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1.1 锐角三角函数（1）
学习目标 1．经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念． 2．掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数． 3．掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系． 4．了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值．
学习过程
【合作学习】 1．作一个30°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C．计算，，的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．
2．作一个50°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点B．量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算，，的值（精确到0.01），并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．通过上面两个实践操作，你发现了什么？
3．如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1．判断比值与，与，与是否相等，并说明理由．
合作探究总结
如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠．写出∠B的对边和邻边，∠C的对边和邻边．
定义：
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求∠A的正弦、余弦和正切．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB．
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1.1 锐角三角函数（1）
学习目标 1．经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程，了解三角函数的概念． 2．掌握正弦、余弦和正切的符号，会用符号表示一个锐角的三角函数． 3．掌握在直角三角形中，锐角三角函数与边之比的关系． 4．了解锐角的三角函数值都是正实数，会根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值． 重点和难点 本节教学的重点是锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念． 锐角三角函数是将与锐角有关的比值作定义，课本介绍了正弦、余弦和正切三类，无论从函数的意义还是表示锐角三角函数符号，以及函数中以角为自变量，都有别于已学过的一次函数和二次函数，其概念比较抽象，是本节教学的难点．
学习过程
本节课以两种不同情况的坡角为引入，设计学生熟悉的问题情境，使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系．
【合作学习】 1．作一个30°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C．计算，，的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较． 解：＝，＝，＝．
2．作一个50°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点B．量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算，，的值（精确到0.01），并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．通过上面两个实践操作，你发现了什么？ 解：≈0.766，≈0.643，≈1.192．（允许有误差）
3．如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1．判断比值与，与，与是否相等，并说明理由． 解：∵△ABC∽△AB1C1， ∴＝，＝，＝．（相似三角形的对应边成比例） 本节“合作学习”中的三个问题是引导学生采用由特殊到一般的实验方法探索锐角与几类线段比之间的对应关系，从而概括出锐角三角函数的概念．教学中应突出当锐角确定时，，，的各个比值都有一个确定值与之对应．其中第1问、第2问可从不同学生在∠A的边上取点的位置不同，而所得的比值相同的事实来引导学生认识这种对应关系．不过由于第2问的结果通过测量获得，不同学生所得的比值可能有一些差别，教师应作适当解释．而第3个问题则是给出了对应关系的一般证明．
合作探究总结 一般地，对于每一个确定的锐角α（如图），在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，比值，，都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关． 因此，比值，，都是锐角α的函数．我们把比值叫做∠α的正弦，记做sinα，即sinα＝．同样，比值叫做∠α的余弦，记做cosα，即cosa＝；比值叫做∠α的正切，记做tanα，即tanα＝· 锐角α的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数． 注意：sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义．其中a前面的“∠”一般省略不写． 锐角三角函数的定义是建立于函数的一般定义的基础上的，所以在概括锐角三角函数的定义之前，应引导学生回顾函数的一般定义．在概括多姿多彩三角函数的定义时应突出“当锐角确定时，三类比值都有一个确定的值”这样的一种对应送给，这种对应关系不能用表达式表示，所以用符号来表示，这正是这类函数和我们前所学的几类代数函数的区别之处．值得注意的是，多姿多彩三角函数概念的建立，是对函数概念的一种升华，即从对应的角度来认识函数． 另外，正弦、余弦和正切符号sinA，cosA，tanA的读法和书写在教学中都要进行示范．
如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠．写出∠B的对边和邻边，∠C的对边和邻边． 解：∠B的对边是AC，邻边是AB；∠C的对边是AB，邻边是AC．
定义：如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有： sinA＝；cosA＝；tanA＝． 锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（为什么）． 想一想：当0＜∠A＜90°时，sinA，cosA，tanA的值会在什么范围内？为什么？ 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA≠0． 从锐角三角形函数定义过程中可以看到，这些线段比的出现和直角三角形有着密切的关系，所以课本概括出直角三角形的锐角三角函数和各边之间比的关系，这也就为锐角三角函数求值提供了基本途径．这里的三个关系式应要求学生熟练掌握．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求∠A的正弦、余弦和正切． 解：在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4． ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． 安排例1的目的是及时巩固直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切和两边比之间的关系．教学中要注意解题过程的示范，并强调在直角三角形中求三角函数值时，往往要结合勾股定理的应用．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 解：（1）AB＝＝，sinA＝，cosB＝． （2）cosA＝，sinB＝． （3）sinA＝cosB，cosA＝sinB． 因为sinA＝＝cosB，cosA＝＝sinB．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值． 解：AB＝＝7． sinA＝，cosA＝，tanA＝； sinB＝，cosB＝，tanB＝＝．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB． 解：设AC＝k，则BC＝2k， 得AB＝＝k． tanB＝，sinB＝，cosB＝．
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(共16张PPT)
1.1锐角三角函数(1)
数学浙教版 九年级下册
α=30O
40米
1.7米
E
D
C
A
B
情景引入
α=50O
19米
1.7米
E
D
C
A
B
情景引入
【合作学习】
1．作一个30°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C．计算，，的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．
解：＝，＝，＝．
2．作一个50°的∠A（如图），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点B．量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算，，的值（精确到0.01），并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较．通过上面两个实践操作，你发现了什么？
解：≈0.766，≈0.643，≈1.192．
3．如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC于点C，B1C1⊥AC1于点C1．判断比值与，与，与是否相等，并说明理由．
解：∵△ABC∽△AB1C1，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ．
一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，比值，，都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关．
因此，比值，，都是锐角α的函数．我们把比值叫做∠α的正弦，记做sinα，即sinα＝．同样，比值叫做∠α的余弦，记做cosα，即cosa＝ ；比值叫做∠α的正切，记做tanα，即tanα＝ ·
锐角α的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数．
如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠．写出∠B的对边和邻边，∠C的对边和邻边．
解：∠B的对边是AC，邻边是AB；∠C的对边是AB，邻边是AC．
注意:
⑴ ,, ,都是一个完整的符号，单独的“”没有意义,其中前面的“∠”一般省略不写．
⑵ 表示一个比值,没有单位.
锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（为什么）．
想一想：当0＜∠A＜90°时，sinA，cosA，tanA的值会在什么范围内？为什么？
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA≠0．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求∠A的正弦、余弦和正切．
解：在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4．
∴sinA＝＝，
cosA＝＝，
tanA＝＝．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝2，BC＝3．求：
（1）sinA，cosB．
（2）cosA，sinB．
（3）观察(1)(2)中的计算结果，你发现了什么？请说明理由．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．
求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB︰BC＝1︰2，求tanB，sinB，cosB．
