6.7 角的和差(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019－2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识
6.7 角的和差
【知识清单】
1.两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；
2.两个角的差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.
3.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
4.角的三等分线：从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，这两条射线就叫这个角的三等分线.
5.角的四等分线：从一个角的顶点引出三两条射线，把这个角分成四个相等的角，这些射线叫做这个角的四等分线.
6.同样也可以定义角的五等分线，角的六等分线，角的n等分线.
【经典例题】
例题1、下列说法中正确的是
A．两个锐角相加一定是直角 B．比锐角大的角一定钝角
C．钝角与锐角的差一定小于直角 D．钝角与直角的差一定是锐角
【考点】角的和差与角的大小比较．
【分析】根据钝角、直角、锐角的定义：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；据此解答即可.
【解答】A、两个都大于45°的角相加大于直角，故A错；
B、比锐角大的角也可能还是锐角，故B错；
C、如175°的角与1°的角的差一定大于直角，故C错；
D、钝角与直角的差一定小于直角，故D正确.
故选D．
【点评】此题主要考查钝角、直角和锐角的定义，理解和掌握钝角、直角、锐角的定义是解决此题的关键．
例题2、将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在AB边上一点F，若∠ADF=58°，则∠FDE的度数为 16° ．
【考点】角的计算；翻折变换(折叠问题)．?
【分析】先根据四边形ABCD是长方形得出∠ADC=90°，再由∠ADF=58°求出∠FDC的度数，由图形翻折变换的性质即可得出结论．
【解答】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADF=58°，
∴∠FDC=90°－58°=32°，
∵由折叠可知DE是∠FDC的平分线，
∴∠FDE =∠FDC=16°．
故答案是∠FDE =16°．
【点评】本题考查的是角的和差以及角的计算，熟知角平分线的定义和图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
【夯实基础】
1．如图所示，下列结论错误是是(??)
?A．∠AOB+∠COB=∠AOD－∠DOC ??
B．∠DOB+∠AOC=∠DOA+∠COB ?
C．∠DOB+∠AOC －2∠COB =∠AOD ??
D．∠AOD－∠DOB=∠AOC－∠COB
2．如图，下列表示不正确的是(　C　)
A．∠B=∠ABD=∠CBA B．∠C=36°[来源:Z+xx+k.Com]
C．∠ADB+∠ADC=180°[来源:学科D．∠α+∠β=∠A
3．已知∠AOB=56°，从∠AOB的顶点O引一条射线OC，使∠AOC=18°，则∠BOC的度数
为( )
? A．38°? ?B．74°? ?C．38°或74°? ?D．无法确定
4．如图所示，点A，O，B在同一直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE
为( )
A．锐角? ?B．直角? ?C．钝角?? D．平角
5．(1)如图，∠BOD=∠COE=Rt∠，则∠1______∠2(填“>”“<”或“=”)?.
(2)已知OC是∠AOB的三等分线，若∠AOC=32°，则∠AOB的大小为 .
6．(1)如图，已知∠AOC直角， ∠COB=38°， ∠AOD=∠AOB，则∠BOD=_______°.
(2)如图所示，OC是∠AOD的平分线，OB平分∠AOC，且∠COB=23°，则∠AOD的度数为 .
7．如图，已知∠AOD=120°，∠AOC是直角，OB为∠AOD的平分线，根据图形填空：
解：(1)∵∠AOD=120°，∠AOC= °，
∴∠DOC=∠AOD－ = °.
∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB= = ∠AOD= °.
∴∠COB= －∠DOC=60°－ ° = °.
∴∠DOC ∠COB= °.
∴OC是∠DOB的 .
(2) ∵∠AOB－∠DOC= °，∠AOC+∠DOB－∠AOD= °.
∴∠AOB－∠DOC ∠AOC+∠DOB－∠AOD.
8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β－∠γ.

