浙教版七年级上册数学 第2讲 绝对值同步学案

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第2讲 绝对值
一、小题精检
1.若a与2互为相反数，则|a+2|等于（　　）
A. 0 B. 4 C. D.
2.已知︱m︱=﹣m，则m的值（　　）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
3.若|a|+|b-1|=0则a=________，b=_________.
4.如果a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，那么|a-d|=________.
5．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点，求
|a+b|+||+|a+1|的值．







6．已知a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c=0，求的值










二、考点精讲
知识点1、绝对值
意义和性质：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.
【重要提示】
（1）互为相反数的两个数的两个数的绝对值相等
（2）在去绝对值的符号时，一定要先判断绝对值里的数是正还是负或是0，再根据绝对值的性质去绝对值符号.
（3）有理数的绝对值不可能是负数，所以|a|≥0.

知识点2、有理数的大小比较
有理数的大小比较的方法：（1）比较法则（2）利用数轴
【重要提示】
（1）用比较法则比较两个有理数的大小，在比较之前应先判断它们的符号
（2）比较多个有理数的大小时，往往先将比较的数在数轴上表示出来，再比较大小
（3）有理数的大小比较常用的方法：①先用特殊方法：即正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数②如特殊方法不行，再用有理数的大小比较法则或利用数轴来比较有理数的大小③有的不能直接比较两个数的大小，还可以采用做差法、作商法以及寻找第三灯亮（也叫中间量）的方法












三、考点精练
考点1：绝对值
例1. 如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（　　）
A. 正数 B.负数 C. 正数，零 D. 负数，零
例2. 下列说法：①互为相反数的两个数的绝对值相等；②一个数的绝对值是正数；③一个数的绝对值的相反数一定是负数；④只有负数的绝对值是它的相反数.
其中正确的是（　　）
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
例3. 绝对值是它的相反数的是_________数；相反数是它本身的数是________；绝对值是它本身的数是_________数.
例4. 若数轴上表示a的点位于-3与2之间,求︱a+3︱+︱a-2︱的值是________.
例5. 求代数式|x-1|-|x+6|-5的最大值.



例6. 代数式4+|x-1|能取得的最小值是多少？此时x的值又是多少？


考点2：有理数的大小比较
例1. 已知有理数a为正数，b，c为负数,且|c| > |b |> |a |，用<把a，b，c，-a，-b，-c连接起来.


例2.规定一种新的运算：a△b=a×b-a+b+1，例如3△4=3×4-3+4+1，
请比较（-3）△5________5△（-3）（填“＜”“=”“＞”）
例3. 若a＝-，b＝-，c＝-，则a，b，c的大小关系是 (用＜连接）
例4. 已知a，b、c三数在数轴上的位置如图所示，化简＋＋.



四、课后精练
第一组
一、选择题
1. 下列式子正确的是（　　）
A. |a|≤﹣a B. |a|≥﹣a C. |a|＜﹣a D. |a|＞﹣a
2. 下列说法正确的是（　　）
A. 两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等
B. 任何一个数的相反数与这个数一定不相等
C. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数互为相反数
3. 已知m＜0，化简|m-1|-|m-2|所得的结果是（　　）
A.﹣1 B.1 C.2m－3 D.3－2m
4. 下列说法：①两个数比较，绝对值大的就大；②如果a＝b，那么|a|＝|b|；③两个负数，绝对值大的反而小；④如果甲数的绝对值比乙数大，那么甲数一定比乙数小.
正确的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
二、填空题（共3小题）
5. 已知a，b，c均为非零有理数，则由＋＋构成的数可能等于 ．
6. 观察下列一组数：，，，···根据此规律，可推出第20个数是______．
7. 已知 ＋=0，则的值为= ．
三、解答题（共3小题）
8. 计算：|﹣|÷|﹣1 |＋.




9. 某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）

（1）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？
（2）巡逻车在巡逻过程中，离开A地最远是多少千米？
（3）若每km耗油0.1升，问共耗油多少升？







10. 若|a|=-a，|b|=b，|c|=-c，|d|=-d且都不为零，还满足|a|＞|b|＞|c|＞|d|，请把a，-a，b，-b，c，-c，d，-d这八个数按从小到大的顺序排列．









第二组
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
①一个正数的绝对值是它本身；②一个非正数的绝对值是它的相反数；③两个负数比较，
绝对值大的反而小；④一个非正数的绝对值是他本身
A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个
2．有理数a，b满足20a+11|b|=0（b≠0），则是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
3. 已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2= -|a1+1|,a3= -|a2+2|,a4= -|a3+3|,…依次类推，则a2013的值为（　　）
A．1006 B．1007 C．－1006 D．－1007
二、填空题
4. 设a为最小的自然数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的奇数，则a，b，c，三数分别是__________________.
5. |x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是_________．
6. 小明写出了50个不等于零的有理数，其中至少有一个是负数，而任意两个数中总有一个是正数，则小明写出的这50个数中正数有_________个，负数有_________个．
7. 适合|3a+8|+|7-3a|=15的整数a的值有_______.
三、解答题
8．有理数a，b，c表示的点在数轴上的位置如图所示.

