ （3）0
【分析】这串数的规律是：（把1看成）所有数的分子都是1，所有数的分母是1，2，3，4，5，6，7，…自然数集，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数．根据此规律写出（1）（2）所表示的数；
（3）根据数的排列规律，直接得出答案即可．
【解答】（1）第9个数是；
（2）第2014个数是﹣；
（3）数值越来越小，如果这一列数无限排列下去，与0越来越近．
10. （1） （2）50





【提高训练】


1.

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．考查了正方体相对两个面上的文字，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形，找出哪两个是相对的面是解决的关键．
2. 32
【分析】根据题意，知一圈后留下的人是2的倍数的号；两圈后留下的人分别是4的倍数的号；三圈后留下的人是8的倍数的号；四圈后留下的人是16的倍数的号，即只有32．
【解答】由题意，知：经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n；
∵2n≤50，即n≤5，
∴当圆圈只剩一个人时，n=5，这个同学的编号为2n=25=32．
3. 解：（1）①把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，
∵a、b、c三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A左侧或在B、C两点之间；
故选C；
②b=a+1，c=a+3
当a+a+1+a+3=a时，a=﹣2
当a+a+1+a+3=a+1时，a=﹣
当a+a+1+a+3=a+3时，a=﹣
（2）依据题意得，b=a+1，c=b+n+1=a+n+2，d=c+n+2=a+2n+4．
∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
∴a+c=0或b+c=0．∴a=﹣或a=﹣；
∵a为整数，∴当n为奇数时，a=﹣，当n为偶数时，a=﹣．
∴a1=﹣2，a2=﹣2，a3=﹣3，a4=﹣3，…，a99=﹣51，a100=﹣51，
∴a1+a2+a3+…+a100=﹣2650．
4. 13
【分析】根据题意列出式子可知计算方法是：如自然数12，则3×（1+2）+1=10，3×（1+0）+1=4，3×（4+0）+1=13，3×（1+3）+1=13…所以这个固定不变的数为13．
【解答】例如自然数12，则3×（1+2）+1=10，3×（1+0）+1=4，3×（4+0）+1=13，3×（1+3）+1=13…所以这个固定不变的数等于13．








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