浙教版七年级上册数学 第3讲 有理数的加减同步学案

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第3讲 有理数的加减
一、小题精检
1. 两数相加，如果和为负数，那么这两个数（ ）
A. 必定都是负数 B. 总是一正一负
C. 可以都是正数 D. 至少有一个负数
2. 下列计算结果正确的是（ ）
A. ﹣3－7＝-3＋7＝4 B.4.5－6.8＝6.8－4.5＝2.3
C.﹣2－（﹣）＝﹣2＋＝﹣2 D.﹣3－（﹣）＝﹣3＋＝﹣2
3. 直接写出下列各式的结果：
（1）(﹣8）+(﹣5)= ________； （2）(﹢8）+(﹣5)= ________；
（3）(﹣8）+(﹢5)= ________； （4）(﹣0.5）+(﹢)= ________；
（5）0+(﹣1 )= ________； （6）(﹣3.75）+|﹣5 |= ________；
（7）|﹣8|+|﹣5|= ________.
4. 填空：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________.
（2）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是________.
（3）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________.
（4）有理数m，n表示在数轴上的位置如图所示，化简：︱n－m︱＝________.

5. 下表是某一周某种股票每天的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
收盘价（元/股） 13.4 ? ? 13.4 ?
比前一天涨跌（元/股） ? -0.02 +0.06 ? -0.25
（1）填表，并回答哪天收盘价最高？哪天收盘价最低？
（2）最高价与最低价相差多少？



二、考点精讲
知识点1、有理数的加法
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）互为相反数的两个数相加得0.
(4)一个数同0相加，仍得这个数.
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
加法性质:
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
b>0时，a+b>a 当b<0时，a+b知识点2、有理数减法
减去一个数等于加上这个数的相反数。 a-b=a+(-b)
已知两个数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算是减法运算，即减法是加法的逆运算
有理数减法的运算步骤：
（1）将减号变成加号，把减数变成它的相反数
（2）按照加法运算的步骤去做
知识点3、有理数的加减混合运算
（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。
例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。
读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。
（2）适当的应用加法运算律。



三、考点精练
考点1：巧化有理数计算
例1.2 ＋（﹣3 ）＋5 ＋（﹣2 ）


例2. ﹣2 ＋4 －5 －3.8


例3.280＋(﹣53) ＋720＋53＋(﹣1000)


例4.﹣2 ＋5 ﹣4 ＋3


例5. ＋＋＋…＋



例6. ＋＋…



考点2：相反数；绝对值
例7．若|a|=7，b的相反数是2，则a+b的值（　　）
A．-9 B．-9或+9 C．+5或-5 D．+5或-9
例8．若|x|=3，|y|=5，且|x-y|=y-x，再求x+y的值



考点3：有理数加减运算的实际应用
例9. 一个小吃店去超市买10袋面粉，这10袋面粉的重量分别为：24.8千克，25.1千克，24.3千克，24.6千克，25.5千克，25.3千克，24.9千克，25.0千克，24.7千克，25.1千克，你能很快就求出这10袋面粉的总重量吗？








例10. 今年我国和俄罗斯联合军事演习中，一核潜艇在海下时而上升，时而下降．核潜艇的初始位置在海平面下500米，下面是核潜艇在某段时间内运动情况（把上升记为“+”，下降记为“-”，单位：米）：-280，-20，30，20，-50，60，-70
（1）现在核潜艇处在什么位置？
（2）假如核潜艇每上升或下降1米核动力装置所提供的能量相当于20升汽油燃烧所产生的能量，那么在这一时刻内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？













