6.8 余角和补角(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019－2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识
6.8 余角和补角
【知识清单】
1.互余的定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角.
2.互补的定义：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角.
3. (1)余角的性质：同角或等角的余角相等.
(2)补角的性质：同角或等角的补角相等.
4.注意：互余或互补都是指两个角的关系.
【经典例题】
例题1、角α和β互补，α＞β，则β的余角为( )
A.α－β B.180°－α－β C. D.
【考点】余角和补角．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°表示出α+β，再根据互为余角的两个角的和等于90°列式整理即可得解．
【解答】解答：∵角α和β互补，
∴α+β=180°，
∴β的余角为：90°－β=(α+β)－β=(α－β)．
故选D.
【点评】本题考查了余角和补角，利用90°和180°的倍数关系消掉常数是解题的关键．
例题2、一个角的补角的三分之一减去这个角的余角等于20°，那么这个角等于 度．
【考点】余角和补角．?
【分析】设这个角为α，根据补角的定义与余角的定义，分别表示出它的补角和余角，然后列出方程求解即可．
【解答】设这个角为α，则它的补角为180°－α，余角为90°－α，
根据题意得，
(180°－α)－(90°－α)=20°，
解这个方程得α=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了补角和余角的定义，用含这个角的代数式表示出它的补角和余角，然后列出方程解决解题，此题运用方程的思想是关键．
【夯实基础】
1．下列说法正确的是(　　)
A．两个锐角一定互余 B．一个锐角与一个钝角一定互补
C．钝角大于它的补角 D．直角小于它的补角
2． 如图，OA是北偏西57°26′方向的一条射线，若∠AOB=90°，则OB的方位角是( )
A．北偏西32°34′ B．北偏东32°34′ C．东偏北32°34′ D．东偏北57°26′
3． 如图，O是直线AB上一点，∠AOD=120°，∠AOC=90°，OE平分∠BOD，则图中和∠AOE互补的角有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．将一副直角三角尺按如下不同方式摆放，则图中锐角α与β互余的是( )
5．∠α的补角为118°，∠β的余角为32°，则α，β的大小关系为∠α ∠β.
6． 如图O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，∠COE=90°，
(1)写出与∠4互余的角有 ，
与∠2互补的角有 .
(2)写出图中所有相等的角 (平角除外).
7．如图，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，OH平分∠AOB.
(1) 若∠BOC=80°，∠AOC=40°.求出∠AOB及∠HOC的度数．
(2) 若∠EOF与∠AOB互补，求∠AOB的度数．

8．(1)一个角的余角加上18°等于这个角的补角的，求这个角的度数；
　 (2)一个角比它的余角的3倍多10°，求这个角的余角的度数．
　　
9．如图，点O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°.
(1)OE平分∠BOC吗？说明理由；
(2)写出所有的互余的角；
(3)∠AOC:∠COB=5:7求∠COE的度数.

【提优特训】
10．下列说法正确的是(　　)
A．一个角的补角一定大于这个角 B．任何一个角都有余角
C．一个角的余角小于45°，则这个角大于45°
D．若∠1＋∠2＋∠3=180°，则∠1、∠2、∠3互为补角
11．因为∠α＋∠γ=180°，∠β＋∠γ=180°，所以∠α=∠β的依据是(　　)
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
12．如图所示，点O在直线AB上，则∠2与(∠1－∠2)之间的关系是(　　)
A．互补 B．互余 C．和为45° D．和为22.5°
13. 如图所示把长方形的纸片一个角沿折痕EF、GH折叠，若∠EFB与∠HGC互余，则表示∠BFG与∠CGF的关系是(　　)
A．互余 B．互补 C．∠HGC=180°+∠EFB D．无法确定
14．(1) 已知一个锐角为α，则它的余角为_______，补角为________，它的补角与余角的差
为______．
(2) 一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是_________．
15．(1)若∠1与∠2互余，∠1=(7x+8)°，∠2=(3x+2)°，则∠1= °，∠2= °.
(2)若两个互补，且这两个角的差为80°，则这两个角分别为 °， °.
16．下列说法中正确的有 (填序号)．
①如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；②一个角的补角一定大于这个角；③一个
角的补角一定是钝角；④一个锐角与一个钝角一定互补；⑤如果互余的两个角相等，那么这
两个角都是45°．
17．如图，已知点O是直线AB上的任意一点，∠AOC=∠COE，OD平分∠COE，若∠DOE与∠AOC互余，
(1) ∠AOC与∠BOE相等吗？说明理由；
(2) 求∠AOC和∠AOE的度数．
18．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE.
(1)如图(1)，当∠AOC=50°，求∠DOE的度数；
(2)如图(2)，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？
请说明理由；
(3)当射线OC在∠AOB外绕点O旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数(不必写出过程)．
19．三个角的关系如下：第一个角比第二个角的还少5°，这三个角的和为150°，若设第一个角的度数为x.
(1)用含x的代数式表示：
①第二个角的度数为 ：②第三个角的度数为 ：
(2)第二个角与第三个角有可能互补吗?说明理由.

