3.5 圆周角 强化提升训练（解析版）

初中数学浙教版九年级上册3.5 圆周角 强化提升训练
一、综合提升
1.如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠ABC＝70°，则∠BAD的度数是（?? ） 21·cn·jy·com
A.?50°???????????????????????????????????????
B.?45°???????????????????????????????????????
C.?35°???????????????????????????????????????
D.?30°
2.如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若 ＝2 ＝2 ，则下外说法正确的是（ ??） 2·1·c·n·j·y
A.?AB＝ AE???????????????????????
B.?AB＝2AE???????????????????????
C.?3∠A＝2∠C???????????????????????
D.?5∠A＝3∠C
3.如图， 中， 是 内部的一个动点，且满足 ,则线段 长的最小值为（?? ）
A.???????????????????????????????????????
B.???????????????????????????????????????
C.???????????????????????????????????????
D.?
4.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB= ，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（??? ）
A.?5???????????????????????????????????????????
B.?6???????????????????????????????????????????
C.?7???????????????????????????????????????????
D.?8
5.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（?? ） 21·世纪*教育网
A.?2???????????????????????????????????????
B.?8???????????????????????????????????????
C.????????????????????????????????????????
D.?2
6.如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC=80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连接PC，则∠APC的度数是________度(写出一个即可). www-2-1-cnjy-com
7.如图，⊙O的直径AB=8，P为O0上任一点（不同于A、B两点），∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为________. 21*cnjy*com
8.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为________． 21教育名师原创作品
9.定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， ， 是弧 的中点， 于 ，则 ．
如图2，△ 中， ， ， ， 是 上一点， ，作 交△ 的外接圆于 ，连接 ，则 =________°． 21cnjy.com
10.如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B．
11.已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，动点P在⊙O2上，且在⊙1外，直线PA、PB分别交⊙O1于C、D，问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．
2-1-c-n-j-y
12.如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE. 21*cnjy*com
（1）求证：EC平分∠BED.
（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE.
二、中考演练
13.如图所示，AB是⊙O的直径，弦 于H， ，则⊙O的半径是________．
14.如图， 是⊙ 上的四点，且点 是 的中点， 交 于点 ， ， ，那么 ________.
15.如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，连接 ， ，如果 ，那么 的度数为（? ）
A.?????????????????????????????????????
B.?????????????????????????????????????
C.?????????????????????????????????????
D.?
16.如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度数为（??? ）．
A.?30°???????????????????????????????????????
B.?40°???????????????????????????????????????
C.?50°???????????????????????????????????????
D.?60°
17.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（??? ）
A.?20°???????????????????????????????????????
B.?35°???????????????????????????????????????
C.?40°???????????????????????????????????????
D.?55°
18.已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 于点M，N；（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（??? ）
A.?∠COM=∠COD??????????????
B.?若OM=MN，则∠AOB=20°??????????????
C.?MN∥CD??????????????
D.?MN=3CD
答案解析部分
一、综合提升
1. C
解析：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝20°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠ADC＝∠B＝70°，
∴∠DAC＝∠DCA＝55°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝35°，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝∠B＝70°，从而求出∠BAC＝20°，由等边对等角∠DAC＝∠DCA，利用三角形内角和定理可得∠DAC＝∠DCA＝55°，从而求出∠BAD的度数.
2. C
解析：∵ ，
∴ ，
∵∠BOD+∠EOC+∠DOE＝180°，
∴∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝67.5°，
同理，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，
∴∠A＝45°，
∵BC为直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
∴ ，故A、B不符合题意；
3∠A＝135°，2∠C＝135°，
∴3∠A＝2∠C，C符合题意；
5∠A＝225°，3∠C＝202.5°，
∴5∠A≠3∠C，D不符合题意；
故答案为：C. 【分析】根据弧，弦，圆心角的关系可得∠BOD=∠COE=∠DOE，从而求出∠BOD＝∠EOC＝45°，∠DOE＝90°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠OBD＝∠ODB＝67.5°，∠OEC＝∠OCE＝67.5°，∠A＝45°，根据圆周角定理可得∠AEB＝∠CEB＝90°，从而可得AB=AE，据此判断A、B；由∠A=45°，据此判断C、D.【版权所有：21教育】
3. C
解析：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP =90°，
∴∠APB=90°，
∴OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC= ,
∴PC=OC-OP=5-3=2，
故答案为：C. 【分析】设AB的中点为O,由题意可得∠APB=90°，OP=OA=OB，点P在以AB为直径的 O上，连接OC交于 O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出OC，即可求出线段 长的最小值 .
