浙教版七年级上册数学 第4讲 有理数的乘除同步学案

中小学教育资源及组卷应用平台


第4讲 有理数的乘除
一、小题精检
一、选择题
1. 计算（-18）÷6的结果等于（　　）
A．-3 B．3 C．- D.
2. 计算(1?＋＋)×（﹣12）运用哪种运算律可避免通分（　　）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
3. 下列说法中：
（1）任何有理数与0相乘仍得这个数；
（2）互为相反数的两个数乘积为-1；
（3）任何有理数与-1相乘，得到这个数的相反数；
（4）任何有理数与1相乘仍得这个数，
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（　　）
A．31 B．33 C．35 D．37
二、填空题
5. 某市常住人口是880.2万人，用科学记数法表示为_______人．
6. 已知花生仁的出油率是38%，得到380千克花生油大约需要_______千克花生仁，有380千克花生仁，大约可以榨油_______千克．
三、解答题
7． 某地气象统计资料表明，高度每增加1000m，气温就降低大约6℃，现在地面气温是37℃，则10000m高空的气温大约是多少？


8. 已知a、b、c都不等于零，且＋＋的最大值为m，最小值为n，求的值.


二、考点精讲
知识点1、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数与0相乘，积为0.
若两个有理数的乘积为1，就称这两个数互为倒数.
倒数是其本身的数有1和﹣1
几个不等于0的有理数相乘，现根据负数的个数确定符号（有奇数个负数，积的
符号为负；有偶数个负数，积的符号为正），再把绝对值相乘.
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
知识点2、有理数的除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不等于0 的数都得0.
除以一个数（不等于0），等于乘这个数的倒数，用式子表示为:
a÷b＝a×（b≠0）
知识点3、乘方的意义：我们把求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的表示法：? ??

乘方的结果叫做幂，an中，a叫做底数，n叫做指数，an从运算的角度读作a的n次方，从结果的角度读作a的n次幂.

乘方的运算符号法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
任何数的偶次幂都是非负数；即a2≥0（或a2n≥0）
0的任何次幂都得0；－1的偶次幂得1，－1的奇次幂得－1；1的任何次幂都得1.
知识点4、有理数的混合运算运算法则：先算乘法，再算乘除，最后算加减；如有括号先进行括号里的运算
加减称第一级运算；乘除称第二级运算；乘方称第三级运算.
同级运算，从左至右计算；异级运算，先算高级，再算低级
运算技巧：（1）归类组合（2）运用运算律（3）小数、分数巧转化（4）凑“0”
知识点5、科学计数法：把一个数表示成a×10n的形式，其中，1≤|a|≤10，n是正整数.
确定n的值有两种方法：（1）将这个数的整数部分的位数减去1就是n（2）小数点向左移动的位数就是n
知识点6、近似数：与实际完全符合的数称为近似数，与实际接近的数称为近似数
近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
三、考点精练
考点1：有理数的乘法运算
例1.计算：
（1）（＋13）×（﹣6）
（2）×（﹣）×0×
（3）1 ×（﹣）
（4）﹣x·（﹣）（x≠0）


考点2：有理数的除法运算
例2.计算：
（1）（﹣70）÷（﹣14）
（2）（﹣）÷（＋4 ）


考点3：有理数的乘方运算
例3. 计算：
（1）﹣32×（﹣2）3
（2）（﹣1）2015－（﹣1）2014
（3）﹣14×（﹣2）3÷（）2×（﹣）4
（4）﹣26－（﹣2）4＋32÷（﹣1 ）

考点4：有理数的混合运算
例4.计算：
（1）﹣22÷（－）×12 （2）－÷×
（3）（﹣1）3＋50÷22×（﹣） （4）[﹣0.52＋（﹣）2－|﹣22－4|]÷0.12





考点5：有理数运算律
例5.对于算式2016×（﹣5）+[﹣2016×（﹣35）－2016×（﹣10）]逆用分配律写成积的形式是（ ）
A．2016×（﹣5﹣35－10） B．2016×（﹣5＋35＋10）
C．﹣2016×(﹣5﹣35﹣10) D．﹣2016×（﹣5＋35＋10）
例6. （－＋－）×（﹣24）



考点6：绝对值；相反数；倒数
例7.下列说法:
①一个数同0相乘，仍得0 ②一个数同1相乘，仍是原数
③一个数同-1相乘得原数的相反数 ④互为相反数的积是1
⑤互为倒数的两数的积为1 ⑥﹣的倒数是
其中错误的是________.（点拨：互为相反数与互为倒数要注意区别）
例8.若a，b互为相反数，且都不为零，则（a+b-1）×（＋1）＝________.
例9．若a>b,ab<0,且|a|<|b|,则a，b，﹣a，﹣b的大小关系是____________ ______ ______.
例10．若有理数a，b满足ab≠0，试求＋的值.



