第3章 圆的基本知识 经典中考解答题 单元测试卷（含答案）

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《圆的基本性质》好题集锦（2019．10）

一、圆的有关线段和角
1．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于D点．
(1)试求∠BAD的度数；
(2)求证：△ABC为等边三角形．



2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD．
(1)求证：AD＝AN；
(2)若AB＝，ON＝1，求⊙O的半径．





3．已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C．、P在AB的两侧,AC=AB,连接CP,BP．
(Ⅰ)如图①,若CP经过圆心,求∠P的大小；
(Ⅱ)如图②,点D是PB上一点,CD⊥PB,若CP⊥AB,求∠BCD的大小．








4．如图，⊙P的圆心的坐标为(2，0)，⊙P经过点．
(1)求⊙P的半径r；
(2)⊙P与坐标轴的交点A，E，C，F的坐标；
(3)点B关于x轴的对称点D是否在⊙P上，请说明理由．






5．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于?E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；（2）若CD=6，AC=8，求CE的长．
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6．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长．







7．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE． 求证：（1）AB＝AF； （2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．












二、圆与四边形

8．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连结AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连结CO，求证：CO平分∠BCE.









9．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．






10.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．


11．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“十字形”的有________．
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，且CB＝CD
①证明：四边形ABCD是“十字形”；
②若AB＝2．∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，求四边形ABCD的面积．
如图2．A、B、C、D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，若∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD．满足AC+BD＝3，求线段OE的取值范围．







三、圆的综合运用
12．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC＝30°，点P是弦BC上一动点，
过点P作PD┴OP交圆O于点D．
（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．





?13．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD
（1）求证：∠C=∠D；
（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围(用含r的代数式表示)．

14．如图，有两条公路?OM、ON?相交成?30°角，沿公路?OM?方向离?O?点?80?米处有一所学校?A．当 重型运输卡车?P?沿道路?ON?方向行驶时，在以?P?为圆心?50?米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪?声的影响，且卡车?P?与学校?A?的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车?P?沿道路?ON?方向行 驶的速度为?18?千米/时．
（1）求对学校?A?的噪声影响最大时卡车?P?与学校?A?的距离； 求卡车?P?沿道路?ON?方向行驶一次给学校?A?带来噪声影响的时间．









15．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．












16．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F．
（1）求证：∠BFC=∠ABC． （2）若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长．










《圆的基本知识好题》参考答案

1.解：(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°(直径所对的圆周角是直角)．
(2)证明：∵∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
2.(1)证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AEN＝∠AMC＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BAM＝∠BCD，
∴∠BAM＝∠BAD，，∴△ANE≌△ADE(ASA)，∴AN＝AD；
(2)解：∵AB＝4，AE⊥CD,∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，
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???????????????第2题解图

3.解:(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AC=AB,∴∠ABC=30°,∴∠A=90°－∠ABC=60°,
∴∠P=∠A=60°;(Ⅱ) ∵AB是⊙O的直径,AC=AB, ∴∠A=60°,∴∠BPC=∠A=60°,
∵CD⊥PB∴∠PCD=90°－BPC=30°,∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴BC=BP,∴∠P=∠BCP=60°,∴∠BCD=∠BCP－∠PCD=60°－30°=30°.


4..解：(1)过点B作x轴的垂线，交x轴于点G，连接BP.
则点G坐标为(4，0)．
在Rt△PBG中，PG＝4－2＝2，BG＝，斜边PB＝∴⊙P的半径r＝.
(2)点E坐标为(2－，0)，点F坐标为(2＋，0)∵点A坐标的y值＝，∴点A坐标为(0，)．点C坐标为(0，－)．
(3)∵⊙P关于x轴对称，又∵B与D关于x轴对称，∴D在⊙P上．

5.证明：如图．∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ACE＝∠A.
又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2，∴?CF＝BF.

