6.5 角与角的度量(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019-2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识
6.5 角和角的度量
【知识清单】
1.从静态角度认识角：如图(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.
2.从动态角度认识角：如图(2)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
3.角的表示：角的表示法：角的符号为“∠”.
①用三个字母表示，顶点的字母必须放在中间，如图(3)所示∠AOB或∠BOA；
②用一个字母表示，在这个顶点上只有一个角，如图(3)所示∠A；
③用一个数字表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠1；
④用希腊字母表示，在要表示的角的内部画弧线，如图(4)所示∠α.
4.角的性质：
①因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关；
②角的大小可以度量.
③角可以参与运算.
5.角的基本度量单位:度“°”、分“′”、秒“″”.
6.角度数的换算：1°=60′，1′=60″.注意：相同单位逢十进一，不同单位的逢六十进一.
7.平角：如图(5)射线OA绕点O旋转，当终边OB在始边OA成一条直线时，所成的角叫做平角，一个平角等于180°；
8.周角：如图(6)射线OA绕点O旋转，当终边OB与始边OA再次重合时所成的角叫做周角，一个周角等于360°.
【经典例题】
例题1、用度、分、秒表示28.34°，正确的是(　　)
A. B. C. D.
【考点】度分秒的换算．
【分析】进行度、分、秒转化运算，注意以60为进制．
【解答】根据角的换算可得28.34°=28°+0.34×60′
=28°+20.4′
=28°+20′+0.4×60″
=28°20′24″．
故选B．
【点评】此类题是进行度、分、秒转化运算，相对比较简单，掌握以60为进制是解题的关键．
例题2、时钟指向2时25分时，这时时针与分针所成的锐角是______．
【考点】钟面角．?
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，可以推出分针每分钟转6°，时针在钟面上每分钟转0.5°，找出时针和分针之间相差的大格数进行计算即可．
【解答】∵时钟分针每分钟转6°，时针在钟面上每分钟转0.5°，
∴钟表上2点25分，时针与分针的夹角可以看成2×30°+(30°0.5°×25)=77.5°．
故答案为：77.5°．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动6°时针转动0.5°，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形是解题是关键．
【夯实基础】
1．下列说法中，正确的个数是(??)?
①角是由两条射线组成的图形； ?②角可以看成一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ?③一条直线就是一个平角；④一条射线就是一个周角；⑤角的边越长，角的度数越大.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．图中角的个数是(? ?)?
? A．5个 B．8个
C．9个 D．10个
3．下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是(? ?)
4．下列关于角度的互化中，正确的是(??)
? A．75.3°=75°30′? B．33°24′36″=33.48°
? C．36°36′36″=36.6°? D．56.35°=56°21′
5．(1)= °， ′.
(2)若∠1=46°25′，∠2=46.5°，则∠1与∠2的大小关系是 .
(3)时钟显示为上午9时30分，时针与分针所夹角度是 .
(4)从上午7时20分到上午9时45分，时钟的时针转过的角度是 .
6．回答下列问题：?(1)写出图中能用一个字母表示的角 ，?(2)写出图中以点A为顶点的角 ，(3)写出图中以AD为边的角(小于平角) ?，(4)图中共有
(小于平角) 个角.?
7． 请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：(每个填一个正确的即可)
∠1
∠2
∠4
∠F
∠DAC
∠ABC
∠FCB
8．如图，用量角器度量三角形ABC的各个角的度数：
(1)量得∠A= ∠B= ∠C= .
(2)计算：∠A+ ∠B+∠C= .
9. 计算：
(1) 25°32′57″+37°56′48″； (2)156°107°42′；

(3) 27°16′34″×6； (4)31°26′2″÷7.
【提优特训】
10．如图所示，下列说法错误的是(??)?
? A．∠ABO就是∠DBA??? B．∠DOC就是∠O?
C．∠2就是∠DBC??? D．∠ADO就是∠1
11．由5点15分到5点30分，时钟的分针与时针转过的角度分别是(? ?)
? A．30°，15° ? ?B．45°，10.5°? ?C．60°，9° ??D．90°，7.5°
12．如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB的度数为( )
A．55° B． 45° C．115° D．125°
13. 如图，点O在直线AB上，若∠BOC=58°20′24″，则∠AOC的大小是( )
A． 41°39′36″ B． 42°39′36″ C． 110°39′36″ D． 110°20′24″
14．将一个圆形的蛋糕平均分成n等份，若每一份的角为24°，则n的值为 ．
15．(1) 一个轮子滚动4圈用了8min，则每秒钟轮子滚动过的角度为 度.
(2) 一艘船的航向从正北按顺时针方向转到东南方向，它转了 度．
16．如图(1)，OA表示北偏东35°方向的一条射线，OB表示南偏西45°(东南方向)方向的一条射线.
(1) 在图(1)中，依照上述方法画出符合条件的射线；
①南偏东55°的射线OD；②西南方向的射线OE；③北偏西65°的射线OF.
(2) 图(2)中，你能指出学校、车站、影院在广场的什么方向吗？
(3) 若甲同学在点C看见乙同学的位置是北偏西36°方向的点D处，则此时甲同学在乙同学的
什么方向？(画图说明)
17．如图，∠AOD=∠BOC=90°，
(1)∠AOC与∠BOD相等吗？
(2)若∠AOB=127.6°，则∠COD等于多少度？

