浙教版八年级上册第1章1.3.2几何命题的证明格式 同步练习（含答案）

1.3　第2课时　几何命题的证明格式
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知识点1　文字叙述命题的证明格式
1．请根据命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”完成以下要求．
(1)画出图形；
(2)根据(1)中所画的图形填空，
已知：______________________________________________________________________.
求证：__________________．
2．求证：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．
知识点2　三角形外角的定义和性质
3．如图1－3－13，在△ABD中，点C在BD边上，则△ABC的外角是________，△ACD的外角是________．
4．如图1－3－14，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，D为CB延长线上的一点，则∠ABD＝________°.
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图1－3－13 图1－3－14 图1－3－15
5．如图1－3－15，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E.若∠AEN＝133°，则∠B的度数为____________．
6．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
7．如图1－3－16所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
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图1－3－16 图1－3－17 图1－3－18
8．如图1－3－17，AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，那么∠ACB的度数为(　　)
A．25° B．60° C．85° D．95°
9．[2018·眉山]将一副三角板按如图1－3－18所示的方式放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是(　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
知识点3　需要添加辅助线的几何证明
10．教材例4变式如图1－3－19所示，已知直线a∥b，求证：∠3＝∠1＋∠2.
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图1－3－19
11．如图1－3－20所示，∠A＝50°，∠B＝30°，∠BDC＝110°，求∠C的度数．
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图1－3－20
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12．在三角形不共顶点的三个外角中，钝角的个数最少为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
13．如图1－3－21，直线AB∥CD，直角三角形DEF按图所示的方式放置，∠EDF＝90°，若∠1＋∠F＝70°，则∠2的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．40°
14．2018·青海小桐把一副三角板按如图1－3－22所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2的度数是(　　)
A．150° B．180° C．210° D．270°
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图1－3－21 图1－3－22 图1－3－23
15．如图1－3－23，在△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，且∠A＝65°，
∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是________．
16．如图1－3－24所示，已知D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°.
(1)求∠BDC的度数；
(2)求∠BFD的度数；
(3)试说明：∠BFC＞∠A.
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图1－3－24
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17．2018·杭州上城区月考如图1－3－25，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
(2)当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
(3)当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
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图1－3－25

教师详解详析
1．解：(1)如图所示．
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(2)如(1)中图，直线a，b，c在同一平面内，a⊥c，b⊥c　a∥b
2．解：已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点H，G，HM平分∠AHF，GN平分∠EGD.
求证：MH∥GN.
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证明：∵AB∥CD，∴∠AHF＝∠EGD.
∵HM平分∠AHF，GN平分∠EGD，
∴∠MHG＝∠AHF，∠HGN＝∠EGD，
∴∠MHG＝∠HGN，∴MH∥GN.
3．∠ACD　∠ACB
4．120　[解析] 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠ABD＝∠A＋
∠C＝50°＋70°＝120°.
5．70°　[解析] ∵∠AEN＝133°，∠A＝63°，
∴∠ADE＝∠AEN－∠A＝70°.
∵MN∥BC，∴∠B＝∠ADE＝70°.
6．B　7.B
8．C　[解析] ∵AD是∠CAE的平分线，
∴∠CAE＝2∠DAE＝120°，
∴∠ACB＝∠CAE－∠B＝85°.
9．C
10．证明：延长AB交直线b于点D.
∵a∥b，
∴∠1＝∠BDC.
∵∠3＝∠BDC＋∠2，
∴∠3＝∠1＋∠2.
11.解：如图，连结AD并延长．
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∵∠BDC＝∠1＋∠2＝∠BAD＋∠B＋∠CAD＋∠C＝∠BAC＋∠B＋∠C，
∴∠C＝∠BDC－∠BAC－∠B＝110°－50°－30°＝30°.
12．C　[解析] 直接判断三角形外角的大小比较困难，我们可以把三角形外角的问题转化为三角形内角的问题．因为三角形的三个内角中最少有两个锐角，所以三角形的三个外角中最少有两个钝角．
13．A　[解析] 根据∠1＋∠F＝70°以及三角形外角的性质可得∠ABD＝70°.根据AB∥CD，得∠ABD＋∠BDC＝180°，则∠BDC＝110°.根据∠EDF＝90°，得∠2＝
110°－90°＝20°.
14．C　[解析] 如图：
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∵∠1＝∠D＋∠DOA，∠2＝∠E＋∠EPB，
∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1＋∠2＝∠D＋∠E＋∠COP＋∠CPO＝∠D＋∠E＋180°－∠C＝30°＋90°＋180°－90°＝210°.故选C.
15．125°
16．解：(1)在△ACD中，
∵∠A＝62°，∠ACD＝15°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋15°＝77°.
(2)在△BDF中，
∵∠BDC＋∠ABE＋∠BFD＝180°，∠ABE＝20°，
∴∠BFD＝180°－77°－20°＝83°.
(3)∵∠BFC是 △BDF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BDC＋∠ABE，
∴∠BFC>∠BDC.
∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，
∴∠BDC>∠A，
∴∠BFC＞∠A.
17．解：(1)证法一：如图，
延长BP交直线AC于点E.
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∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD.
∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
证法二：如图，
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过点P作FP∥AC，
∴∠PAC＝∠APF.
∵AC∥BD，∴FP∥BD，
∴∠FPB＝∠PBD.
∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD.
证法三：∵AC∥BD，
∴∠CAB＋∠ABD＝180°.
即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°.
又∵∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD.
(2)不成立．
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
(b)当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB，或∠PAC＝∠PBD＋∠APB，或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD(任写一个即可)．
(c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD.
选择(a)证明：
如图，PB交AC于点M.
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∵AC∥BD，
∴∠PMC＝∠PBD.
又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM，
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
选择(b)证明：如图．
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∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°.
∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC.
∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB，
或∠PAC＝∠PBD＋∠APB，
或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD.
选择(c)证明：如图．
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PB交AC于点F.
∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD.
∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA，
∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD.