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1.3 解直角三角形 （3）
学习目标 1．继续经历将实际问题化归为解直角三角形问题的过程，探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用． 2．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． 3．进一步体会数形结合和函数思想的运用．
学习过程
【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处．求船从A处到B处的航速（精确到1km/h）．
如图是某少年宫局部景点示意图．“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处．问“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距多少米？“蹦蹦床”距离“正大门”多少米？
【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12?，点C的俯角为43°24?．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）．
如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m求铁塔高BC（精确到0.1m）．
在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．
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1.3 解直角三角形 （3）
学习目标 1．继续经历将实际问题化归为解直角三角形问题的过程，探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用． 2．会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题． 3．进一步体会数形结合和函数思想的运用． 重点与难点 本节教学的重点是解直角三角形的运用． 例5，例6均需化归为解两个直角三角形问题．但例6涉及的两个直角三角形交叠在一起，图形和计算都较例5复杂，是本节教学的难点．
学习过程
【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处．求船从A处到B处的航速（精确到1km/h）． 分析：对没有附图的测量问题，一般我们可先根据题意画出示意图．由示意图可以看出，要求船的航速，只需求出A，B间的路程，这可化归为解Rt△AOC与Rt△BOC． 解：根据题意画出示意图，如图 在Rt△AOC中， OA＝500m，∠AOC＝30°， ∴AC＝OAsin∠AOC＝500×sin30°＝500×＝250（m）， OC＝OA×cos∠AOC＝500×cos30°＝500×＝250（m） 在Rt△BOC中，∠BOC＝45°， ∴BC＝OC＝250（m）， ∴AB＝AC＋BC＝250＋250＝250(1＋)（m）． ∴船的航速为250(1＋)÷3×60≈14000（m/h）＝14（km/h）． 答：船从A处到B处的航速约为14km/h． 在例5的教学中，首先引导学生分析题意，联系速度、时间和路程的关系．已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题．然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和积累的经验之处．
如图是某少年宫局部景点示意图．“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处．问“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距多少米？“蹦蹦床”距离“正大门”多少米？ 解：连结AC，与正东方向交于点D． 由题意知，在Rt△BCD中，BD＝CD＝BC×sin45°＝30（m）． 在Rt△BCD中， AD＝BD×sin60°＝30（m）．
∴AC＝30(＋)（m）．
∴AB＝＝60（m）． 答：“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距30(＋)m，“蹦蹦床”距离“正大门”60m．
【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12?，点C的俯角为43°24?．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）． 解：如图，作DE⊥AB于点E， 在Rt△ABC中， ∠ACB＝∠FAC＝43°24?， ∴AB＝BC×tan∠ACB＝32.6×tan43°24?≈30.83≈30.8（m）． 在Rt△ADE中， ∠ADE＝∠DAF＝35°12?，DE＝BC＝32.6（m）． ∴AE＝DE×tan∠ADE＝32.6×tan35°12'≈23.00（m）． ∴CD＝AB－AE≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m）． 答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m． 例6中，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A楼边沿的铅垂线构成直角三角形，可直接求得A楼的高度．D楼的高度不能直接求得，需由条件先求出A，D两幢楼的落差，再由此求得D楼的高度．因此，解决本例的关键是以点A观察点D的视线为你斜边，适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，其构造方法除课本给出的方法外，还可以采用过D向水平线AF作垂线．教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点与便捷性，鼓励学生积极探索，使学生成为主动的、富有个性的过程．
