浙教版八年级上册第1章1.5.4 “角角边”判定方法与角平分线的性质 同步练习（含答案）

1．5第4课时　“角角边”判定方法与角平分线的性质
知识点1　利用“AAS”判定三角形全等
1．如图1－5－48所示，AB与CD相交于点O，∠A＝∠B，
CO＝DO.又因为________＝________，所以△AOC≌△BOD，
其依据是________________． 图1－5－48
2．如图1－5－49，E，A，C三点共线，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD.
求证：BC＝ED.
图1－5－49
3．如图1－5－50，已知AD∥CE，∠1＝∠2.D为线段BE的中点，证明：△ABD≌△CDE.
图1－5－50
知识点2　全等三角形判定与性质的结合
4．如图1－5－51所示，∠ACB′＝∠A′C′B，∠B＝∠B′，AB＝A′B′，点B，C′，C，B′在同一条直线上．若∠A＝68°，则∠A′＝________°. 图1－5－51
5．如图1－5－52，四边形ABCD是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝BF，∠D＝∠C，则AD与BC是否相等？说明你的理由．
解：AD＝BC.理由：在△ADE和△BCF中，
∵
∴△ADE≌△BCF(________)，
∴AD＝BC(____________________________)． 图1－5－52
6．如图1－5－53，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD及AD的延长线的垂线CF，BE，垂足分别为F，E.求证：BE＝CF.
图1－5－53
知识点3　全等三角形的判定方法综合
7．如图1－5－54，在△ABC中，∠1＝∠2，D为BC上一点，要使△ABD≌△ACD.
(1)根据“SAS”还需要添加一个条件：__________________________________________；
(2)根据“ASA”还需要添加一个条件：___________________________________________；
(3)根据“AAS”还需要添加一个条件：____________________________________________.

图1－5－54 图1－5－55
8．2018·衢州如图1－5－55，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个条件可以是______________．(只需写一个，不添加辅助线)
9．如图1－5－56，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使CF＝BE(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
图1－5－56
知识点4　角平分线的性质
10．如图1－5－57，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D.若
PD＝6，则点P到OB的距离为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3

图1－5－57 图1－5－58
11．如图1－5－58，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是(　　)
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
12．如图1－5－59所示，OC平分∠AOB，OA＝OB，P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：PE＝PF.
图1－5－59
13．如图1－5－60所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.有以下结论：①EM＝FN；②CD＝DN；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图1－5－60 图1－5－61
14．如图1－5－61，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若
S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝__________．
15．2017·台州期末如图1－5－62，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°.求证：AD＝CD.
图1－5－62
16．如图1－5－63，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF⊥FH，BG⊥FH，DH⊥FH，垂足分别为F，G，H，点A，C均在FH上，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S.
图1－5－63

教师详解详析
1．∠AOC　∠BOD　AAS
2．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECD.
在△ABC与△CED中，∵
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC＝ED.
3．证明：∵AD∥CE，
∴∠ADB＝∠CED.
∵D是BE的中点，
∴BD＝DE.
在△ABD和△CDE中，
∵
∴△ABD≌△CDE(AAS)．
4．68
5．∠C　已知　BFC　垂直的定义　BF　已知　AAS　全等三角形的对应边相等
6．[解析] 欲证明BE＝CF，可证明△BED≌△CFD.由中线的定义及垂直的定义和对顶角的性质可以解决问题．
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD(中线的定义)．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°(垂直的定义)．
在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF.
7．(1)AB＝AC　
(2)∠BDA＝∠CDA或AD⊥BC
(3)∠B＝∠C
[解析] 注意公共边AD的使用．因为∠1是AB与AD的夹角，∠2是AC与AD的夹角，所以(1)应填AB＝AC；因为AD是∠1与∠BDA的夹边，也是∠2与∠CDA的夹边，所以(2)应填∠BDA＝∠CDA或AD⊥BC；因为AD在△ABD中的对角是∠B，在△ACD中的对角是∠C，所以(3)应填∠B＝∠C.
8．(答案不唯一)∠A＝∠D
9．解：答案不唯一，如添加的条件是BD＝CD.
证明：∵CF∥BE(已知)，
∴∠EBD＝∠FCD(两直线平行，内错角相等)．
在△BDE和△CDF中，
∵
∴△BDE≌△CDF(ASA)，
∴CF＝BE(全等三角形的对应边相等)．
10．A
11．B　[解析] ∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC＝PD，故A正确；
在△OCP与△ODP中，
∵
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C，D正确；
不能得出∠CPD＝∠DOP，故B错误．
故选B.
12．[解析] 由OC平分∠AOB，OA＝OB，OC为公共边，可得△AOC≌△BOC，从而可得∠ACO＝∠BCO.又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF.
证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，
∵
∴△AOC≌△BOC，∴∠ACO＝∠BCO.
∴CO平分∠ACB.
又∵P为OC上一点，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF.
13．C　[解析] ∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，
∴∠EAB＝∠FAC.
又∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFC，∴AB＝AC.在△ACN和△ABM中，
∵
∴△ACN≌△ABM(ASA)，故④正确．
∵∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB－∠CAB＝∠FAC－∠CAB，
即∠EAM＝∠FAN，故③正确．
在△EAM和△FAN中，∵
∴△EAM≌△FAN(ASA)，∴EM＝FN，故①正确．
由已知条件不能得出CD＝DN，故正确的结论有3个．
14．3　[解析] ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2.
∵AB＝4，∴S△ABD＝×4×2＝4.
∵S△ABC＝7，∴S△ACD＝3，∴AC＝＝3.
15．证明：如图，过点D分别作DM⊥BA交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N，因此∠AMD＝∠CND＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN.
∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，∴∠C＝∠DAM.
在△AMD与△CND中，
∵
∴△AMD≌△CND(AAS)，∴AD＝CD.
16．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠AGB＝90°，
∴∠EAF＋∠BAG＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG.
又∵AE＝BA，∠EFA＝∠AGB，
∴△EFA≌△AGB，
∴AF＝BG＝3，EF＝AG＝6.
同理可得△BGC≌△CHD，
得GC＝HD＝4，BG＝CH＝3.
故FH＝AF＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，
故S＝×(6＋4)×16－2××3×4－2××6×3＝50.