四、课后精练
第一组
一、选择题
1. 下列说法不正确的是（ ）
A．没有倒数的数是0 B．倒数等于它本身的数只有1
C．相反数等于它本身的数是0 D．绝对值最小的数是0
2. 下列四个算式中,误用分配律的是（ ）
A.12×（2－＋）＝12×2－12×＋12×
B.（2－＋）×12＝2×12－×12＋×12
C．12÷（2－＋）＝12÷2－12÷＋12÷
D. （2－＋）÷12＝2÷12－÷12＋÷12
3. a、b为两个有理数，若a+b＜0，且ab＞0，则有（　　）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a，b异号
D．a、b异号，且负数的绝对值较大
4. 地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106
二、填空题
5. 填空：
（＋4）×（＋3）＝12 （﹣4）×（﹣3）＝12
（＋4）×（＋2）＝ （﹣4）×（﹣2）＝
（＋4）×0＝ （﹣4）×0＝
（＋4）×（﹣2）＝ （﹣4）×（＋2）＝
（＋4）×（﹣3）＝ （﹣4）×（＋3）＝
6. 若a，b为相反数，c，d互为倒数，则 = ．



三、解答题
7. 用简便方法计算：
（1）3 ××（3 －7 ）×（－）；


（2）×－（－）×（－）－×.

8. 若a,b互为相反数,x,y互为倒数,求（a+b）+3xy+的值.




9. 小李喝了一杯牛奶的，然后用水加满，又喝了一杯的，然后用水加满后
又喝了半杯，又用水加满，最后把一杯都喝了，小李喝的牛奶多还是水多？




10. 阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22015．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015，将等式两边同时乘以2得：
??? 2S=2+22+23+24+…+22015+22016
??? 将下式减去上式得2S-S=22016-1
??? 即S=1+2+22+23+24+…+22015=22016-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）



第二组
一、选择题
1. 下列计算中，错误的是（ ）
A. ﹣6×（﹣5）×（﹣3）×（﹣2）＝180
B. （﹣36）×（﹣﹣）＝﹣6＋4＋12＝10
C.（﹣15）×（﹣4）×（＋）×（﹣）＝6
D. ﹣3×（＋5）﹣3×（﹣1）﹣（﹣3）×2＝﹣3×（5－1－2）＝﹣6
2. 计算（-0.25）2007×（-4）2008等于（　　）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
二、填空题
3. 有一个密码系统，其原理如下图．若输出的值为9时，则输入的x＝________.

4. 计算724次方的结果的个位数字是________.

5. 如果4个不等的偶数m，n，p，q满足（3-m）（3-n）（3-p）（3-q）=9，那么m+n+p+q等于________.
三、解答题
6. 计算：
（1）（﹣5）÷（﹣1 ）××（﹣2 ）÷7；


（2）﹣8÷[(﹣ )×]÷（﹣10 ）；


（3）÷（＋﹣ ）；（4）﹣1÷(﹣ )﹣3÷(﹣ ).




7. 你见过拉面师傅制拉面吗？拉面师傅能把一根很粗的面条很快拉成一碗很细的面条，如果一碗面条有256根，拉面师傅每拉一次面条根数都变成原来的2倍，请你想一想，拉面师傅拉几次就可以给你拉一碗面条？



8. 如果定义一种新运算为a*b＝，试计算[（* ）] *（）的值.