四、课后精练
第一组
一、选择题
1. 下列算式中，其中正确的有（　　）
①2-（-2）=0； ②（-3）-（+3）=0；
③（-3）＋|-3|=0； ④0-（-1）=0．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 把-2+（+3）-（-5）+（-4）-（+3）写成省略括号和的形式，正确的是（　　）
A．-2+3-5-4-3 B．-2+3+5-4+3 C．-2+3+5+4-3 D．-2+3+5-4-3
3. 若b＜0，则a，a+b，a-b中最大的是（　　）
A．a B．a+b C．a-b D．还要看a的符号才能确定
4. 下列说法正确的是（　　）
A．零减去一个有理数，仍得这个有理数
B．两个有理数之差一定小于它们的和
C．互为相反数的两个数之差为零
D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数
5. 墨尔本与北京的时差是+3小时（即同一时刻墨尔本时间比北京时间早3小时），班机从墨尔本飞到北京需用12小时，若乘坐从墨尔本8：00（当地时间）起飞的航班，到达北京机场时，当地时间是（　　）
A．15：00 B．17：00 C．20：00 D．23：00
二、填空题
6.（1）5－3＋（ ）＝﹣7
（2）－（﹣）＝1 － ．
（3）若把算式2－3看做减法运算，那么减数是 ．若把算式2－3看做加法运算，第一个加数是2，那么第二个加数是 ．
三、解答题
7. 列式计算：
（1）13的相反数，加上-27的绝对值，再加上-31的和是多少？

（2）从-3中减去﹣与﹣的和，所得的差是多少？
（3）和为－8.6，一个加数为－3.2，求另一个数.

8.计算：
（1）1.3＋0.5＋（﹣0.5）＋0.3＋（﹣0.7）＋3.2＋（﹣0.3）＋0.7


（2）（﹣2.75）+（﹣4 ）＋（﹣2 ）＋


（3）23－（﹣76）－36－（﹣107）


（4）（﹣3 ）－（＋）＋（＋4 ）－（﹣1 ）


9. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c|-|a|+|-b|+|-a|．





10. 出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的金城大道上行驶的，如果规定向东为正
向西为负．这天下午行车里程如下（单位：千米）
+11，-2，+15，-12，+10，-11，+5，-15，+18，-16
（1）当最后一名乘客送到目的地，距出车地点的距离为多少千米？
（2）若每千米的营运额为7元．这天下午的营业额为多少？
（3）若成本为1.5元/千米．这天下午他盈利为多少元？



第二组
一、选择题
1. 已知两个有理数a与b的和至少小于其中一个加数，则a和b在数轴上的位置不可能的一种是（　　）

A B

C D
2. 若，则以下四个结论中，正确的是( )
A、一定是正数 B、可能是负数
C、一定是正数 D、一定是正数
3. 把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a-b的值是（　　）

A．-3 B．-2 C．2 D．3
二、填空题
4. 已知a、b互为相反数，且|a-b|=6，则b-1=________.
5. 若|x|+3=|x-3|，则x的取值范围是________.
6. 如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是________，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是________ .
7. 观察下面的几个算式：

根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
______．　　　
三、解答题
8. 已知|ab-2|+|a-1|=0，求＋＋＋…＋的值.






9. 在1，2，3，…，1000之间添上“+”或“-”号，求和式可以得到的最小非负数是多少？








10. 有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…第n个数记为an，若a1=﹣，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）计算a1+a2+a3+…+a36的值．








【提高训练】
1. 符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5…
则H（7）+H（8）+H（9）+…+H（99）的结果为（　　）
-46 B．-146 C．-54 D．46
2.如果△+△=*，○+○=▲，△=○+○+○+○，那么*+▲=__________.
3. 在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三个数之和．

（1）大于9.
（2）小于10.如能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．


4. 阅读下面的文字，完成后面的问题：
我们知道：＝1﹣，＝，＝﹣
那么：
（1）＝　　　　；＝　　　　；
（2）用含有n的式子表示你发现的规律　　　　　　；
计算+++…+旳值．



5. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用+来表示，用++来表示，等等．现在有90个埃及分数：，，，，…，，，你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于﹣1吗？




