6.9 直线的相交(1)(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019－2020学年度七年级数学上册第6章6.9直线的相交
第1课时 直线的相交(1)
【知识清单】
1. 两条直线相交:如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交.该公共点叫做这两条直线的交点.
2. 对顶角:顶点相同且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角叫对顶角.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
【经典例题】
例题1、下列图中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的定义进行逐个判定即可.对顶角定义含两层意思；一是有相同的顶点；二是一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，二者缺一不可.
【解答】A、顶点相同，但一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，结论错误；
B、顶点相不同，结论错误；
C、顶点相同，但一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，结论错误；
D、符合定义，结论正确．
故选D.
【点评】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角定义和相关图形是解题的关键．
例题2、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数为 .
【考点】对顶角相等．?
【分析】根据对顶角相等求出∠3=∠COB，再根据平角定义解答．
【解答】如图：∵直线AB，CD，EF相交于点O，
∴∠3=∠COB，
∴∠1+∠2+∠3
=∠1+∠COB+∠2
=180°.
故答案为：180°．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，把三个角转化为一个平角是解题的关键．
【夯实基础】
1．如图，直线AB，CD相交于点O.若∠3=110°，则∠1的度数为( )
A．15° B．25° C．35° D．70°


2． 如图，OA是北偏西46°38′方向的一条射线，射线OD是射线OB的反向延长线，若∠AOB=90°，
则OD的方向是( )
A．北偏西43°22′ B．西偏南43°22′ C．南偏西43°22′ D．北偏东43°22′
3．∠1的对顶角是∠2，∠2的补角是∠3.若∠3=55°，则∠1的度数是( )
A ．45° B．55° C．55°或125° D．125°
4．如图，直线EF与直线AB、CD分别相交于点E、F.若∠1＋∠2=180°，则图中与∠1相等
的角(不含∠1)有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．(1)如图是一个对顶角量角器，用它测量角的原理是____________．
(2)如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOB，∠AOD=130°，则∠COE的度数
是 度．
6．下列论断：①有公共顶点的两个角是对顶角；②有公共顶点且一个角的两边是另一个角两边
的反向延长线的两个角是对顶角；③不是对顶角的两个角一定不相等；④对顶角相等；⑤相
等的两个角是对顶角.其中正确的结论是 (填序号).
7 . 动手在同一平面内有12条直线，最少把平面分成几部分？最多分成几部分？

8．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOB，OB平分∠DOE，若∠FOE=50°，求∠AOC
的度数．

9.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，
(1) 若∠AOC:∠AOD=1:2，①求∠EOB的度数；②与∠AOC相等的角有几个？
把它们写出来.
(2) 若∠AOC=2α，求∠EOD的度数.　　

【提优特训】
10．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2=76°，则∠3等于(　 　)
A．104° B．122° C．132° D．142°
11．10条直线两两相交，交点最多为a个，交点最少为b个，则a+b的值为( )
A．11 B．23 C．31 D．46
12．如图，图中的直线表示原有的公路，计划在AB两城市之间沿直线再建一条公路，这条公路与原有公路之间的交叉处都需建一座公路立交桥，则要建的公路立交桥的总数为( )
A．4座 B．5座 C．6座 D．7座
13. 平面上三条直线，它们的交点个数可能是( )个
A．0或1或2 B．0或1或3 C． 1或3 D．0或1或2或3
14．n条直线两两相交，当交点个数最多时，其对顶角共有 组
15．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进
入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量? 请你给出两个方案(1) (2) .
16．(1)阅读理解，并回答问题：
①如图(1)中有 组对顶角；
②如图(2)中有 组对顶角；
③如图(3)中有 组对顶角；
(2)依据上述的规律，解得下列问题：
① 10条直线相交于点O，图中共有多少组对顶角?
② n条直线相交于点O，图中共有多少组对顶角?
③ 2019条直线相交于点O，图中共有多少组对顶角?
17. 如图，直线AB，CD相交于点O，OC平分∠AOE，OF在∠EOB的内部，
∠EOF=∠FOB，∠COF=70°．求∠COE和∠FOD的度数．

18．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOB的平分线，OB平分∠DOF，若∠EOC=
∠EOD+ 120°，
求∠3与∠4的度数，并判定∠3与∠4的大小关系？
19．如图，直线AB、CD、EF相交于点O.
(1)若∠1=21°，∠2=32°，求∠3的度数；
(2) 若9∠2=2∠3，∠1=26°，求∠AOF的度数；
(3) 若∠3－∠2=96°，∠1=20°，求∠EOB的度数；

20．如图(1)，两条直线相交最多有 个交点？
如图(2)，三条直线相交最多有 个交点？
如图(3)，四条直线相交最多有 个交点？
以此类推总结规律，解决下列问题：n条直线相交最多有几个交点？
2019条直线相交最多有几个交点？


