2019-2020浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优检测题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（?? ）
/
A.∠BAC＝α????B.∠DAE＝α????C.∠CFD＝α??????D.∠FDC＝α
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
/
A.22°???B.26°??C.32°??D.34°
3.如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（?? ）
/
A.30°????B.40°????C.50°?????D.60°
4.如图，AD是△ABC外接圆的直径.若∠B＝64°，则∠DAC等于（?? ）
/
A.26°??????B.28°????C.30°??????D.32°
5.如图，以边长为a的等边三角形各顶点为圆心，以a为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线.此曲线的周长与直径为a的圆的周长之比是( ) .
/
A.1：1??????B.1：3??????C.3：1??????D.1：2
6.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（?? ）
/
A.3?????B.4?????C.5?????D.6
7.如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ??）
/
A.60°????B.70°????C.72°????D.144°
8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ??）
/
A.25m????B.24m????C.30m??????D.60m
9.如图，正六边形 ???????????? 的边长为2，分别以点 ??,?? 为圆心，以 ????,???? 为半径作扇形 ?????? ，扇形 ?????? .则图中阴影部分的面积是（??? ）
/
A.6
3
?
4
3
??????B.6
3
?
8
3
????????C.12
3
?
4
3
???????D.12
3
?
4
3
??
10.如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6
2
，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（?? ）
/
A.12π?????B.8π?????C.6π??????D.4π
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如图，将 Rt???????? 的斜边AB绕点A顺时针旋转 ??(
0
°
90
°
) 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 ??(
0
°
90
°
) 得到AF，连结EF.若 ????=3 ， ????=2 ，且 ??+??=∠?? ，则 ????= ________.
/
12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为________；
/
13.已知一扇形的半径长是4，圆心角为60°，则这个扇形的面积为________.
14.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为________.
/
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）
/
16.如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1 ， 又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为________．
/
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17.如图，在平面直角坐标系中，已知 ?? ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1）， B（－3,1），C（－1,4）． / ①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； ②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2 ， 请在图中画出△A2BC2 ， 并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留 ?? ）
18.?如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上． / （1）若∠BDA = 70°，求∠BAC的度数． （2）若BC = 8，AC = 6，求△ABD中AD边上的高．
19.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．
/
（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）记K为AB的中点，S为△KA′O′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
20.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． / （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
21.如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧
AB
上，连接CE．
/
（1）求证CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．
22.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，完成下列问题：
/
（1）在图中标出圆心D，则圆心D点的坐标为________；
（2）连接AD、CD，则∠ADC的度数为________；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
23.如图，点A，B，C在⊙D上，AB∥0C.
//
（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°：
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度.
24.如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE． / （1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝ 2
7
，求CE的长．
2019-2020浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优检测题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（?? ）
/
A.∠BAC＝α????B.∠DAE＝α????C.∠CFD＝α??????D.∠FDC＝α
解：∵△DAE是由△BAC旋转得到，
∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠CFD=∠BAC=α，
故A，B，C不符合题意，
故答案为：D.
2.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（?? ）
/
A.22°???B.26°??C.32°??D.34°
解：连接OC， / ∵ ∠A＝68° ， ∴∠BOC=2∠A=136°, ∵OB=OC, ∴ ∠OBC =
180°?136°
2
=22°; 故答案为 ：A。 3.如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（?? ）
/
A.30°????B.40°????C.50°?????D.60°
解：∵∠B＝70°，∠BAC＝30°
∴∠ACB＝80°
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.
∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°
∴∠CAE＝∠AEC＝50°。
故答案为：C。
4.如图，AD是△ABC外接圆的直径.若∠B＝64°，则∠DAC等于（?? ）
/
A.26°??????B.28°????C.30°??????D.32°
解：如图，
/
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ADC＝∠B＝64°，
∴∠DAC＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：A。
5.如图，以边长为a的等边三角形各顶点为圆心，以a为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线.此曲线的周长与直径为a的圆的周长之比是( ) .
/
A.1：1??????B.1：3??????C.3：1??????D.1：2
解：三段弧的圆心角都等于60°，
则曲线的周长＝3×
60????
180
＝πa；
直径为a的圆的周长＝πa；
∴曲线的周长与直径为a的圆的周长之比＝1：1.
故答案为：A。
6.如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（?? ）
/
A.3?????B.4?????C.5?????D.6
解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，
∴ ????=
1
2
????=
1
2
×6=3． ?
故答案为：A.
7.如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ??）
/
A.60°????B.70°????C.72°????D.144°
解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C=
1
5
(5?2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD==
1
2
(180°?108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ??）
/
A.25m????B.24m????C.30m??????D.60m
解：连接OD / ∵点C是弧AB的中点， ∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上， ∴AD=
1
2
AB=20 设圆O的半径为r，则OD=r-10 在Rt△AOD中， AO2=OD2+AD2 ∴r2=202+（r-10）2 解之：r=25 故答案为：A 9.如图，正六边形 ???????????? 的边长为2，分别以点 ??,?? 为圆心，以 ????,???? 为半径作扇形 ?????? ，扇形 ?????? .则图中阴影部分的面积是（??? ）
/
A.6
3
?