4. D
解析：如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB= ，AD=10，
∴BD= ，
∵AD是⊙E的直径，AD=10，
∴DE=5，
∴在Rt△BDE中，BE= ?
∵在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，
∴点H始终在⊙E上，且HE=5，
∴当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，此时BH最短=BE-HE=13-5=8.
【分析】如图，连接BD，作以AD为直径的⊙E，连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，根据勾股定理算出BD的长，在Rt△BDE中，根据勾股定理算出BE的长，根据直径所对的圆周角是直角，由在点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC于点H，得出点H始终在⊙E上，且HE=5，故当点B、H、E三点在同一直线上时，BH最短，由BH最短=BE-HE即可算出答案。21教育网
5. D
解析：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵OC2+AC2＝OA2 ，
∴（R﹣2）2+42＝R2 ， 解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝ .
故答案为：D. 【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，如图，根据垂径定理可得AC=BC=4,在Rt△AOC中,利用勾股定理可得（R﹣2）2+42＝R2 ， 解方程求出R，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EC的长.www.21-cn-jy.com
6. 30(答案不唯一)
解析：∵弧AC=弧AC ∴∠AOC=2∠ABC ∴∠ABC=80°÷2=40° ∵∠ABC＞∠APC ∴0°＜∠APC＜40° 故∠APC可以取30° 故答案为：30°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠APC的取值范围，即可得出∠APC的度数。
7.
解析：连接OE，连接OC交EF于点D. ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° 又∵PC平分∠APB ∴弧AC=弧BC?? ∴OC⊥EF ，? AC=BC ∴ EF=2DE，∠BAC=∠ABC=45° ∴AC=BC=AB·sin∠BAC=4 又∵M、N分别是AC、BC的中点 ∴ MN:AB=1：2 ， MN∥AB? ∴△CMN∽△CAB ∴CD:OC=MN:AB=1：2 ∴OD=CD=2 在Rt△OED中，DE= ∴ EF=2DE=. 故答案为：. 【分析】连接OE，OC.先根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由PC平分∠APB得弧AC=弧BC ，所以根据圆周角定理的推论得?AC=BC，从而∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC=AB·sin∠BAC=4；又根据垂径定理得OC⊥EF，从而得EF=2DE。再利用三角形的中位线定理证得△CMN∽△CAB及其相似比，从而求出OD的长，然后在在Rt△OED中利用勾股定理求出DE的长，从而得EF的长。
8.
解析：在△BCE与△CDF中， ∴△BCE≌△CDF， ∴∠EBC=∠FCD， ∵∠BCG+∠GCE=90°， ∴∠BCG+∠GBC=90°， ∴∠BGC=90°， ∴点G在以BC为直径的圆上运动， 设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小， DO=， ∴DG=DO-GO=DO-BC=. 故答案为：. 【分析】利用三角形全等的性质及三角形的内角和可求出∠BGC=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直角可得点G在以BC为直径的圆上运动，设BC的中点为O，当D、G、O三点共线时，DG的长度最小，利用勾股定理求出DO的长，由DG=DO-GO计算即可.