20．如图，射线OA的方向是北偏东18°，射线OB的方向是西偏北48°.
(1)若射线OD是OB的反向延长线，
则OD的方向是 ；
(2)若射线OC是∠AOD的平分线，
则OC的方向是 ；
(3)若射线OP的方向是西南方向，
请你判定∠AOP与∠COP的大小？
【中考链接】
21．(2019?怀化)与30°的角互为余角的角的度数是(??)
? A．30°? B．60°? C．70°? D．90°
22．(2019?金华)已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是( )
A．55°? B．65°? C．145°? D．165°
23．(2019?湖州)∠α=60°32′，则∠α的余角是( )
A．29°28′? B．29°68′? C．119°28′? D．119°68′
24．(2019?淄博)如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC等于(??)
A．130°? B．120°? C．110°? D．100°
参考答案
1、C 2、B 3、B 4、A 5、> 6、(1) ∠3、∠4，∠BOC (2) ∠2=∠4，,∠1=∠3，∠AOD=∠BOD=∠COE 10、C 11、C 12、B 13、B 14、(1) 90°－α, 180°－α，90°
(2) 125°22′ 15、(1)64，26 (2) 130、50 16、①⑤ 21、B 22、C 23、A 24、C
7． 解：(1) ∵∠AOB=∠BOC＋∠AOC=80°＋40°=120°，
∴其补角为180°－∠AOB=180°－120°=60°.
∵OH平分∠AOB，
∴∠BOH=∠AOH=∠AOB=60°.
∴∠HOC=∠BOC－∠BOH=80°－60°=20°.
(2) ∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC
∴∠FOC=∠AOC.
∴∠EOF=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB.
设∠EOF=x°, 则∠AOB=2x°.
∵∠EOF与∠AOB互补，
∴x+2x=180.
解得x=60.
∴2x=120.
∴∠AOB=120°.
8．解：(1)设要求的角为x度，则它的余角为(90－x)°，它的补角为(180－x)°，
根据题意，得90－x+18=(180－x).
解这个方程，得x=60.
答：这个角为60°
(2)设要求的角为y度，则它的余角为(90－y)°，
根据题意，得y=3(90－y)+10.
解这个方程，得y=70.
90－70=20.
答：这个角的余角的度数为20°.
9．解：(1)平分，理由如下：
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD.
∵∠DOE=90°，
∴∠COD+∠COE=∠DOE=90°，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOB－∠DOE
=180°－90°=90°.
∴∠COE=∠BOE.
∴OE平分∠BOC；
(2) ∠AOD与∠COE互余，∠AOD与∠EOB互余，
∠DOC与∠COE互余，∠DOC与∠EOB互余.
(3) 设∠AOC =(5x) °，则∠COB=(7x) °，
∴5x+7x=180
解得x=15.
∴∠COB=105 °
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=∠BOC=52.5°.
17．解：(1) ∵OD平分∠COE，
∴∠COD=∠EOD=∠COE.
∵∠DOE与∠AOC互余，
∴∠COD与∠AOC互余，
即∠COD+∠AOC=90°.
∴∠DOE+∠BOE=90°.
∴∠AOC与∠BOE(等角的余角相等).
(2)由(1)的结论可得：
设∠AOC=x°，则∠COD=∠EOD=(90－x)°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=［x+2(90－x)］°.
根据题意，得x=×2(90－x)，
解这个方程，得x=40.
x+2(90－x)=140.
答：∠AOC和∠AOE的度数分别为40°和140°.
18．解： (1)∵∠AOB=90°，∠AOC=50°，
∴∠BOC=90°－∠AOC=40°.
∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC=25°，
∠COE=∠BOC=20°，
∴∠DOE=∠COD＋∠COE=45°.
(2)∠DOE的大小不变．理由如下：
∵∠DOE=∠COD＋∠COE
=∠AOC＋∠BOC
=∠AOB=45°，
∴∠DOE的大小不变．
(3)∠DOE的大小有两种：
如图(3)，∠DOE=45°；
如图(4)，∠DOE=135°.
19．解： (1) 第二个角的度数为6(x+5)
第三个角的度数为150°－6(x+5)－x=120°－7x
(2)互补 说明两角和为180°
120°－7x +6(x+5)=180°
x=－30°，因此不可能互补.
20．解：(1)∵OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD=180°.
∵∠FOD=∠BOD－∠BOE－∠EOF，
∴∠FOD=∠180°－48°－90°=42°.
∴OD的方向是南偏东42°.
(2)∵∠AOD=∠HOF－∠HOA－∠FOD
=∠180°－18°－48°=114°.
OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC=∠DOC=∠AOD=57°.
∴∠HOC=∠HOA+∠AOC=18°+57°=75°.
∴OC的方向是北偏东75°.
(3)∵射线OP的方向是西南方向，
∴∠EOP=∠FOP=∠EOF=45°.
∴∠AOP=∠AOH+∠HOE+∠EOP
=18°+90°+45°=153°.
∠COP=∠COD+∠DOF+∠FOP
=57°+42°+45°=144°.
∴∠AOP>∠COP.