浙教版九年级数学上册第3章 圆的基本性质3.3垂径定理同步练习题（25道题解析版）

浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题
一．选择题（共7小题）
1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（　　）
A． B．2 C． D．
2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（　　）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（　　）

A．3.5 B．4.5 C．4 D．5
4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（　　）

A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（　　）
A．12cm B．cm C．cm D．cm
6．下列命题中，正确的是（　　）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（　　）

A．110° B．120° C．130° D．100°
二．填空题（共10小题）
8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为　 　．

9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为　 　，最大值为　 　．

10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为　 　．

11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为　 　．

12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为　 　．

13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于　 　cm2．

14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．
即：如图，若AB⊥CD，则有AP　 　PB，　 　，AD＝　 　．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？

15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝　 　cm．

16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝　 　．

17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是　 　cm，弦AB的长是　 　cm．

三．解答题（共8小题）
18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．
（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；
（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．

19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．

20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，
求证：PA＝PB．

21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．

22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？

23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．
（1）判断△OCD的形状，并说明理由．
（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？

24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．

25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．




浙教新版数学九年级上册：3.3垂径定理同步练习题
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．过⊙O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：如图所示，则直径AB是过点N的最长的弦．
过N点作弦CD⊥AB，则CD是过N的最短的弦．
连接OC．
∵ON⊥CD，
∴CN＝CD＝2，
又OC＝3，
∴ON＝．
故选：C．

2．圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（　　）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
【解答】解：作OE⊥CD，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
当两弦在圆心的同侧时，
已知CD＝10cm，
∴由垂径定理得DE＝5．
∵OD＝13，
∴利用勾股定理可得：OE＝12．
同理可求OF＝5，
∴EF＝7．
当两弦在圆心的两侧时，
EF＝OE+OF＝17．
故选：D．


3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝7，M是AB上任意一点，则线段OM的长不可能是（　　）

A．3.5 B．4.5 C．4 D．5
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，当点M与点A重合时OM最长，当点M于点D重合时OM最短，
∵OD⊥AB，AB＝7，
∴AD＝AB＝，
∴OD＝＝＝，
∴≤OM≤5．
∵＞＝3.5，
∴A不合题意．
故选：A．

4．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（　　）

A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．

5．若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为（　　）
A．12cm B．cm C．cm D．cm
【解答】解：如图，∵OA＝6cm，OP＝2cm，
∴AP＝＝＝4cm，
∴AB＝8cm，
∴过P的最短的弦长等于8cm，
故选：D．

6．下列命题中，正确的是（　　）
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
【解答】解：A、过弦的中点的直线都是平分线的直线，有无数条，所以平分弦的直线不一定垂直于这条弦；故A错误．
B、垂直于弦的直线有无数条，所以垂直于弦的直线不一定过圆心，垂直平分弦的直线过圆心；故B错误．
C、根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，因为任意两条直径互相平分，但不一定垂直；故C错误．
D、垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分这条弦所对的弧；故D正确．
故选：D．
7．如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，MN分别为弧AB和弧AC的中点，OM、ON分别交AB、AC于点E、F，则∠MON的度数为（　　）

A．110° B．120° C．130° D．100°
【解答】解：∵M、N分别为弧AB和弧AC的中点，
∴OF⊥AC，OE⊥AB，
∴∠OFA＝∠OEA＝90°，
∴在四边形OEAF中，∠MON＝360°﹣∠OFA﹣∠OEA﹣∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
8．秋千长度的长度为3m，秋千向两边摆动时，最大摆角为60度，且两边的摆动角度相同，则它摆置最高处与最低处的高度差为　（3﹣）米　．

【解答】解：∵最大摆角为60度，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOA＝∠DOA＝30°．
∵OB＝OD＝3米，
∴BC＝OB＝米，
∴OC＝＝＝（米），
∴AC＝OA﹣AC＝（3﹣）米．
故答案为：（3﹣）米．
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为　3　，最大值为　5　．

【解答】解：如图所示，
过O作OM′⊥AB，连接OA，
∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，
∴当OM于OM′重合时OM最短，
∵AB＝8，OA＝5，
∴AM′＝×8＝4，
∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，
∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．
故答案为：3，5．

10．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（10，5），点A的坐标为（6，0），则点B的坐标为　（14，0）　．

【解答】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（10，0）．
又∵A的坐标为（6，0），
∴OA＝6，AM＝OM﹣OA＝10﹣6＝4，
∵A，B两点一定关于PM对称．
∴MB＝AM＝4，
∴OB＝OM+MB＝10+4＝14，
∴点B的坐标是（14，0）．
故答案为：（14，0）．

11．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，四边形ABCD是正方形，并且∠POM＝45°，则AB的长为　　．

【解答】解：∵∠POM＝45°，∠DCO＝90°，
∴∠DOC＝∠CDO＝45°，
∴△CDO为等腰直角三角形，
∴CO＝CD．
连接OA，则△OAB是直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝CO，BO＝BC+CO＝BC+CD＝2AB，
∴AB2+OB2＝52，即AB2+（2AB）2＝52，
∴AB的长为．
故答案为：．

12．已知如图，⊙O中直径AB交CD于E，点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AE＝8cm，则⊙O的半径为　5　．

【解答】解：设⊙O的半径为rcm，
∵点B是弧CD的中点，CD＝8cm，AB是直径，
∴AB⊥CD，CE＝ED＝CD＝4cm，
在Rt△COE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5．
故答案为：5．
13．如图，⊙O的弦AB的垂直平分半径OC，⊙O的半径等于8cm，则四边形OACB的面积等于　　cm2．