9. 60
解析： ∵AB=8 BC=6 BD=1 ∴AD=7 BD+BC=7 AD=BD+BC ∵ED⊥AB 点E为弧ABC的中点，弧AE=弧CE ∠AOE=∠COE ∠AOC=2∠ABC=120° ∠COE=120° ∠CAE=
【分析】根据圆心角和弧、弦的关系，可利用圆周角定理得出度数。
10. 证明：

方法（一）
证明：∵AB、CD是⊙O的直径，
∴弧CFD=弧AEB．
∵FD=EB，
∴弧FD=弧EB．
∴弧CFD-弧FD=弧AEB-弧EB．
即弧FC=弧AE．
∴∠D=∠B．
方法（二）
证明：如图，连接CF，AE．
∵AB、CD是⊙O的直径，
∴∠F=∠E=90°（直径所对的圆周角是直角）．
∵AB=CD，DF=BE，
∴Rt△DFC≌Rt△BEA（HL）．
∴∠D=∠B．
【分析】方法（一）根据等弦所对的优弧与优弧相等，所对的劣弧与劣弧相等即可得出 ∴弧CFD=弧AEB， 弧FD=弧EB，根据等式的性质即可得出 即弧FC=弧AE，根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠D=∠B ； 方法(二） 如图，连接CF，AE． 根据直径所对的圆周角都是直角得出 ∠F=∠E=90° ，然后由HL判断出 Rt△DFC≌Rt△BEA ，根据全等三角形对应角相等即可得出结论 ∠D=∠B．
11.解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关， 证明：如图，连接AD，∵∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，∴∠ADP为定值，∵∠P在⊙O2中所对的弦为AB，∴∠P为定值，∵∠CAD=∠ADP+∠P，∴∠CAD为定值，∵在⊙O1中∠CAD对弦CD，∴CD的长与点P的位置无关．
【分析】连接AD、AB，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．
12. （1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEB＝90°.
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝45°.
∴∠BEC＝∠DEC，
即EC平分∠BEC；（2）解：连结BC，OE，
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，
在△BEC与△DEC中， ，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠CBE＝∠CDE.
∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE.
∴∠AOE＝∠COE，
∴AE＝CE.
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得 ∠AEB＝∠DEB=90°，由垂径定理可得弧AC=弧BC，所以∠BEC=∠DEC=45°，根据角平分线的定义可知， EC平分∠BEC； （2） 连结BC，OE， 由题意用边角边易证 △BEC≌△DEC， 所以 ∠CBE＝∠CDE. 由同角的余角相等可得∠CDE=∠ABE，所以可得∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得弧AE=弧CE，所以AE=CE。
二、中考演练
13. 2
解析：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦 于H，
，
，
在 中， ，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2 【分析】连接BC，如图所示,根据圆周角定理及垂径定理，可得∠ACB=90°，CH=DH=CD=， 利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC=2CH=2， 由直角三角形的性质得出AC=BC=2， AB=2BC，从而BC=2，AB=4，即可求出半径的长.21世纪教育网版权所有
14. 60°
解析：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 。
故答案为:60°。
【分析】连接 .根据等弧所对的圆心角相等得出， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出， 然后根据三角形的外角定理，由即可算出答案。【来源：21·世纪·教育·网】
15. C
解析：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C． 【分析】连接DC，根据直径所对的圆周角为90°得到∠BDC=90°，从而根据直角三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠ECD，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠DOE。
16. D
解析：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：D ．
【分析】根据圆周角的性质，得到∠AOC的度数，根据题意得到弧AC=弧BC，根据弧与圆周角以及圆心角的关系得到答案即可。【来源：21cnj*y.co*m】
17. B
解析：连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝ ∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故答案为：B。
【分析】连接FB，根据邻补角的定义得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠FEB＝ ∠FOB=70°，根据等腰三角形的性质得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可算出答案。【出处：21教育名师】
18. D
解析：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项不符合题意；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故B选项不符合题意；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCD=∠OCM=80°，
∴∠MCD=160°，
又∠CMN= ∠AON=20°，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项符合题意；
故答案为：D． 【分析】根据题意中作图可知，CM=CD=DN，根据圆周角定理，圆心角定理进行判断。