4
3
??????B.6
3
?
8
3
????????C.12
3
?
4
3
???????D.12
3
?
4
3
??
解：∵正六边形 ???????????? 的边长为2，
∴正六边形 ???????????? 的面积是：
2×(2sin
60
°
)
2
×6=6×2×
3
2
=6
3
， ∠??????=∠??????=
120
°
，
∴图中阴影部分的面积是： 6
3
?
120×??×
2
2
360
×2=6
3
?
8??
3
，
故答案为：B。
10.如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6
2
，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（?? ）
/
A.12π?????B.8π?????C.6π??????D.4π
解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径是2
??
??
′
的长.
/，
当AD⊥BD时，∵AB=2AD，
∴∠ABD=30°，
∵∠ABC=45°，
∴∠OBP=15°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=15°
∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°，
当AE′⊥CE′时，同理可得∠BOP′=30°，
∴∠POP′=120°，
∵AC=AB=6
2
，∠BAC=90°，
∴BC=
2
AB=12，
∴OP=6，
∴
??
??
′
=
120·??·6
180
=4π，
∴点P的运动路径是8π.
故答案为：B.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如图，将 Rt???????? 的斜边AB绕点A顺时针旋转 ??(
0
°
90
°
) 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 ??(
0
°
90
°
) 得到AF，连结EF.若 ????=3 ， ????=2 ，且 ??+??=∠?? ，则 ????= ________.
/
解：由旋转的性质可得 ????=????=3 ， ????=????=2 ，
∵∠??+∠??????=
90
°
，且 ??+??=∠?? ， ∴∠??????+??+??=
90
°
∴∠??????=
90
°
∴????=
??
??
2
+??
??
2
=
13
。
故答案为：
13
。
12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为________；
/
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°。
故答案为：100°。
13.已知一扇形的半径长是4，圆心角为60°，则这个扇形的面积为________.
解：扇形的面积为 ：
60π×
4
2
360
=
8
3
π； 故答案为 ：
8
3
??。 14.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为________.
/
解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，
/
易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，
∴DE＝2，
∴AE＝
4
2
+
2
2
＝2
5
，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，
∴AG＝AE＝2
5
，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，
而∠ABC＝90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵AF平分∠BAE交BC于点F，
∴∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，
∴FN＝FM＝4，
∵
1
2
AB?GF＝
1
2
FN?AG，
∴GF＝
4×2
5
4
＝2
5
，
∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2
5
＝6﹣2
5
。
故答案为6﹣2
5
。
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π）
/
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝
1
2
∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴AO＝
1
2
?AB＝1，
由勾股定理得，OB＝
??
??
2
???
??
2
＝
3
，
∴AC＝2，BD＝2
3
，
∴阴影部分的面积＝
1
2
×2×2
3
﹣
120??×
1
2
360
×2＝2
3
﹣
2
3
π，
故答案为：2
3
﹣
2
3
π.
16.如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1 ， 又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为________．
/
解：由题意第一个圆的半径为2，
第二个圆的半径为
2
2
=
2
，
第三个圆的半径为 2÷
(
2
)
2
=1 ，
… ，
第六个圆的半径为 2÷
(
2
)
5
=
2
4
．
故答案为：
2
4
．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17.如图，在平面直角坐标系中，已知 ?? ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1）， B（－3,1），C（－1,4）． / ①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； ②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2 ， 请在图中画出△A2BC2 ， 并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留 ?? ）
解：①△A1B1C1如图所示②△A2BC2如图所示 线段BC旋转过程中所扫过得面积S= /= /． /
18.?如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上． / （1）若∠BDA = 70°，求∠BAC的度数． （2）若BC = 8，AC = 6，求△ABD中AD边上的高．
解：(1) 由旋转得△ACB≌△DEB ∴BD = BA ∴∠BAD =∠BDA =70° ∴∠ABD =40° ∴∠ABC =∠ABD =40° ∵∠C =90° ∴∠BAC =50° (2) ∵BC = 8，AC = 6，∠C =90° ∴????=
??
??
2
+??
??
2
=10 ∵∠DEB =∠C =/且BE = BC = 8，DE ="AC" = 6 ∴AE =" AB" – BE = 2 在Rt△DEA中，????=
??
??
2
+??
??
2
=2
10
设AD边上的高为h ∴
1
2
????·????=
1
2
????·? ∴?=
????·????
????