第3讲 有理数的加减
参考答案
一、小题精检
1．D
2．D
3.（1）-13 （2）3
（3）﹣3（4）0（5）﹣1
（6）1 （7）13
4.（1）3
（2）3
（3）4
（4）m-n
【分析】本题可以采用两种方法：（1）在数轴上直接数出两点之间的距离．（2）用较大的数减去较小的数．
5.（1）最高: 13.44，最低：13.15 （2）0.29
【分析】（1）收盘价最高说明加号后面的数越大，收盘价最低说明负号后面的数越大，从而求解；（2）由（1）将两数相减即可．
【解答】（1）由图中数据可知：∵收盘价：股票每天交易结束时的价格
收盘价：星期二：13.4-0.02=13.38，
星期三：13.44，
星期五：13.15涨跌：
星期四：-0.4收盘价
∴收盘价星期三最高为13.44，
收盘价星期五最低为13.15
（2）∴13.44-13.15=0.29．
最高价与最低价相差为0.29．




二、考点精讲
知识点1：巧化有理数计算
例1.（1） 1
【解答】原式=[2+(﹣3)+5+(﹣2)] +[ +(﹣)++(﹣)]=(＋2)+(﹣)=1
例2.-7
【解答】原式=(﹣2 -5 )+(4 -3.8)=-8+1=-7
例3. 0
【解答】原式=(-53+53)+(280+720-1000)=0
例4. 2
【解答】原式=(-2+5-4+3)+(- +-+)=2+(-+-+)=2+=2
例5.4005
【解答】设A= +++…+把等式右边倒序排列，得
A=++…+将两式相加，得
2A=(+)+(+)+…(+)
即2A=2×4005，A=4005，
∴原式=4005.
例6. (1-)　
【解答】应用关系式=-来进行“拆项”。
∴原式可以化简为：
(1-+-+…+-)=(1-)　　

知识点2：相反数；绝对值
例7．D
【解答】∵|a|=7，∴a=±7，
∵b的相反数等于2，∴b=-2，
∴①a=7，b=-2时，a+b=7-2=5；
②a=-7，b=-2时，a+b=-7-2=-9．

例8．8或2
【解答】∵|x|=3，|y|=5，
∴x=±3，y=±5，
∵|x-y|=y-x，
∴x-y≤0，
∴x=3，y=5；x=-3，y=5，
则x+y=8或2．

知识点3：有理数加减运算的实际应用
例9．249.3kg
【解答】以25kg为标准，这10袋面粉的重量分别为：-0.2kg，0.1kg，-0.7kg，-0.4kg，0.5kg，0.3kg，-0.1kg，0kg，-0.3kg，0.1kg，
这10袋面粉的总重量:25×10+（-0.2+0.1-0.7-0.4+0.5+0.3-0.1-0.2+0-0.3+0.1）=250-0.7=249.3（kg ），
例10．(1) 在海平面下810米 (2) 10600升
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，现在潜艇处在什么位置即为各代数和，在这一时刻内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量，各代数的绝对值的和，即总里程，乘以每米产生的能量20升即为所得．
【解答】（1）根据题意有：上升记为“+”，下降记为“-”，则有
-500+（-280）+（-20）+30+20+（-50）+60+（-70）=-810米．
∴现在核潜艇处在海平面下810米．
（2）∵|-280|+|-20|+|30|+|20|+|-50|+|60|+|-70|=530米，
∴530×20=10600升．