9. 把一张长方形的白纸沿同一个方向对折（如图）对折1次，展开，有多少条折痕？对折2次呢？3次呢？4次呢？从中你发现了什么规律？利用你发现的规律计算对折10次，展开，这张纸的折痕条数．






10. 对于有理数a、b，定义运算：“?”，a?b＝a×b－a－b－2．
（1）计算：（-2）?3的值；
（2）填空：4?（﹣2） （﹣2）?4（填“＞”或“=”或“＜”）；
（3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么，由（2）计算的结果，你认为
这种运算：“?”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，为什么？




五、【提高训练】
1. 某超市推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少？





2. 张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？







3.小明有5张写着不同数的卡片，如图：请你按要求抽出卡片，回答下列问题：

（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，如何抽取？最大结果
是多少？
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，如何抽取？最小
结果是多少？



4. 已知，求×××的值．






5. 观察下面的等式：
2×2=4，2+2=4；
×3=4 ，＋3=4 ；
×4=5 ，＋4=5 ；
×5=6 ，＋5=6 ；
(1)小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的
和”，小明的猜想正确吗？为什么？
(2)请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．











第4讲 有理数的乘除
参考答案
一、小题精检
1. A 2. D
【解答】2，3，4都是12的因数，故，，与12相乘后是整数，用乘法分配律合适．
3. B
【解答】正确的是：(3)(4)
其中：(1)任何有理数与0相乘都等于0，故错误；
(2)互为相反数的两个数乘积为-1错误，例如2×(-2)=4，故错误.
4. B
【分析】根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3=2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；
3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9=23+1；
…
∴5小时后细胞存活的个数是25+1=33个．
5. 8.802×106
【解答】880.2万=880 2000=8.802×106．
6. 1000 144.4
【解答】380÷38%=1000（千克）
380×38%=144.4（千克）
7. -23（℃）
【解答】由题意得，37－×6＝37-10×6＝-23（℃）．
所以10000m高空的气温大约是-23（℃）．
8. -1
【解答】当a＞0、b＞0、c＞0时，
＋＋的值最大，m=3，
当a＜0、b＜0、c＜0，
＋＋的值最小，n=-3；
∴=-1.
二、考点精练
考点1：有理数的乘法运算
例1. （1）﹣78 （2）0 （3）﹣1 （4）1
【分析】（1）（3）两题异号两数相乘，先确定积的符号“﹣”，再把绝对值相乘.
第（2）题是多个数与0相乘，积为0. 第（4）题是同号两数相乘，积的符号“﹢”，再把绝对值相乘.
考点2：有理数的除法运算
例2. （1）5 （2）﹣
考点3：有理数的乘方运算
例3.(1)72 (2)﹣2 (3) (4)﹣73
考点4：有理数的混合运算
例4.(1)﹣576 (2)﹣ (3) ﹣ (4)﹣800
考点5：有理数运算律
例5. B
例6. 23
考点6：绝对值；相反数；倒数
例7. ④⑥
例8. 0
【解答】由题意得：a+b=0且a≠0、b≠0，
∴原式=-1×0=0．
例9．b<﹣a例10．0或2或-2
【解答】当a＞0，b＞0时，m=1+1=2；
当a＞0，b＜0时，m=1-1=0；
当a＜0，b＞0时，m=-1+1=0；
当a＜0，b＜0时，m=-1-1=-2，
则m的值为0或2或-2．