【中考链接】
21．(2019?模拟) 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，
OG是∠AOF的平分线，∠BOD=35°，
∠COE=19°，
则∠COG的度数是________．
22．(2019?模拟)如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，求∠BOD
的度数．
参考答案
1、C 2、C 3、B 4、D 5、(1)对顶角相等 (2)40 6、②④ 10、D 11、D
12、B 13、D 14、n(n－1) 21、98°
7 . 解：(1)有一条直线时，最少分成2部分，最多分成1+1=2部分；
(2)有两条直线时，最少分成4部分，最多分成1+1+2=4部分；
(3)有三条直线时，最少分成6部分，最多分成1+1+2+3=7部分；
(4)设直线条数有n条，分成的平面最多有a个，最少有b个，有以下规律：
m=1+1+2+3+…+(n－1)+n=，b=2n；
则平面内有12条直线最多可将平面分成=79部分，最少2×12=24部分．
8．解：∵AB为直线，OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠BOF=90°.
∵∠FOE=50°，
∴∠EOB=∠BOF－∠FOE=40°.
∵OB平分∠DOE，
∴∠AOC=∠DOB=∠BOE=40°.
9. 解：(1)∵①∠AOC:∠AOD=1:2，∠COD=180°.
∴∠AOC==60°.
∴∠AOD=2∠AOC=120°.
∴∠DOB=∠AOC=60°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD==60°.
∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=120°.
②∠AOC相等的角有∠AOE、∠EOD、∠DOB.
(2) ∠AOC=2α，
∠AOD=∠COD－∠AOC=180°－2α.
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD==90°－α.
15． 解：(1)只要延长BO(或AO)至C，
测出∠AOB的邻补角∠AOC(或∠BOC)
的大小后，就可知道∠AOB的度数.
(2)反向延长OA、OB得到射线OE、OF，
则∠EOF是∠AOB的对顶角，测出
∠EOF的大小，就可知道∠AOB的度数.
16.解：(1) ①如图(1)中有 2 组对顶角；
②如图(2)中有 2+3=5 组对顶角；
③如图(3)中有 2+3+4=9 组对顶角.
(2) ①2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10－1
==54组对顶角；
②2+3+…+n－1+n=(1+2+3+…+n－1+n)－1
=；
③=2039189.
17. 解：设∠3=x°，
∵∠COF=70°．
∴∠2=∠COF－∠3=(70－x)°.
∵∠EOF=∠FOB，
∴∠FOB=2∠EOF=2∠3=2x°.
∵OC平分∠AOE，
∴∠1=∠2=(70－x)°.
∵AB的直线，
∴∠AOB=180°.
∴∠1+∠2+∠3+∠FOB=180°.
70－x+70－x+x+2x=180
解得x=40°，2x=80°.
∴∠COE=∠2=(70－40)°=30°.
∴∠FOD=∠FOB+∠4=∠FOB+∠1=80°+30°=110°.
18．解：∵CD是直线，
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=180°.
∵∠EOC=∠EOD+ 120°，
∴∠EOD+ 120°+∠EOD=180°.
解得∠EOD=30°，
∴∠EOC=∠EOD+ 120°=30°+120°=150°.
∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=180°
∴∠AOE=∠EOB=∠AOB=90°.
∴∠1=∠EOC－∠AOE=150°－90°=60°.
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2=60°.
∵OB平分∠DOF，
∴∠3=∠2=60°.
∴∠4=∠AOB－∠1－∠3=60°.
∴∠3=∠4.
19．解：(1)∵直线AB、CD、EF相交于点O.
∴∠1=∠DOF=21°，∠2=∠AOE=32°，
∵∠AOE+∠3+∠DOF=180°，
∴∠3=127°.
(2)设∠2=x°，则∠3=x°，
∵∠AOE+∠3+∠DOF=180°，
∴∠2+∠3+∠1=180°，
即：x+x+26=180.
解得x=28°，x°=126°.
∴∠2=28°，∠3=126°.
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=∠3+∠1=152°.
(3)设∠2=x°，则∠3=x°+96°，
∵∠AOE+∠3+∠DOF=180°，
∴∠2+∠3+∠1=180°，
即：x+ x+96+20=180.
解得x=32°，x°+96°=128°.
∴∠2=32°，∠3=128°.
∴∠EOB=∠1+∠COB=∠1+∠3=20°+128°=148°.
20．解(1) 1，(2)3=1+2，(3)6=1+2+3，
n条直线相交最多的交点个数为1+2+3+…+n－1=.
2019条直线相交最多的交点个数为=2037171.
22．(2019?模拟)如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，求∠BOD
的度数．
解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠AOC=∠EOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°.