（1）用“＜”连接0，a，b，c；
（2）化简代数式|a+c|-|c-b|-2|b+a|



9. 已知a与b互为相反数，c和d互为倒数，|e|=2，f是数轴上表示原点的点所表示的数，求f2016－cd＋e2＋（a+b）?abcd的值．


10. 观察下列各式：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，
将以上三个等式两边分别相加得：
＋＋＝1﹣＋﹣＋﹣＝.
（1）猜想并写出：=_____________.　
（2）直接写出下列各式结果：
＋＋＋···=_____________.
＋＋···＋=_____________.
（3）探究并计算：
＋＋···＋







【提高训练】
1. 已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：
PA=　　，PC=　 　；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．



2. 设A=|x-b|+|x-20|+|x-b-20|，其中0＜b＜20，b≤x≤20，则A的最小值是_________．
3. 已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x-2y+z|=9，则x2y2016z3的值是__________．
4. 已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b 表示，且（ab+100）2+|a﹣20|=0．P是数轴上的一个动点。
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；
（2）数轴上一点C距A点24个单位长度，其对应的数c满足|ac|=﹣ac．当P点满足PB=2PC时，求P点对应的数；
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P移动到与A或B重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由．



5. 在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表：

（1）请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
（2）指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？哪个同学做的质量较差？
（3）请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；
（4）用学过的绝对值知识来说明以上问题．







第2讲 绝对值
参考答案
一、小题精检
1．A
2．D
【分析】注意别漏0这种情况．
3. 0 、 1
4. 3
【解答】已知b≠c，可设b＜c，
∵|a-c|=|b-c|，
∴a-c与b-c必互为相反数（否则a=b，不合题意），即a-c=-（b-c），a+b=2c，
又∵b＜c，∴a＞c．∵|b-c|=|d-b|，
∴b-c与d-b必相等（否则c=d，不合题意），即b-c=d-b，从而得2b=c+d，
∵b＜c，∴b＞d，即d＜b＜c＜a．
∴|a-d|=a-d=（a-c）+（c-b）+（b-d）=1+1+1=3．
若设b＞c，同理可得|a-d|=3．
本题还可以通过距离法、取特殊值等方法解答。
5. ﹣a
【解答】∵O为AB的中点，
∴a+b=0，=-1，由数轴可知：a＜-1
∴原式=0＋1﹣a﹣1=﹣a．
6.解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：+++=0；
②当a，b，c为两负一正时：+++=0；
③当a，b，c都为正数时：+++=4；
④当a，b，c都为负数时：+++=-4；
综上所述+++值为0或4或-4．
二、考点精讲
知识点1：绝对值
例1．D
例2．A
【解答】只有说法①正确
例3.（1）非正 （2）0 （3）非负
例4. 5
【分析】根据|a+3|+|a-2|表示数a的点到-3与2两点的距离的和．即可求解．
例5. 2
【分析】|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6），即可确定出原式的最大值．
【解答】|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，
则代数式的最大值为7-5=2．
例6. 4 1

知识点2：有理数的大小比较
例1．c例2．＞
【解答】∵-3△5=-3×5-（-3）+5+1=-6；
5△（-3）=5×（-3）-3+（-5）+1=-22；
∴-6＞-22；
∴（-3）△5＞5△（-3）．
例3．c例4．1
【解答】由图可知，a＞0，b＞0，c＜0，
∴原式=++=1+1-1=1


三、课后精练
第一组
1. B
2. D
3. A
【解答】∵m＜0，
∴m-1＜0，m-2＜0．
则|m-1|-|m-2|=-（m-1）+（m-2）=-1．
4. A 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
5. ±3，±1
【解答】分4种情况：
①三个数都大于0时，原式=1+1+1=3；
②其中两个大于0，一个小于0时，原式=1+1-1=1；
③其中一个大于0，两个小于0时，原式=1-1-1=-1；
④三个数都小于0时，原式=-1-1-1=-3．
所以，原式=3，﹣3，1，﹣1共4种结果
6.
【解答】∵一组数：，，，···
据此规律，第n个数是 ∴第20个数是
7. ﹣1
【解答】∵＋=0，∴a，b异号，ab<0，则==﹣1
8.
9. （1）B地在A地东方，与A地相距16千米（2）26千米（3）6升
【解答】（1）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），B地在A地东方，与A地相距16千米；
（2）第一次局A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26第七次距A地：26-10=16，
∵26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，所以巡逻车在巡逻过程中，离开A地最远是26千米；
（3）共耗油=（15+|-8|+6+12+|-4|+5+|-10|×0.1=6（升）
10. a＜-b＜c＜d＜-d＜-c＜b＜-a
【解答】∵|a|=-a，|b|=b，|c|=-c，|d|=-d且都不为零，还满足|a|＞|b|＞|c|＞|d|，
∴可设a=-6，b=5，c=-4，d=-3，则-a=6，-b=-5，-c=4，-d=3．
∵6＞5＞4＞3＞-3＞-4＞-5＞-6，
∴a＜-b＜c＜d＜-d＜-c＜b＜-a．