三、课后精练
第一组
1. B
【解答】倒数等于它本身的数是±1，故B错误
2. C
3. B
【分析】根据两数的积大于0，可得两数同号，再根据两数和小于0，可得两数为负．
4. C
5. 8； 8； 0； 0； ﹣8； ﹣8； ﹣12； ﹣12
6. 0
7.（1）4 （2）
8. 1
9. 牛奶和水的数量相等.
【分析】根据题意，因为每次喝掉的数量就等于加水的数量，因此，加水的数量为：
++=1（杯）；牛奶就是1杯，因此牛奶的数量就是1杯，故牛奶和水的数量相等．
10. (1)211-1
(2)
【解答】(1)设S=1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2，得
2S=2+22+23+24+…+211
将下式减去上式，得
2S-S=211-1
即S=1+2+22+23+24+…+210=211-1；
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n，
将等式两边同时乘以3，得
3S=3+32+33+34+…+3n+1，
将下式减去上式，得
3S-S=3n+1-1
即2S=3n+1-1
得S=1+3+32+33+34+…+3n
=.
．
第二组
1. C
2. C
【解答】原式=（0.25×4）2007×（-4）=-4．
3.
4. 1
【解答】71=7，72=49、73=343、74=2401、75=16807、76=117649，
∴可得出个位数分别为7、9、3、1且呈周期性变化，
又∵=6，
724的个位数字与74的个位数字相同为：1.
5. 12
【分析】根据题意可知（3-m）、（3-n）、（3-p）、（3-q）均为整数，然后将9分解因数即可求得答案．
【解答】∵m，n，p，q是4个不等的偶数，
∴（3-m）、（3-n）、（3-p）、（3-q）均为整数．
∵9=3×1×（-1）×（-3），
∴可令3-m=3，3-n=1，3-p=-1，3-q=-3．
解得：m=0，n=2，p=4，q=6．
∴m+n+p+q=0+2+4+6=12．
6.（1）﹣1 （2）﹣ （3） （4）14
7. 8次
【分析】根据乘方的定义和题意可知，拉面师傅拉1次面条根数为21，拉2次面条根数为22，…，拉n次面条根数为2n，而此时面条有256根，据此列出方程，求出方程的解即可．
【解答】设拉面师傅拉n次就可以变成一碗面条．
则2n=256，
由于256=28，
∴n=8．
8. 1
【分析】先根据题中的新定义a*b＝，可得a=，b=，然后再利用新定义可得出最后结果．
【解答】由新定义运算法则a*b＝可知：
（*）*＝ EQ \F(＋,1－×) *＝*＝ EQ \F(＋,1－×) ＝1
9. 1023条
【分析】一张纸条沿同一个方向对折后被折成了2折，一条折痕；对折2次，被折成了4折，3条折痕；对折3次，被折成了8折，7条折痕；对折4次，被折成了16折，15条折痕；…由此得出，对折n次，被折成了2n折，2n-1条折痕；由此代入求得答案即可．
【解答】对折1次，展开，有1条折痕；
对折2次，展开，有3条折痕；
对折3次，展开，有7条折痕；
对折4次，展开，有15条折痕；
…
对折n次，展开，有2n-1条折痕；
折10次，展开，这张纸的折痕210-1=1023条．
10. (1)﹣9
(2）=
(3)满足交换律
【分析】（1）运用运算公式a?b=a?b-a-b-2，将a=-2，b=3导入即可得到代数式(-2)?3的值．
（2）运用运算公式a?b=a?b-a-b-2，分别计算出4?（-2）和 （-2）?4的值即可得到答案．
（3）是否满足关键是利用公式a?b=a?b-a-b-2计算一下a?b和b?a的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
【解答】（1）（-2）?3=（-2）×3-（-2）-3-2=-9；
（2）4?（-2）=4×（-2）-4+2-2=-12；
（-2）?4=（-2）×4+2-4-2=-12，
故填：=；
（3）这种运算：“?”满足交换律．
理由是：∵a?b=a?b-a-b-2，
又∵b?a=b?a-b-a-2=a?b-a-b-2，
∴a?b=a?b．






【提高训练】
1. 288元或316元
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】该人一次性购物付款80元，据条件（1）、（2）知他没有享受优惠，故实际购物款为80元；
另一次购物付款252元，有两种可能，
其一购物超过300元按八折计，则实际购物款为
252÷0.8=315元．
其二购物超过100元但不超过300元按九折计算，则实际购物款为
252÷0.9=280元．
故该人两次购物总价值为395元或360元，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：
360×0.8=288元
395×0.8=316元
2. 4张或20张
【解答】由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．
∵（x，y）=4，（y，z）=3
∴y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数．
又∵[x，y，z]=60
∴y=12，60．进而可求出x．
∵[x，y，z]=60=3×4×5．
当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．
若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质
∴x中有因数20
∵[x，y，z]=60，（x，y）=4
∴x=20
当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数
∴x=4，或x=12
∵（x，y）=4
∴x=4
当y=60时，（x，y）=4，而x中没有因数5，且[x，y，z]=60=3×4×5，
故x=4．
3.（1）抽取“-3”与“-5”时，乘积最大，最大结果为15；
（2）抽取“-5”与“+3”时，商最小，最小结果为-



4. 1或﹣3
【分析】由，可知，a、b、c的符号有两种可能的情况：①a、b、c全是负数；②a、b、c两正一负；由此分类探讨求得答案即可．
【解答】，
①当a、b、c全是负数，
则原式=++×
═++
=﹣1﹣1﹣1
=﹣3；
②a、b、c两正一负，
则原式=++×
=++，一定是两个1与一个﹣1的和，
计算的结果是1+1﹣1=1．
5.（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3；
（2）将第一组等式变形为：，，
得出如下猜想：“若n是正整数，则”，
证法1：左边=＝右边，
所以猜想是正确的，
证法2：右边＝＝左边，
所以猜想是正确的．
（3）+++…+
＝×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）＝×＝．










21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)