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1.3解直角三角形（2）
学习目标： 1．经历将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决的探索过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用． 2．会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决．
学习过程
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度． 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）．记作i，即i＝． 坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
1．如图：（1）若h＝2cm，l＝5cm，则i＝__________； （2）若i＝1∶1.5，h＝2m，则l＝__________； 2．水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i＝1∶2， 坝高h＝20m，迎水坡的水平宽度__________．
如图，一个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴对称．已知倾角α＝5.2°，零件的长度l＝20cm，大头直径D＝10cm．求小头直径d（精确到0.1cm）．
【例3】库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1︰2.5，斜坡AB的坡比为1︰3．求： （1）斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1?，宽度精确到0.1m）； （2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方（精确到1m3）？
【例4】体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？
如图，⊙O的直径为10cm，直径CD⊥AB于点E，OE＝4cm．求的长（精确到0.1cm）．
已知在△ABC中，AB＝5cm，AC＝4cm，AB和AC的夹角为α．设△ABC的面积为S（cm2）． （1）若α为锐角，求S关于α的函数表达式．若α为钝角呢？ （2）何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？
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1.3解直角三角形（2）
学习目标： 1．经历将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决的探索过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用． 2．会将有关图形的计算问题化归为解直角三角形问题来解决． 重点和难点： 1．本节教学的重点解直角三角形的应用． 2．例题4弯道处两栏的路程是指弧长，用皮尺尺测量弧长比较困难，所以确定B栏架的位置，要将弧长的测量转化为测量弦长．由于学生缺乏这方面的实践经验，难以想到这一转化，因此例题4是本节教学的难点．
学习过程
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要标明斜坡的倾斜程度． 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）．记作i，即i＝． 坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
1．如图 （1）若h＝2cm，l＝5cm，则i＝ （2）若i＝1∶1.5，h＝2m，则l＝； 2．水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i＝1∶2，坝高h＝20m，迎水坡的水平宽度 对于两个术语与“坡比”和“坡角”，学生容易混淆，教学时可以让学生讨论他们的联系和区别，这两个术语都与坡面相关，坡比是坡面的高度和水平距离的比，坡角是坡面的倾斜角，坡比与坡角的正切值相等，另外，还可以引导学生归纳本章遇到过的有关名词，分析它们的异同，如斜面、斜坡，倾角、倾斜角等．
如图，一个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴对称．已知倾角α＝5.2°，零件的长度l＝20cm，大头直径D＝10cm．求小头直径d（精确到0.1cm）． 解：d＝10－2×20tan5.2°≈6.4（cm）． 答：小头直径d约为6.4cm．
【例3】库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1︰2.5，斜坡AB的坡比为1︰3．求： （1）斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1?，宽度精确到0.1m）； （2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方（精确到1m3）？ 解：（1）如图，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F． 在Rt△CDF中， tanD＝＝＝0.4， ∴∠D≈21°48'． ∴CF＝CD×sinD＝60×sin21°48'≈22.28（m） DF＝CD×cosD＝60×cos21°48'≈55.71（m） ∵＝， ∴AE＝3BE＝3CF＝66.84（m）， ∴AD＝AE＋BC＋DF＝66.84＋6＋55.71＝128.55≈128.6（m）． （2）设横断面面积为Sm2． 则S＝(BC＋AD)×CF＝(6＋128.55)×22.28≈1498.9（m2）， ∴需用土石方V＝S?l＝1498.9×150＝224835（m3） 答：斜坡CD的坡角约为21°48'，坡底宽约为128.6m，建造这个堤坝需用土石方224835m3． 过梯形上底的端点作梯形的高线是将有关梯形的计算问题划归为解直角三角形问题的常用辅助线，在教学后要引导学生加以总结，锐角三角形或钝角三角形的高线，也是将问题转化为，解直角三角形的常用辅助线．
【例4】体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？ 解：如图，连结AB， 由题意，得＝45m，OB＝36.3m． 设∠AOB＝n°， 由弧长公式l＝，可以得到n＝＝≈71.03． 作OC⊥AB于点C． ∵OA＝OB， ∴AC＝BC，∠AOC＝∠AOB＝35.52°． ∴AB＝2AC＝2OA×sin∠AOC＝2×36.3×sin35.52°≈42.2（m）． 答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m． 例4教学中可引导学生结合图形加以分析，如果有条件，可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的距离，引导学生将较难测量的，弧长转化为方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题，而根据弧长求弦长，又可化归为用两条半径和弦AB构造等腰三角形，再作等腰三角形的高线，将求弦长的计算问题划归为解直角三角形问题来解决．联系弧长和弦长的关键量是所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数． 对于中间运算中的量，可以不取近似值，到最后按题目要求取近似值，也可以向学生补充中间运算取近似值比结果要求多取一位的通常做法．
如图，⊙O的直径为10cm，直径CD⊥AB于点E，OE＝4cm．求的长（精确到0.1cm）． 解：连结OB． 在Rt△OEB中， cos∠ΕΟΒ＝＝0.8，
∴∠ΕΟΒ≈36.87°，
则∠AΟΒ≈73.74°．
∴＝≈≈6.4（cm）．
答：的长约为6.4cm．
已知在△ABC中，AB＝5cm，AC＝4cm，AB和AC的夹角为α．设△ABC的面积为S（cm2）． （1）若α为锐角，求S关于α的函数表达式．若α为钝角呢？ （2）何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？ 解：（1）若α为锐角，如图（1）作CD⊥AB于D，则CD＝ACsinα， ∴S＝AB×CD＝AB×ACsinα＝10sinα； 若α为钝角，如图（2）作CD⊥AB于D，则CD＝ACsinα(180°－α)， ∴S＝AB×ACsin(180°－α)＝10sin(180°－α) （2）∵当α或180°－α为锐角时0＜sinα＜1，0＜sin＜(180°－α)＜1， ∴0＜S＜10． 当α＝90°时，S＝AB×AC＝10，也就是当α＝90°时，△ABC面积最大，最大面积为10． 可以通过本节“作业题”第6题，引导学生探究已知三角形的一个锐角A及其两条夹边长b，c求三角形面积的方法，得出三角形的面积公式S＝bcsinA．但这个公式不要求学生记忆．
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1.3 解直角三角形（2）
数学浙教版 九年级下册
修路、挖河、开渠和筑坝时，
设计图纸上都要标明斜坡的
倾斜程度．
坡面的铅垂高度（h）和水
平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）．
记作i，即i＝．
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα．
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
1．如图：
（1）若h＝2cm，l＝5cm，则i＝__________；
（2）若i＝1∶1.5，h＝2m，则l＝__________；
2．水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度
i＝1∶2，坝高h＝20m，迎水坡的水平宽_________．
0.4
3m
40m
如图，一个零件的轴截面为梯形，且关于直线m成轴对称．已知倾角α＝5.2°，零件的长度l＝20cm，大头直径D＝10cm．求小头直径d（精确到0.1cm）．
【例3】库堤坝的横断面是梯形（如图）．测得BC长为6m，CD长为60m，斜坡CD的坡比为1︰2.5，斜坡AB的坡比为1︰3．求：
（1）斜坡CD的坡角∠D和坝底AD的宽（角度精确到1?，宽度精确到0.1m）；
（2）若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方（精确到1m3）？
【例4】体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m．在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（如图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程．已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（π取3.14，结果精确到0.1m）？
已知在△ABC中，AB＝5cm，AC＝4cm，AB和AC的夹角为α．设△ABC的面积为S（cm2）．
（1）若α为锐角，求S关于α的函数表达式．若α为钝角呢？
（2）何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？
