浙教版七上数学第1章 有理数 尖子生测试
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列各数中是负数的是（ ??）
A.??????????????????????????????????????B.?﹣3?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.有理数a在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在0到1之间的是（?? ）
A.?∣a∣-1?????????????????????????????????????B.?∣a∣?????????????????????????????????????C.?一a?????????????????????????????????????D.?a+1
3.在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示．若ac<0，b+a<0，则一定成立的是（ ??）
A.?|a|>|b|????????????????????????????????B.?|b|<|c|????????????????????????????????C.?b+c<0????????????????????????????????D.?abc<0
4.若x＜0，则-│－x│+|-x-x|等于（???? ）
A.?0???????????????????????????????????B.?x???????????????????????????????????C.?－x???????????????????????????????????D.?以上答案都不对
5.如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则 A，B 分别对应数 a，b，且b-2a=7，那么数轴上原点的位置在 （?? ）
A.?A 点?????????????????????????????????????B.?B 点?????????????????????????????????????C.?C 点?????????????????????????????????????D.?D 点
6.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?2????????????????????????????????????????C.?3或5????????????????????????????????????????D.?2或6
7.若方程：2（x-1）-6=0与的解互为相反数，则a的值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?-1
8.-2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是?????。
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
9.如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A．B．C分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A．B．C的三个数依次为（? ）
?
A.?1，﹣2，0????????????????????????B.?0，﹣2，1????????????????????????C.?﹣2，0，1????????????????????????D.?﹣2，1，0
10.满足 的整数 a 的个数有（ ??）
A.?9 个?????????????????????????????????????B.?8 个?????????????????????????????????????C.?5 个?????????????????????????????????????D.?4 个
11.如图，M，N，P，R是数轴上的四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=3，则原点可能是（ ??）
A.?M或R??????????????????????????????????B.?N或P??????????????????????????????????C.?M或N??????????????????????????????????D.?P或R
12.已知 ，且 ，则x等于（??? ）
A.?-1????????????????????????????????????????B.?-2????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.若 ，则x的取值范围是________．
14.|x-5|+|2-x|的最小值为________．
15.已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当 取得最大值时，这个四位数的最小值是________．
16.有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是________，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有________种．
17.按一定规律排列的一列数依次为：， ， ， ， …，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是?________.
18.如图，点A、B为数轴上的两点，O为原点，A、B表示的数分别是x、x+2，B、O两点之间的距离等于A、B两点间的距离，则x的值是________.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.（10分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
20.（8分）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．
（1）点C表示的数是________．
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？
（3）点P表示的数是________（用含字母t的式子表示）
21.（10分）【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC=3，则AB=________；
（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），则AC________BD；（填“=”或“≠”）
（3）【解决问题】
如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；
（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．
22.（10分）如图，点A．B和线段MN都在数轴上，点A．M、N、B对应的数字分别为﹣1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．
（1）用含有t的代数式表示AM的长为________.
（2）当t=________秒时，AM+BN=11．
（3）若点A．B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由．
23.（8分）已知数轴上点A、B、C所表示的数分别是-3，+5，x.
（1）请在数轴上标出A、B两点；
（2）若AC=2，求x的值；
（3）求线段AB的中点D所表示的数；
（4）若x<0，用含x的代数式表示线段AC与线段BC的长度和.
24.（10分）【定义】：在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离具有2倍关系，则我们就称点C是其余两点的强点 或弱点 具体地：
①当点C在线段AB上时，若 ，则称点C是【A，B】的强点；若 ，则称点C是【B，A】的强点；
②当点C在线段AB的延长线上时，若 ，则称点C是【A，B】的弱点；
【例如】如图，数轴上点A、B、C、D分别表示数 、2、1、0，则点C是【A，B】的强点，又是【A，D】的弱点；点D是【B，A】的强点，又是【B，C】的弱点；
【应用】Ⅰ.如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为 ，点N所表示的数为4．
【M，N】的强点表示的数为________．
【N，M】的弱点表示的数为________．
Ⅱ.如图，数轴上，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为 一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒
求当t为何值时？P是【B，A】的弱点．________
求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点．________
25.（10分）在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________．
（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|=7的x的值为________．
（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．
浙教版七上数学第1章 有理数 尖子生测试
（解析版）
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.解析:因为﹣3的绝对值 ，所以A不符合题意；
因为 ，所以B符合题意；
因为 ，所以C不符合题意；
因为 ，所以D不符合题意．
故答案为：B． 分析:根据题意，首先将各个选项的数进行化简，根据负数的含义进行判断即可得到答案。
2.解析:∵a<-1， ∴∣a∣-1>0，∣a∣>1，-a>1，a+1<0， ∴可能在0到1之间的数只能是∣a∣-1. 故答案为：A.
分析:根据有理数a在数轴上的位置可得a<-1，再分别判断∣a∣-1、∣a∣、-a、a+1的范围即可得出可能在0到1之间的数只能是∣a∣-1.