第二组
1. C
【解答】（1）一个正数的绝对值是它本身，正确；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，而0的相反数也是0，所以一个非正数的绝对值是它的相反数，正确；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小，正确；
（4）一个负数的绝对值是它的相反数，不是它本身，所以本选项错误．
2. B
【分析】要判断一个分数是正数还是负数，要看它的分子与分母的符号是否相同，如果相同是正数，如果不同就是负数，据此解答即可．
【解答】∵有理数a，b满足20a+11|b|=0（b≠0），11|b|肯定＞0（b≠0），
∴20a＜0，∴a＜0，
∵b≠0，∴b2＞0，
∴＜0
3. C
4. a=0，b=1，c=±1
5. 4
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-2，2和1距离的和，当x在-2和2之间的1时距离的和最小．
【解答】解：|x+2|+|x-2|+|x-1|表示：数轴上一点到-2，2和1距离的和，
当x在-2和2之间的1时距离的和最小，是4．

6. 49 1
【解答】由题意得：负数只有一个，若负数大于1个则不能满足任意两个数中总有一个是正数，故负数有1个，正数有49个．
7. ﹣2，﹣1,0,1,2
【分析】把3a看成整体，由数轴上一点到﹣8与7的距离之和为15，可得﹣8≤3a≤7.
8. (1）c＜b＜0＜a （2）3a+b
【分析】（1）由数轴可以得到0，a，b，c的大小；（2）根据数轴可以判断0，a，b，c的大小及a、b、c的绝对值的大小，从可以将代数式|a+c|-|c-b|-2|b+a|中的绝对值去掉进行化简．
【解答】（1）由数轴可得，c＜b＜0＜a；
（2）∵c＜b＜0＜a，|a|＜|b|＜|c|，
∴|a+c|-|c-b|-2|b+a|
=-（a+c）-（b-c）+2（b+a）
=-a-c-b+c+2b+2a
=3a+b．



9. 3
【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b，cd，e，f的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，e=2或-2，f=0，
则原式=0-1+4+0=3．

10. （1）- （2） ﹣ （3）
【解答】（1）根据题意得：=-
（2）原式=1﹣＋﹣＋﹣+···+﹣=1﹣=
原式=﹣+﹣+···+-=﹣
（3）原式=×（﹣＋﹣+···+﹣）=×（-）=


【提高训练】
1. 解：（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：
PA=t，PC=AC﹣AP=34﹣t，
故答案为：t，34﹣t；
（2）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4=14+t，解得t=5；
当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4=14+t，解得t=9；
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34=34，t=12.5；
当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34=34，解得t=14.5，
综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14秒时，P、Q两点之间的距离为4．
2. 32
【分析】根据题意，知一圈后留下的人是2的倍数的号；两圈后留下的人分别是4的倍数的号；三圈后留下的人是8的倍数的号；四圈后留下的人是16的倍数的号，即只有32．
【解答】由题意，知：经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为2n；
∵2n≤50，即n≤5，
∴当圆圈只剩一个人时，n=5，这个同学的编号为2n=25=32．
3. ±576
【解答】∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，
∴-3≤x≤3，-1≤y≤1，-4≤z≤4，
∵|x-2y+z|=9，
∴①x=3，y=-1，z=4或②x=-3，y=1，z=-4，
∴x2y2016z3 =9×1×±64=±576．
4. 解：（1）a=20，b=﹣10，AB=|20﹣（﹣10）|=30；
（2）∵|ac|=﹣ac，a=20＞0，
∴c＜0，又AC=24，
∴c=﹣4．
BC=6．
①P在BC之间时，点P表示﹣6，
②P在C点右边时，点P表示2；
（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…则第n次为（﹣1）n?n，
d点A表示20，则第20次P与A重合；点B表示﹣10，点P与点B不重合．
5. （1）张兵、蔡伟；（2）蔡伟、李明；（3）蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；
（4）这是绝对值在实际生活中的应用，对误差来说绝对值越小越好．
【分析】第一问，绝对值＞0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格；
第二问，绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明较差；
第三问，按绝对值由大到小排即可．








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