9．如图∠BOC=4∠AOC，OD平分∠AOB，
(1)若∠COD=33°，求∠AOB的度数．
(2)请画出∠BOD的角平分线OE，∠DOC的角平分线OF，
试猜想∠EOF与∠AOC的数量关系，并说明理由．

【提优特训】
10．如图，∠AOB=3∠BOC，∠AOD=8∠BOC，若∠DOC=60°，则∠BOC的度数为( )
A．10°??B．15°??C．20°??D．25°

11. 若∠AOB是平角，射线OC将∠AOB分为∠AOC与∠COB两个角，若∠COB=∠AOC，射线OD是∠AOC的平分线，则∠COD的度数为( ).
A．67.5° B．72.5° C．78.75° D．79.5°
12．如图所示，射线OB、OC、OD在∠AOE的内部，若∠AOE=75°，∠BOD=28° ，则图中所
有角的和为( )
A．300° B．356° C．360° D．无法求出
13. 如图所示，OD，OC是∠AOB的任意两条射线，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，若∠POQ
=α，∠DOC=β，则表示∠AOB的代数式是(　　)
A．2α－β B．α－β C．α+β D．以上都不正确
14．(1)已知∠AOB=90°，射线OC平分∠AOB，射线OD平分∠BOC，射线OE平分∠AOD，则∠COE的度数等于 .
(2)若∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC的度数为 .
15．(1) 如图，将长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，则∠CBD= ．
(2) 如图是3×3网格图，每个小正方形的边长为1，则∠1+∠2+∠3+…+∠7+∠8+∠9的和为 ，计算技巧是 ．
16．射线OE在∠AOB的内部，下列四个式子中：① ∠AOE=∠EOB；②∠AOE+∠EOB=∠AOB；③∠AOB=2∠BOE；④∠AOE=∠AOB；⑤∠BOE:∠AOB=1:2.
能判断OE是∠AOB的平分线的是 (填序号).
17．已知∠AOB是Rt∠.请回答下列问题：
(1) 如图(1)，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为 ．
(2) 如图(2) OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，若∠BOC=40°，猜想∠DOE的度数为 ．
(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠BOC=40°改成∠BOC=α(锐角)，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
18．如图(1)所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．(2)若将三角尺AOB绕点O旋转到如图(2)的位置．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
19．已知∠AOB=42°，过点O作一条射线OC，若∠BOC=∠AOC，求∠BOC的度数.

20．已知∠AOB=(n+1)°，在∠AOB的内部引n条射线分别为OA1，OA2，OA3，…，OAn－1，OAn，
依据要求回答问题：
(1)若∠BOA1=∠BOA，则∠A1OA= °.
(2)若∠A1OA2=∠A1OA，则∠A2OA= °.
(3) 若∠A2OA3=∠A2OA，则∠A3OA= °.
……
(4) 若∠An－1OAn=∠An－1OA，
则∠AnOA= °.
【中考链接】
21．(2019?模拟) 把一副三角尺按如图2所示拼在一起，则∠ACB等于(??)
? A．70°? ?B．90°? ?C．105°?? D．120°
22．(2019?模拟)如图所示，将长方形ABCD沿AE折叠，点D落在长方形ABCD的内部点F处，若∠CEF=76°，则∠AED的大小是 .
23．(2019?模拟) 如图，已知∠AOB=m度，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，…，OAn平分∠AOAn－1，则∠AOAn的度数为___度．
参考答案
1、C 2、D 3、C 4、B 5、(1) = (2) 96°或48° 6、(1) 26 (2) 92° 10、C 11、C
12、B 13、A 14、(1) 11.25° (2) 50°或130° 14、(1) 90° (2) 405°、9×45°
15、(1) 不变 (2) < 16、①③④⑤ 21、D 22、52° 23、 m
7．如图，已知∠AOD=120°，∠AOC是直角，OB为∠AOD的平分线，根据图形填空：
解：(1)∵∠AOD=120°，∠AOC= 90 °，
∴∠DOC=∠AOD－∠AOC= 30 °.
∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB=∠DOB = ∠AOD= 60 °.
∴∠COB= ∠DOB －∠DOC=60°－ 30 ° = 30 °.
∴∠DOC = ∠COB= 30 °.
∴OC是∠DOB的 平分线 .
(2) ∵∠AOB－∠DOC= 30 °.
∠AOC+∠DOB－∠AOD= 30 °.
∴∠AOB－∠DOC = ∠AOC+∠DOB－∠AOD.
8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β－∠γ.

作法1：如图(1)①用量角器量得∠α=25°，∠β=40°，∠γ=120°，
所以2∠α=50°，∠β=20°，∠γ=40.
②作射线OA.
③用量角器作射线OB，使∠AOB=50°.
④用量角器在∠AOB的外部以射线OC为边作射线OC，使∠BOC=20°.
⑤用量角器在∠AOC的内部以射线OA为边作射线OD，使∠AOD=40°.
∠DOC=30°=2∠α+∠β－∠γ，∠DOC就是所求作的角.

