第三章：圆的基本性质培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
2.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
3.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A.C.D，与BC相交于点E，连接AC.AE．若∠D=80°，则∠EAC的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，
则AE＝（ ）
A．3 B． C． D．
5.如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（ ??）
A.60°???? B.70°???? C.72°???? D.144°
6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下
列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③BD=2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
7.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（ ??）
A.?5????????????????????B.??????????? C.????????????? D.
8.如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（?? ）
A.?????????????????B.???????????????C.????????????????D.?
9.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数
是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
10.如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B，E是半圆
弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.已知扇形所在圆的直径为16cm，圆心角为45°，则此扇形的面积为________
12.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD
的长为
13．在直角坐标系中,以P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,若P(10,5),A(6,0)．则点B的坐标为_________________
14．如图,格点⊿BCD绕某一点旋转一个角度后得到,则旋转的角度为__________
15.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为_______
16.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有________（填序号）
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）.如图，在⊙O中，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
18（本题8分）如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D．等于，BF和AD相交于E．
求证：AE=BE．
19（本题8分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证：（1）AB＝AF； （2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）
20（本题10分）.如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE. （1）求证：EC平分∠BED； （2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE.
21（本题10分）如图，已知△ ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥ BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
22（本题12分）.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H． （1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB． （2）若点E为弧ADB的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD． （3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．
23（本题12分）.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在中，，且，若是奇异三角形，求．
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使． ①求证是奇异三角形；②当是直角三角形时，求的度数．
第三章：圆的基本性质培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
2.答案：C
解析：设圆心为O，连接OA.OB，如图，
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°．
故选：C．
3.答案：C
解析：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，
故选：C．
4.答案：D
解析：连接AC，如图，
∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5，
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°，
∴AE＝．
故选：D．
5.答案：C
解析：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC=∠C=(5?2)×180°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=(180°?108°)=36°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，
故答案为：C.
6.答案：C
解析：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，故①正确，
∵OC∥BD，BD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD，故②正确，
∵AF=DF，AO=OB，
∴BD=2OF，故③正确，
△CEF和△BED中，没有对应边相等，故④错误，
故选：C．
7.答案：D
解析：∵ 点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=BC， ∴当BC最大时，线段MN的长最大， ∴当BC为 ⊙O 直径时，BC长度最大， ∴∠BA=90°， 在Rt△BAC中， ∵ ∠ACB=45°， AB=5， ∴AC=5，BC= ∴MN=BC=， 即线段MN的长的最大值为. 故答案为：D.
8.答案：B
解析：连结AM、MR、MH.
∵AD＝MC，∠D＝∠C，MD＝HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM＝MH，∠DAM＝∠HMC．
∵∠AMD＋∠DAM＝90°，
∴∠AMD＋∠HMC＝90°，
∴∠AMH＝90°，
∴∠MHA＝45°，
由勾股定理可知MH＝ ．
∵∠HMR＝45°，
∴
故答案为：B.
9.答案：B
解析：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°，
故选：B．
10.答案：C
解析：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵的长为，
∴，
解得：R=2，
∵B，E是半圆的三等分点，∴，
∴，
∴BC=AB=，
∴AC=，
∴S△ABC=×BC×AC=××3=，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=．
故选：C．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：
12.答案：
解析：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，
则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴CE＝4，
∴BC＝CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案为：．
13.答案：
解析：过P作，∴，
∵，，∴
∴
14.答案：
解析：如图：，，，
故为旋转中心，
15.答案：
解析：作，过D作BC延长线的垂线DM，
∵，∴，，∴≌（HL），
∴，∵，，
∴△BAD≌△BMD（AAS）∴，，
∵，∴，∴
16.答案：①②④.
解析：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°， ∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形， ∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，故①正确；
又∵AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE，，故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM， ∴， ∴， ∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM， ∴OG=OH，
∴AD=AE， 故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴ AE=2AD，，
∵ ，
∴ ，
∴AB=AE，
∴AB=2AD
18.解析：延长AD交BC为直径的圆于H，
∵直径，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴
19.解析：（1）∵∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
∵∠ACF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠F，所以AB＝AF． （2）∵四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
∴AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
20.解析：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEB＝90°.
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠BEC＝45°，
∴∠DEC＝45°.
∴∠BEC＝∠DEC，
即EC平分∠BEC；
（2）连结BC，OE，
∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，
在△BEC与△DEC中， ，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠CBE＝∠CDE.
∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE.
∴∠AOE＝∠COE，
∴AE＝CE.
弧AE=弧CE，所以AE=CE。
21.解析：（1）∵ AD是直径，∴ ∠ ABD=∠ ACD=90°，
∴Rt△ ABD≌ Rt△ ACD，
∴ ∠ BAD=∠ CAD，∵ AB=AC，∴ BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．由△ BED≌? △ CEF得CF=BD，
∴?四边形BFCD是平行四边形，又BD=CD，∴?四边形BFCD是菱形；
（3）DE=2,(为8已舍去)在Rt△ CED中，CD=．
22.解析：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴∠B=60°， 而OC=OB， ∴△OBC为等边三角形， ∵CD⊥OB， ∴CD平分OB； （2）∵点E为弧ADB的中点， ∴OE⊥AB， 而CD⊥AB， ∴OE∥CD ∴∠OEC=∠ECD， ∵OC=OE， ∴∠OEC=∠OCE， ∴∠OCE=∠ECD， 即CE平分∠OCD； （3）圆周上到直线AC距离为3的点有2个．理由如下： 作OF⊥AC于F，交⊙O于G，如图， ∵OA=4，∠BAC=30°， ∴OF=OA=2， ∴GF=OG-OF=2，即在弧AC上到AC的最大距离为2cm， ∴在弧AC上没有一个点到AC的距离为3cm， 而在弧AEC上到AC的最大距离为6cm， ∴在弧AEC上有两个点到AC的距离为3cm．
23.解析：（1）设等边三角形的一边为，则， ∴符合奇异三角形”的定义．∴正确；
（2）∵， 则①， ∵是奇异三角形，且， ∴②， 由①②得：， ∴；
（3）①∵AB是⊙O的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∵点D是半圆的中点， ∴， ∴， ∴，
∴， 又∵， ∴， ∴是奇异三角形； ②由①可得是奇异三角形， ∴，
当是直角三角形时， 由（2）得：或， 当时，，即， ∵， ∴， ∴ 当时，，即， ∵， ∴， ∴， 综上可知：或