例题教学后可引导学生进行总结．将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键．航行问题是的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形往往由视线、水平线和铅线等构成．方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角和各种视角（如仰角、俯角、观察角）有正确的理解和想象，并出来这些线．讲解时教师要具体展示例题中示意图是怎样画出来的，并让学生逐步学会根据题意画示意图的方法．画示意图在用解直角三角形解决实际问题中是十分关键的一步．
如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m求铁塔高BC（精确到0.1m）． 解：过点A作BC的垂线，垂足为E．在Rt△ABE中， tan30°12?＝＝，则BE＝150×tan30°12?≈87.30（m）．
∴BC＝BE＋CE＝87.30＋1.52≈88.8（m）． 答：铁塔高BC约为88.8m．
在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）． 解：如图． 解法一：设树高CD为x（m），则(6＋x)2＋x2＝4x2， 解得x1＝3－3（舍去），x2＝3＋3≈8.2． 答：树高约为8.2m． 解法二：设树高CD为x（m）， 在Rt△ACD中，tan30°＝＝，则AD＝． 同理，在Rt△BCD中，BD＝．
由AB＝AD－BD＝6，得－＝6，解得x≈8.2． 答：树高约为8.2m． 本题需要列方程来解答，有一定典型性，教学中要帮助学生进行总结．
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(共11张PPT)
1.3 解直角三角形（3）
数学浙教版 九年级上册
【例5】某海防哨所O发现在它的北偏西，距离哨所的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的处．求船从处到处的航速（精确到1km/h）．
分析：对没有附图的测量问题，一般我们可先根据题意画出示意图．由示意图可以看出，要求船的航速，只需求出A，B间的路程，这可化归为解Rt△AOC与Rt△BOC．
解：根据题意画出示意图，如图
?在Rt△AOC中，
OA＝500m，∠AOC＝30°，
∴AC＝OAsin∠AOC＝500×sin30°
＝500×＝250（m），
OC＝OA×cos∠AOC＝500×cos30°
＝500×＝250（m）
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，
∴BC＝OC＝250（m），
∴AB＝AC＋BC＝250＋250＝250(1＋)（m）．
∴船的航速为250(1＋)÷3×60≈14000（m/h）＝14（km/h）．
答：船从A处到B处的航速约为14km/h．
如图是某少年宫局部景点示意图．“蹦蹦床”A在“小舞台”C的正北方向，在“正大门”B的北偏东30°方向；“小舞台”C在“正大门”B的东南方向60m处．问“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距多少米？“蹦蹦床”距离“正大门”多少米？
解：连结AC，与正东方向交于点D．
由题意知，在Rt△BCD中，
BD＝CD＝BC×sin45°＝30（m）．
在Rt△BCD中，
AD＝BD×sin60°＝30（m）．
∴AC＝30(＋)（m）．
∴AB＝＝60（m）．
答：“小舞台”和“蹦蹦床”之间相距30(＋) m，“蹦蹦床”距离“正大门” 60m．
【例6】如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为，点C的俯角为．求这两幢楼的高度（精确到0.1m）．
解：如图，作DE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
∠ACB＝∠FAC＝43°24?，
∴AB＝BC×tan∠ACB
＝32.6×tan43°24?≈30.83≈30.8（m）．
在Rt△ADE中，
∠ADE＝∠DAF＝35°12?，DE＝BC＝32.6（m）．
∴AE＝DE×tan∠ADE＝32.6×tan35°12'≈23.00（m）．
∴CD＝AB－AE≈30.83－23.00＝7.83≈7.8（m）．
答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m．
如图，在离铁塔150m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为30°12′，测倾仪高AD为1.52m求铁塔高BC（精确到0.1m）．
解：过点A作BC的垂线，垂足为E．在Rt△ABE中，
tan30°12?＝＝，
则BE＝150×tan30°12?≈87.30（m）．
∴BC＝BE＋CE＝87.30＋1.52≈88.8（m）．
答：铁塔高BC约为88.8m．
在地面上的A点测得树顶端C的仰角为30°，沿着向树的方向前进6m到达B点，在B点测得树顶端C的仰角为45°．请画出示意图，并求出树高（精确到0.1m）．
解法一：设树高CD为x（m），则(6＋x)2＋x2＝4x2，
解得x1＝3－3（舍去），x2＝3＋3≈8.2．
答：树高约为8.2m．
解法二：设树高CD为x（m），
在Rt△ACD中，tan30°＝＝，则AD＝．
同理，在Rt△BCD中，BD＝ ．
由AB＝AD－BD＝6，得－ ＝6，解得x≈8.2．
答：树高约为8.2m．