3.解析:由数轴可得：a＜b＜c ．
∵a＜b ， ac＜0，b+a＜0，∴a＜0，a＜b ， a＜－b ， |a|＞|b|．
故选项A正确；
如果a=﹣2，b=0，c=1，则|b|＞|c|．
故选项B错误；
∵ac＜0，b+a＜0，∴如果a=﹣2，b=0，c=2，则b+c＞0．
故选项C错误；
如果a=﹣2，b=0，c=2，则abc=0．
故选D错误．
故选A． 分析:根据数轴上所表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜c，又根据异号两数相乘为负，由ac＜0得出a＜0，c＞0,根据两数的和为负数，则这两个数中至少有一个为负数，而且绝对值较大的数一定是负数，从而由b+a＜0，a＜b得出a＜0，a＜－b ， |a|＞|b|，故选项A正确，符合题意；B、C、D三个选项可运用举例子的方法反证都是错误的，从而得出答案。
4.解析:解:若x＜0，则-x>0,-x-x>0
所以，-│－x│+|-x-x|=-(-x)+(-2x)=-x
故答案为：C
分析:根据绝对值的性质由x＜0，得到=-x，=-2x，再化简即可.
5.解析:由图知，b-a=3,代入b-2a=7? ，所以a=-4 .原点在C. 故C符合题意. 故答案为：C.
分析:由数轴可知b-a=3，即b=a+3，再由b-2a=7，代入计算可求出a的值，进而可确定原点的位置.
6.解析:线段AB的长度=1-（-3）=4，①：AC=AB+BC=4+2=6；②：AC=AB-BC=4-2=2，故选D.
分析:此题有两种情况，①：点C在点B的右侧，即AC=AB+BC=4+2=6；②：点C在点B的左侧，即AC=AB-BC=4-2=2.
7.解析:解方程2（x-1）-6=0得：x=4,因为两方程的解互为相反数，所以方程的解是x=-4，把x=-4代入方程中得：， 解得a=.故选A
分析:因为两方程解互为相反数，可解出第一个方程的解，把解得相反数代入第二个方程中，得到关于a的一元一次方程，即可解得a得值.
8.解析:将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案。令每个抽屉之多有2个点，则最多有6个点。故。
分析:本题可以用抽屉原理解决。解决的时候可以先考虑相反的情况。 将数轴上的3段看成3个抽屉，先考虑相反的情况，得到的结果再取反即为答案。令每个抽屉之多有2个点，则最多有6个点。故。
9.解析:正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“A”与“﹣1”是相对面，
“B”与“2”是相对面，
“C”与“0”是相对面，
∵折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，
∴填入正方形A．B．C的三个数依次为1、﹣2、0．
故答案为：A．
分析:首先根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形；其次根据折成正方体相对的面上的两个数互为相反数，从而据此求解。
10.解析:令2a+7=0，2a-1=0，解得， , ,
1）当 时，
，
? .舍去.
2） 时，
,
0=0，所以a为任何数，所以a为-3，-2，-1,0.
3） 时， ,
? ,舍去.
综上，a为-3，-2，-1,0. 故D符合题意. 故答案为：D.
分析:先令2a+7=0，2a-1=0求出a的值，再分情况讨论绝对值里面代数式的符号去掉绝对值符号，求出符合条件的a值.
11.解析:∵ MN=NP=PR=1， ∴|MN|=|NP|=|PR|=1， ∴|MR|=3， ①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3， ∵|a|+|b|=3， ∴原点不可能在N或P点； ②当原点在M或R点且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3， 综上所述：此原点应该在M或R点. 故答案为：A. 分析:根据题意求得|MR|=3，在分情况讨论：当原点在N或P点时，可得|a|+|b|＜3，从而不符合题意；②当原点在M或R点且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3，符合题意. ?
12.解析:由x＜0， ，得2x-x+3=0．
解得x=-3，
故答案为：D．
分析:根据x＜0，可得出|x|=-x，再解方程求出x的值。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13.解析:①当x≥3时，原式可化为x＋3＝x－3，无解；②当0＜x＜3时，原式可化为x＋3＝3－x，此时x＝0；③当x≤0时，原式可化为－x＋3＝3－x，等式恒成立，综上所述，则x≤0，故答案为x≤0.
分析:根据绝对值的意义，此题需要分①当x≥3时,②当0＜x＜3时，③当x≤0时三类来讨论分别根据绝对值的意义，一一去掉绝对值的符号，再解方程即可得出结论。
14.解析:当x≤2时，原式=5-x+2-x=7-2x, ∵k=-2＜0，∴该函数是减函数， ∴当x=2时，最小值为3； 当2＜x＜5时，原式=5-x+x-2=3; 当x≥5时，原式=x-5+x-2=2x-7, ∵k=2＞0，∴该函数是增函数， ∴当x=5时，最小值为3； 故答案为：3. 分析:分三种情况讨论，即①当x≤2②当2＜x＜5时③当x≥5时，分别找出最小值，然后比较即可.
15.解析:若使 的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119.