18．观察图形，回答下列问题：
(1)图①中有几个不同的角？(2)图②中有几个不同的角？(3)图③中有几个不同的角？
(4)若在∠AOB内部有3条射线OA1，OA2，OA3，则图中有几个不同的角．
(5)若在∠AOB内部有99条射线OA1，OA2，OA3，…，OA99则图中有几个不同的角．
(6)依此类推，如图④所示，∠AOB中有n条射线，则此时这个图中共有多少个不同的角？
19．如图，有一张地图，点 A、B、C代表三地，但是已被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了.但是知道C地在A地的南偏西45°，在B地的北偏西52°，请你确定C地的位置.
20．(1) 作一个四边形ABCD，分别量得∠A= °，∠B= °， ∠C= °，∠D= °，计算∠A+∠B+∠C+∠D= °.
(2) 再作另一个四边形EFGH，分别量得∠E= °，∠F= °， ∠G= °，
∠H= °，计算∠E+∠F+∠G+∠H= °.
(3) 综合(1)(2)你有什么猜想？请你把他写出来.

21．某人下午6点多多一点出门时，抬头看了一下时钟上的时针和分针的夹角恰为110°，等他回来以后，发现表上的时针和分针的夹角仍是110°，且还播放〈新闻联播〉，试算一算此人外出共用了多长时间．
【中考链接】
22．(2019?模拟) 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午1点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有(　　)
A．有一种 B．有四种 C．有五种 D．有六种
23．(2019?模拟)如图，OA的方向是北偏东25°，OB的方向是北偏西35°，若∠AOB=∠AOC，则OC的方向是 .


参考答案
1、A 2、D 3、B 4、D 5．(1)17 ，45 (2) ∠1<∠2 (3) 105° (4)72.5°
6、(1) ∠B , ∠C (2) ∠BAD或∠DAB, ∠DAC或∠CAD, ∠BAC或∠CAB, (3) ∠BAD或∠DAB, ∠DAC或∠CAD, ∠ADB或∠BDA, ∠ADC或∠CDA, (4)7. 7、用三个字母表示角不唯一：
∠1
∠β
∠2
∠3
∠4
∠F
∠α
∠BAC
∠DAC
∠ACB
∠ABC
∠FBE
∠AFB
∠FCB
10、B 11、D 12、C 13、C 14、15 15、(1) 3 ，(2) 135 22、C 23、北偏东75°
8．如图，用量角器度量三角形ABC的各个角的度数：
(1)量得∠A= 60° ，∠B= 45° ，∠C= 75° .
(2)计算：∠A+ ∠B+∠C= 180° .
9. 解：(1)原式=62°88′105″=63°29′45″；
(2)原式=155°60′107°42′=48°18′；
(3)原式=27°×6+16′×6+34″×6
=162°+96′+204″
=163°37′24″；
(4)原式=28°÷7+203′÷7+182″÷7
=4°+29′+26″=4°29′26″.
16．解：(1)如图(3)是所作图形：
(2)学校在广场的北偏西37°的方向上，
车站在广场的北偏东32°的方向上，
影院在广场的南偏东50°的方向上.
(3)南偏东36°的方向上如图(4).
17．解：(1)相等：
∠AOD=∠BOC
∠AOD+∠COD =∠BOC+∠COD
∠AOC=∠BOD.
(2) ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°，
∠AOD=∠BOC=90°，
∠AOB +∠COD =360°(∠AOD+∠BOC)=180°.
∠COD=180°∠AOB=180°127.6°=52.4°.
18． 解：(1) 图①只有一个角.
(2) 图②在∠AOB内部有1条射线OA1，则图中有1+2=3(个)不同的角．
?(3) 图②在∠AOB内部有2条射线OA1，OA2，则图中有1+2+3= 6(个)不同的角．
(4)在∠AOB内部有3条射线OA1，OA2，OA3，则图中有1+2+3+4=10(个)不同的角．?
(5)在∠AOB内部有99条射线OA1，OA2，OA3，…，OA99，
则图中有1＋2＋3＋…＋99＋100=5050(个)不同的角．
(6)在∠AOB内部画n条射线OA1，OA2，OA3，…，OAn，
则图中有1＋2＋3＋…＋n+(n+1) = (个) 不同的角．
19．解：如图，过点A画出南偏西45°的射线AC，
过点B画出北偏西52°的射线BC，
其交点就是确定的C地的位置.
20．解：(1) (2)因为所画四边形不同得到的各角的度数不可能相同，
但是∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠E+∠F+∠G+∠H=360°.
(3)四边形四个内角之和等于360°.
21．解：我们知道钟表的表盘是360°，共分成12个大格，时针12小时转动一圈，所以每个小时转动30°，每分钟转动0.5°.分针一个小时转动360°，每分钟转动6°.因为此人离开家不到一个小时，所以肯定是六点初离开家，快到7点回到家，这个过程中出现过2次时针与分针的夹角为110°的情况．
情况1，设出门时，已经是6点整过了x分钟，时针与分针指向数字12时的夹角大于180°，其度数为180°＋(0.5x)°，与此同时，分针与分针指向数字12时的夹角为(6x)°.
因为两针夹角为110°，根据题意可列方程180＋0.5x6x=110，解得x=.
情况2，设返回家时，时间为6点y分，夹角又为110°，
可列方程6y(180+0.5y)=110，解得y=.?
yx=40，?
所以此人外出共用了40分钟．