三、课后精练
第二组
1. A
2. D
3. C
【分析】本题可根据条件，设出符合条件的a，b的值，然后进行比较即可．
【解答】解：设a=2，b=-1，或a=-2，b=-1，
则a+b=1或-3，a-b=3或-1，可得出最大的是a-b的值．
4. D
5. B
【解答】根据题意可列算式得，当地时间是8+12-3=17，即17：00．
6.（1）﹣2 （2）1 （3）2 ﹣3
7. （1）-17 （2）﹣ （3）﹣5.4
【解答】（1）根据题意得：-13+|-27|-31=-44+27=-17；
（2）根据题意得：-3-（﹣－）=-3＋＋=﹣
（3）根据题意得：-8.6-（-3.2）=﹣5.4
8. (1)4.5 (2）﹣ (3)170 (4)
9. -c-b
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：由题意得：b＜c＜-1＜0＜1＜a，
∴原式=-c-a-b+a
=-c-b．
10. （1）3千米 （2）805元 （3）632.5元
【解答】（1）11+（-2）+15+（-12）+10+（-11）+5+（-15）+18+（-16）=3（千米），
距出车地点的距离为3千米；
（2）（11+|-2|+15+|-12|+10+|-11|+5+|-15|+18+|-16|）×7=115×7=805（元），
这天下午的营业额为805元；
（3）（11+|-2|+15+|-12|+10+|-11|+5+|-15|+18+|-16|）×（7-1.5）=115×5.5=632.5（元），这天下午他盈利为632.5元．
第二组
1. C
2. C
【分析】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b=-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0非正数；对于B，d+c＞0，-a＞-b＞0，所以d+c-a-b一定大于零；对于C，由已知条件a＜b＜0＜c＜d知d-c＞0，-a-b＞0，所以d-c-a-b＞0，即d-c-a-b一定是正数；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1是负数．
3. A
【解答】三阶幻方的和是3×5=15，
右上角的数是15-5-8=2，
a=15-2-9=4，
5左边的数是15-8-4=3，
b=15-5-3=7，
a-b=4-7=-3
4. 2或﹣4
【分析】由a、b互为相反数，可得a+b=0；由于不知a、b的正负，所以要分类讨论b的正负，才能利用|a-b|=6求b的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】∵a、b互为相反数，∴a+b=0即a=-b．
当b为正数时，∵|a-b|=6，∴b=3，b-1=2；
当b为负数时，∵|a-b|=6，∴b=-3，b-1=-4．
5. x≤0
【分析】根据绝对值性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】①当x≥3时，原式可化为：x+3=x-3，无解；
②当0＜x＜3时，原式可化为：x+3=3-x，此时x=0；
③当x≤0时，原式可化为：-x+3=3-x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
6. 7 13．
【解答】第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1-3=-2-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；
…；
则A7表示的数为-8-3=-11，A9表示的数为-11-3=-14，A11表示的数为-14-3=-17，A13表示的数为-17-3=-20，
A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
7. 10000
【解答】根据观察可得规律：结果等于中间数的平方．
∴1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1＝1002＝10000．
8.
【解答】由题可知：ab-2=0,a-1=0
∴a=1,b==2
所以原式=++…+=1-+-++…+-
=1-
=
9. 0
【解答】原式=（1-2）+（-3+4）+（5-6）+…（997-998）+（-999+1000）=0，
则最小非负数为0．
10. 解：（1）；
；
；
（2）a1+a2+a3+…+a36=（﹣+4+）×12=53．




【提高训练】
1. C
【解答】根据题中的新定义得：H（7）+H（8）+H（9）+…+H（99）=-8+9-10+11-12+…-98+99-100=1+1+1+…+1-100=46-100=-54．
2. 10○
【解答】∵△+△=*，○+○=▲，△=○+○+○+○，
∴*+▲=○+○+○+○+○+○+○+○+○+○=10○.
3.（1）能, 如图：

（2）不能
【解答】如图，

设按要求所填的六个数顺次为a、b、c、d、e、f，
它们任意相邻三数和大于1O，即大于或等于11，
∴a+b+f≥11，b+c+d≥11，c+d+e≥11，d+e+f≥11，e+f+a≥11，f+a+b≥11，
则每个不等式左边相加一定大于或等于66，即3（a+b+c+d+e+f）≥66，
整理得：（a+b+c+d+e+f）≥22，
∵1+2+3+4+5+6=21，
∴与（a+b+c+d+e+f）≥22矛盾，
则不能使每三个相邻的数之和都大于1O．

4.（1）﹣ ﹣
（2） ＝﹣
（3）
【分析】分子为1，分母为相邻2个自然数的分数应等于分子为1，分母分别为这两个自然数的分数的差，依此规律得到所要计算的式子的每个分数等于分子为1，分母分别为原分数中2个因数的分数的差的一半，进而化解计算即可．
【解答】（1）＝﹣；＝﹣；
（2）＝﹣；
（3）+++…+
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）＝×＝．
5. 答案不唯一，比如以下10个分数：
﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣
【解答】∵﹣1＝﹣1++（﹣）++（﹣）+…++（﹣）
＝（﹣1+）+（﹣）+…+（﹣）﹣
＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣









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