分析:使 | a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a | 的值最大。则需要保证d?a，c?d最大，从而得出a,d的值，再根据低位上的数字不小于高位上的数字即可分别得出b,c的值，从而得出答案。
16.解析:根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1， ∵x前面的数要比x小，∴x=2， ∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大， ∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法， ∴共有2×3=6种结果， 故答案为：2，6 分析:根据题意得到x=2或x=1，由每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，得到x只能=2，9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，得到结果.
17.解析:∵=， =，
∴这列数依次为：， ， ， ， …，
∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，
∵8﹣5=11﹣8=14﹣11=3，
∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，
∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：
=
=．
故答案为：．
分析:首先根据=， =可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．
18.解析:观察数轴可知 ，所以 ，因为点B在原点左侧，所以点B表示的值为 ，即 ，解得
故答案为-4 分析:根据A、B表示的数分别是x、x+2，可得AB=2，从而求出BO=2，结合已知可得点B表示的数是-2，据此得出方程，求出x即可.
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
19.答案:（1）+3；+4；+2；0；D （2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，
根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
20.答案:（1）1 （2）解：[6﹣（﹣4）]÷2=10÷2=5（秒）
答：当t=5秒时，点P到达点A处 （3）2t﹣4
21.答案:（1）3π+3 （2）= （3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，
x+πx=π+1，解得x=1，
∴MN=π+1﹣1﹣1=π﹣1
（4）解：设点D表示的数为x，
如图1，若CD=πOD，则π+1﹣x=πx，解得x=1；
如图2，若OD=πCD，则x=π（π+1﹣x），解得x=π；
如图3，若OC=πCD，则π+1=π（x﹣π﹣1），解得x=π+ +2；
如图4，若CD=πOC，则x﹣（π﹣1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；
综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1
22.答案:（1）t+1 （2） （3）解：假设能相等，则点A表示的数为2t﹣1，M表示的数为t，N表示的数为t+2，B表示的数为11﹣t，
∴AM=|2t﹣1﹣t|=|t﹣1|，BN=|t+2﹣（11﹣t）|=|2t﹣9|，
∵AM=BN，
∴|t﹣1|=|2t﹣9|，
解得：t1= ，t2=8．
故在运动的过程中AM和BN能相等，此时运动的时间为 秒和8秒．
23.答案: （1）解： 如图所示： （2）解： ∵AC=2，A点表示的数为-3，C点表示的数为x， ∴|x+3|=2， 解得：x=-1或x=-5， ∴x的值为-1或-5. （3）解： 设点D表示的数为y（-3＜y＜5）， ∵A点表示的数为-3，B点表示的数为5，C点表示的数为x， ∴AB=8， 又∵D为AB的中点， ∴AD=AB=4， 即|y+3|=4， 解得：y=1或y=-7（舍去）， ∴y=1， ∴点D表示的数为1. （4）解： ① 当点C在点A左侧时 ， ∵A点表示的数为-3，B点表示的数为5，C点表示的数为x， ∴AC=-3-x，BC=5-x， ∴AC+BC=-3-x+5-x=2-2x； ② 当点C在点A右侧时， ∵A点表示的数为-3，B点表示的数为5，C点表示的数为x， ∴AC=x+3，BC=5-x， ∴AC+BC=x+3+5-x=8.
答案: 2 ；-8 ；
解：∴PA=AB-BP=60-4t， ∵P为【B，A】的弱点， ∴PB=2PA， 即4t=2（60-4t）， 解得：t=30. ∴当t=30秒时，P为【B，A】的弱点. ；解：?当P为【A，B】的强点时， ∴PA=2PB， 根据题意可得：BP=4t，AB=60，PA=60-4t， ∴60-4t=2×4t， 解得：t=5； ?当P为【B，A】的强点时， ∴PB=2PA， 根据题意可得：BP=4t，AB=60，PA=60-4t， ∴4t=2（60-4t）， 解得：t=10； ?当A为【B，P】的强点时， ∴AB=2AP， 根据题意可得：BP=4t，AB=60，PA=4t-60， ∴60=2（4t-60）， 解得：t=22.5； ?当A为【P，B】的强点时， ???????∴AP=2AB， 根据题意可得：BP=4t，AB=60，PA=4t-60， ???????∴4t-60=2×60， 解得：t=45； 综上所述：当t为5，10，22.5，45秒时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点．
25.答案:（1）1；﹣1或5 （2）；﹣3或4 （3）解：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|=（|x﹣1|+|x﹣100|）+（|x﹣2|+|x﹣99|）+…+（|x﹣50|+|x﹣51|）。
|x﹣1|+|x﹣100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和，当1≤x≤100时，|x﹣1|+|x﹣100|有最小值为|100﹣1|=99；
|x﹣2|+|x﹣99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和，当2≤x≤99时，|x﹣2|+|x﹣99|有最小值为|99﹣2|=97；
…
|x﹣50|+|x﹣51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和，当50≤x≤51时，|x﹣50|+|x﹣51|有最小值为|51﹣50|=1．
所以，当50≤x≤51时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值为：99+97+95+…+3+1=（99+1）+（97+3）+…+（51+49）=100×25=2500