作法2：如图(2)①用量角器量得∠α=25°，∠β=40°，∠γ=120°，
所以2∠α=50°，∠β=20°，∠γ=40.
所以2∠α+∠β－∠γ=30°.
②作射线OA.
③用量角器作射线OB，使∠AOB=30°.
∠AOB=30°=2∠α+∠β－∠γ，∠AOB就是所求作的角.
9．如图∠BOC=4∠AOC，OD平分∠AOB，
(1)若∠COD=33°，求∠AOB的度数．
(2)请画出∠BOD的角平分线OE，∠DOC的角平分线OF，试猜想∠EOF与∠AOC的数量关系，并说明理由．
解：(1)∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=∠AOB，
设∠AOB=x，
则∠BOD=∠AOD=∠AOB=.
∵∠BOC=4∠AOC，
∴∠AOC =，
∵∠AOD－∠AOC=∠COD=33°.
∴－=33°.
解得x=110°，∴∠AOB=110°.
(2)结论：∠EOF=2∠AOC.
理由：设∠AOC=y，
则∠AOB=5y，
∠BOC=∠AOB －∠AOC =4y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=∠BOD.
∵OF平分∠DOC，
∴∠DOF=∠DOC.
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=(∠BOD+∠DOC)
=∠BOC=2y
∴∠EOF=2∠AOC.
17．解：
(1)∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，
∴∠DOC=∠COB， ∠COE=∠COA，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE
=∠BOC+∠COA
=(∠BOC+∠COA)
=∠AOB=45°；
(2)∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°.
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=∠DOB=∠BOC=20°，∠COE=∠AOC=65°，
∴∠DOE=∠COE－∠COD=65°－20°=45°.
(3)∵∠AOB=90°，∠BOC=α，
∴∠AOC=90°+α，
∵OD、OE分别是∠BOC、∠AOC平分线，
∴∠COD=∠DOB=∠BOC=，∠COE=∠AOC=45°+，
∴∠DOE=∠COE－∠COD=45°+－=45°.
18．解：(1)①∠AOD=90°+∠AOC
∠BOC=90°+∠AOC，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②∵∠AOC +∠AOB +∠BOD +∠DOC =1个周角，
∴∠AOC +90 +∠BOD +90 =360°.
∴∠AOC +∠BOD=180°；
(2)①∵∠AOD =90°－∠BOD，
∠BOC =90°－∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②成立．
∵∠AOC+∠BOD =∠AOB +∠BOC +∠BOD
=∠AOB +∠DOC
=90°+90°=180°，
∴∠AOC+∠BOD=180°．
19．已知∠AOB=42°，过点O作一条射线OC，若∠BOC=∠AOC，求∠BOC的度数.

解：根据题意可以作出图(1)与图(2)的两种图形.
由图(1)设∠BOC=x°，则∠AOC=(x) °，
∵∠AOB=42°=∠AOC+∠COB，
∴x+x=42，
解得，x=12°.
由图(2)设∠BOC=x°，则∠AOC=(x+42) °，
∵∠BOC=∠AOC，
∴x=(x+42)，
解得，x=28°.
∴∠BOC的度数的为12°或28°.
20．已知∠AOB=(n+1)°，在∠AOB的内部引n条射线分别为OA1，OA2，OA3，…，OAn－1，OAn，
依据要求回答问题：
(1)若∠BOA1=∠BOA，
则∠A1OA= =()°.
(2)若∠A1OA2=∠A1OA，
则∠A2OA= =()°.
(3) 若∠A2OA3=∠A2OA，
则∠A3OA=.
……
(4) 若∠An－1OAn=∠An－1OA，
则∠AnOA=
=°
23．(2019?模拟) 如图，已知∠AOB=m度，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，…，OAn平分∠AOAn－1，则∠AOAn的度数为 度．
解：∵∠AOB= m，OA1平分∠AOB，
∴∠AOA1=∠AOB=m，
∵OA2平分∠AOA1，
∴∠AOA2=∠AOA1=m=m，
同理∠AOA3=m=m
∠AOA4=m=m
……
∴∠AOAn=m.