【解答】解：∵AB垂直平分OC，
∴OA＝AC，又半径OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，四边形OACB为菱形，
∵OA＝OC＝8，
∴AB＝8，S四边形OACB＝×OC×AB＝×8×8＝32．
故答案为：32．
14．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧．
即：如图，若AB⊥CD，则有AP　＝　PB，　＝　，AD＝　BD　．如图，若CD＝10，AB＝8，求PC的长？

【解答】解：∵AB⊥CD，
∴由垂径定理，可得AP＝BP，＝，AD＝BD，
连接OA，∵AB⊥CD，CD＝10，AB＝8，
∴AP＝4，OA＝5，
∴由勾股定理得，OP＝3，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．

15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若AB＝10cm，OE＝4cm，则CD＝　6　cm．

【解答】解：由题意得：OC＝5，OE＝4
∴Rt△OCE中可求得CE＝＝3cm
根据垂径定理可得：CD＝2CE＝6cm．
16．如图AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E，BC＝6，AC＝8，则DE＝　　．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径CD是弦，且CD⊥AB于点E
∴CE＝DE，AC⊥BC
∵BC＝6，AC＝8
∴AB＝10
∵S△ABC＝×AC×BC＝×CE×AB
∴AC×BC＝CE×AB
∴CE＝＝
∴DE＝CE＝
故此题应该填．
17．如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB＝120°，OA＝5cm，那么圆心O到AB的距离是　　cm，弦AB的长是　5　cm．

【解答】解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：
由垂径定理可知，OC垂直平分AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°
∴∠OAB＝30°
∴OC＝OA＝cm
∴由勾股定理可得：AC＝cm
∴AB＝5cm
故此题应该填，5．

三．解答题（共8小题）
18．直径为80cm的油桶水平放置于地面上，截面图如图所示，油面MN与直径AB交于点C，且最大深度BC为直径的时．
（1）求油面的宽度MN（结果保留根号）；
（2）若油桶的高为120cm，求油桶中存贮油的体积（结果保留根号）．

【解答】解：（1）如图，连接OM，
∵AB＝80cm，BC为直径的，
∴OM＝OB＝40cm，BC＝20cm，
∴OC＝20cm，
∴MC＝cm，
∴MN＝2CM＝40cm；
（2）∵OC＝20cm，OM＝40cm，
∴sin∠OMC＝，
∴∠OMC＝30°，
∴∠MOC＝60°，
∴∠MON＝120°，
∴阴影部分的面积是：＝，
∵油桶的高为120cm，
∴油桶中存贮油的体积是：（）×120＝64000π﹣48000，
即油桶中存贮油的体积是（64000π﹣48000）cm3．
19．如图，一圆弧形拱桥，跨度AB＝16m，拱高为4m，求半径OA的长．

【解答】解：∵AB＝16m，OC⊥AB，
∴AD＝AB＝8m，
设OA＝r，则OD＝r﹣4，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10m，即半径OA的长是10m．
20．如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，
求证：PA＝PB．

【解答】证明：∵OC＝OP，
∴∠1＝∠2．
∵CP平分∠OCD，
∴∠2＝∠3，
∴∠3＝∠1，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB．
∴＝，
∴PA＝PB．

21．已知：如图，⊙O中，AB＝AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE＝∠OED．

【解答】解：连接OA并延长交BC于点F，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的外心，
∵AB＝AC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在Rt△AOD与Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE，
∴OD＝OE，
∴△ODE是等腰三角形，
∴∠ODE＝∠OED．

22．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度AB＝60米，拱高PM＝18米，当洪水泛滥时，跨度只有30米时要采取紧急措施，测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米时，是否采取紧急措施？

【解答】解：连接OA、OA1，如下图所示：
由题可得：AB＝60m，PM＝18m，PN＝4m，OA＝OA1＝OP＝R
OP⊥AB，OP⊥A1B1
由垂径定理可得：AM＝MB＝30m
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：
AO2＝AM2+MO2
即R2＝302+（R﹣18）2
解得R＝34m
∵PN＝4m，OP＝R＝34m
∴ON＝30m
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：
A1N2＝A1O2﹣ON2
可得A1N＝16m
故A1B1＝32m＞30m
故不用采取紧急措施．

23．如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD．
（1）判断△OCD的形状，并说明理由．
（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？

【解答】解：（1）△OCD是等腰三角形
如左图所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则有MA＝MB
又AC＝BD
∴AC+MA＝BD+MB
即CM＝DM
又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线
∴OC＝OD
∴△OCD为等腰三角形


（2）当点C，D在线段AB上时，如右图所示
同（1）题作OM⊥AB，垂足为M
由垂径定理，得AM＝BM
又AC＝BD
∴CM＝AM﹣AC＝BM﹣BD＝MD
∴OC＝OD
∴△OCD为等腰三角形．
24．（综合题）如图所示，⊙O中的弦AB，CD互相垂直于E，AE＝5cm，BE＝13cm，O到AB的距离为2cm，求⊙O的半径及O到CD的距离．

【解答】解：AB＝AE+BE＝5+13＝18（cm），
连接OB，过O作OM⊥AB，
∴AM＝AB＝9（cm），
又∵OM＝2（cm），
∴在Rt△OBM中，
BO＝＝＝＝11cm，
ON＝EM＝AM﹣AE＝9﹣5＝4（cm）．

25．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝0.6米，求油的最大深度．

【解答】解：连接OA．
∵OA＝OD＝0.5米，AC＝AB＝0.3米
∴OC2＝OA2﹣AC2
∴OC＝＝0.4米
∴CD＝OD﹣OC＝0.5﹣0.4＝0.1米
故油的最大深度是0.1米．