=
10×6
2
10
=3
10
19.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转得到△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．
/
（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；
（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
（3）记K为AB的中点，S为△KA′O′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
（1）解：如图①，
/
∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5．
根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90°得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，
∴AA′=5
2
（2）解：如图②，根据题意，由旋转是性质可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3
过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，
/
则∠O′CB=90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°，∠BO′C=30°．
∴BC=
1
2
O′B=
3
2
．
由勾股定理O′C=
3
3
2
，
∴OC=OB+BC=
9
2
．
∴点O′的坐标为（
3
3
2
，
9
2
）
（3）解：如图③中，
/
当点O′在AB上时，△KA′O′的面积最小，最小面积=
1
2
KO′×AO′=
1
2
×（3-2.5）×4=1，
当点O′在AB的延长线上时，△KA′O′的面积最大，最大面积=
1
2
×KO′×AO′=
1
2
×（3+2.5）×4=11．
综上所述，1≤S≤11。
20.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． / （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
解：（Ⅰ）如图①， / ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=∠BDC=90°． ∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC= /= /=8． ∵AD平分∠CAB， ∴ /= /， ∴CD=BD． 在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2 ， ∴易求BD=CD=5 /； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． / ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°， ∴∠DAB= /∠CAB=30°， ∴∠DOB=2∠DAB=60°． 又∵OB=OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD=OB=OD． ∵⊙O的直径为10，则OB=5， ∴BD=5．
21.如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧
AB
上，连接CE．
/
（1）求证CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．
（1）证明：∵ ????⊥???? ， ???? 是 ⊙?? 的直径， ∴
????
=
????
， ∴ ∠??????=∠?????? ， ∴ ???? 平分 ∠?????? （2）解：连接 ???? ，如图， ∵ ????⊥???? ， ???? 是 ⊙?? 的直径， ????＝6 ， ∴ ????=????=3，∠??????=90° ， ∵在 ????△?????? 中， ????=4，????=3 ， ∴ ????=
??
??
2
+??
??
2
=5 ， ∵ ???? ∥ ???? ， ∴ ∠??????=∠?????? ， 又∵ ∠??????=∠?????? ， ∴ ∠??????=∠?????? ， ∴ ????=????=5 .
22.如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，完成下列问题：
/
（1）在图中标出圆心D，则圆心D点的坐标为________；
（2）连接AD、CD，则∠ADC的度数为________；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
（1）(2，0) （2）90° （3）解：弧AC的长=
90
180
π×2
5
=
5
π， 设圆锥底面半径为r则有2πr=
5
π， 解得：r=
5
2
， 所以圆锥底面半径为
5
2
． 故答案为：
5
2
解：（1）如图，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
/
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（ 2 ）如图，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2
5
，
即⊙D的半径为2
5
，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中， {
????＝????
∠??????＝∠??????
????＝????
，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案为：90°；
23.如图，点A，B，C在⊙D上，AB∥0C.
//
（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°：
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度.
（1）证明：∵
????
?
=
????
?
∴∠AOB＝2∠ACB， ∵OB＝OA， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵AB∥OC， ∴∠ABO＝∠BOC，∠BAO+∠AOC＝180°， ∴∠BAO+∠AOB+∠BOC＝180°， ∴2∠ACB+2∠BOC＝180°， ∴∠ACB+∠BOC＝90°； （2）解： 延长AO交⊙O于D，连接CD， / 则∠ACD＝90°， 在Rt△CDA CD=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
8
2
=6 ∵OC∥AB， ∴∠BOC＝∠ABO，∠COD＝∠BAO， ∵∠BAO＝∠ABO， ∴∠BOC＝∠COD， 在△BOC和△DOC中，
????=????
∠??????＝∠??????
????=????
∴△BOC≌△DOC（SAS）， ∴BC＝CD， ∵CD＝6， ∴BC＝6．?
24.如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE． /
（1）求证：BE＝BG；
（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝ 2
7
，求CE的长．
（1）证明：由圆周角定理得，∠BAC＝∠BEC，
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠ADC＝∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝∠BAC，∴∠BEC＝∠CGF，
∵∠BGE＝∠CGF，∴∠BEC＝∠BGE，∴BE＝BG；
（2）解：连接OB、OE、AE、CH，
/
∵BH⊥AB，CE⊥AB??? ∴BH∥CE，
∵四边形ABHC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACH＝∠ABH＝90°，∴BF∥CH，
∴四边形CGBH为平行四边形，
∴CG＝BH＝4，
∵OE＝OB＝BE，∴△BOE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，
∴∠BAE＝
1
2
∠BOE＝30°，∴DE＝
1
2
AE，
设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理得，AD＝
??
??
2
???
??
2
=
3
?? ，
∵BE＝BG，AB⊥CD，∴DG＝DE＝x，∴CD＝x+4，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2 ， 即（
3
x）2+（x+4）2＝（ 2
7
）2 ，
解得，x1＝1，x2＝﹣3（舍去）
则DE＝DG＝1，∴CE＝CG+GD+DE＝6．