此时，CE=

6.（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠3＝∠5+∠3＝90°，∴∠1＝∠5＝∠2，
∴PD＝PA，∵∠4+∠2＝∠1+∠3＝90°，且∠ADB＝90°，∴∠3＝∠4，
∴PD＝PF，∴PA＝PF，即P是线段AF的中点；

（3）解：连接CD， ∵∠CBD＝∠DBA，∴CD＝AD，∵CD＝3，∴AD＝3，
∵∠ADB＝90°，AB＝5，⊙O的半径为2.5，∵DE×AB＝AD×BD，∴5DE＝3×4，
∴DE＝2.4．即DE的长为2.4．







7.（1）证明：∠ABF＝∠ADC＝120°﹣∠ACD＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF．

（2）证明：四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD＝∠ACD，
又DE＝DC，所以∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，
所以AB＝AE．
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．


8.(1)根据圆周角定理知∠E＝∠B，
又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.
∵AD∥CE，∴∠D＋∠DCE＝180°，
∴∠E＋∠DCE＝180°，
∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．
(2)如图，连结OE，OB，
由(1)得四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC.
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.
∵OC＝OC，OB＝OE，
∴△OCE≌△OCB(SSS)，
∴∠ECO＝∠BCO，即OC平分∠BCE.

9.11.解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= ∠BOC=45°；

（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2 ， ∴BE= ?∴BC=2BE=



10.解析：（1）∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，
∵AB=AC，∴BE=CE，
∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD=，
∴S菱形ABFC=．
∴S半圆=



11.15. （1）菱形，正方形
（2）解：①如图1，连接AC，BD

∵AB＝AD，且CB＝CD
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是“十字形”
②如图，设AC与BD交于点O

∵AB=AD，AC⊥BD
∴∠BAO=∠BAD=30°
同理可证∠BCO=45°
在Rt△ABO中，OB=1
AO=AB×cos30°=
OB=OC=1
∴AC=AO+CO=1+， BD=2
∴ 四边形ABCD的面积=×AB×BD=×2×（1+）=1+

（3）解：如图2

∵∠ADB+∠CBD＝∠ABD+∠CDB，∠CBD＝∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD＝∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴OA＝OD＝1，OM2＝OA2﹣AM2 ， ON2＝OD2﹣DN2 ， AM＝ AC，DN＝ BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON＝ME，OE2＝OM2+ME2 ，
∴OE2＝OM2+ON2＝2﹣（AC2+BD2）
设AC＝m，则BD＝3﹣m，
∵⊙O的半径为1，AC+BD＝3，
∴1≤m≤2，∴

12.连结OD??∵直径AB=12???∴OB=6??∵PD┴OP??????∴ ∠? DPO=90°?
∵PD∥AB??????∴∠?POB=90°????
又∵∠?ABC=30°?，OB=6∴OP=
∵在Rt△POD中，?由勾股定理得PD=
（2）过点O作OH┴BC，垂足为H?∵OH┴BC
??????∴∠?OHB=?OHP=90°∵∠?ABC=30°，OB=6∵在⊙O中，OH┴BC∴CH=BH=??∵BP平分∠OPD????∴ PH=3,
13.证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′
∵∠CED=∠OED=60°，∴∠AEC=60°，OED′=60°，∴∠DEO=∠D′EO=60°，
由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，∵OC=OD′，D′=∠C，∴∠C=∠D；
（2）∵∠D′EO=60°，∴∠C＜60°，C=∠D′＜60°，∴∠COD′＞60°，∴CD′＞OC=OD′，
∵CD′＜OC+OD′，∵CE+ED=CE+ED′=CD′，∴r＜CE+ED＜2r．
14.解：（1）过点?A?作?AD⊥ON?于点?D，
∵∠NOM=30°，AO=80m，AD=40m，即对学校?A?的噪声影响最大时卡车?P?与学校?A?的距离为?40?米；
由图可知：以?50m?为半径画圆，分别交?ON?于?B，C?两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，
∵在?Rt△AOD?中，∠AOB=30°，AD=?OA=?×80=40m，
在?Rt△ABD?中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，?故BC=2×30=60?米，即重型运输卡车在经过?BC?时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为?18?千米/小时，即300?米/分钟，
∴重型运输卡车经过?BC?时需要?60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．
答：卡车?P?沿道路?ON?方向行驶一次给学校?A?带来噪声影响的时间为?12?秒．

15.（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．
∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．理由如下∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，BMC=90°．EG⊥BO，
∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．
∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA=．
∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．

16.（1）证明：连结AD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵CF⊥BD，∴∠BEF =90°，∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°，∴∠BFC=∠ADB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB=∠ADB，∴∠BFC=∠ABC.
（2）解：连结CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠BFC=∠ABC，
∴BC=CF=6，∵BD=10，∴CD=8



在Rt△BCE中，BE=，CE=，，
,∴AF=AB-BF=









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