浙教版 八年级上册第1章 三角形的初步知识专题训练(一)全等三角形的基本模型（解析版）

专题训练(一)　全等三角形的基本模型
?　模型一　轴对称型
常见的轴对称模型：
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图1－ZT－1
1．如图1－ZT－2，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.
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图1－ZT－2
2．如图1－ZT－3，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.
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图1－ZT－3
3．如图1－ZT－4，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.
求证：DE＝CF.
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图1－ZT－4
?　模型二　平移型
常见的平移模型
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图1－ZT－5
4．如图1－ZT－6，C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD.求证：∠B＝∠D.
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图1－ZT－6
?　模型三　旋转型
常见的旋转模型：
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图1－ZT－7
5．[2018·陕西]如图1－ZT－9，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连结AD，分别与EC，BF相交于点G，H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.
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图1－ZT－8
6．如图1－ZT－9，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连结BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
(2)试猜想BD，CE有何特殊的位置关系，并给出证明．
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图1－ZT－9
?　模型四　“一线三等角”型
常见的一线三等角模型：
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图1－ZT－10
7．如图1－ZT－11，已知长方形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，
EF⊥CE，且EF＝CE，DE＝4 cm，长方形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．
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图1－ZT－11
8．如图1－ZT－12，在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立．若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
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图1－ZT－12
9．如图1－ZT－13，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E.
(1)证明：△BCE≌△CAD；
(2)若AD＝25 cm，BE＝8 cm，求DE的长．
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图1－ZT－1
?　模型五　综合模型
平移＋对称模型：　　　　　　平移＋旋转模型：
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图1－ZT－14 图1－ZT－15
10．如图1－ZT－16，AB＝BC，BD＝EC，AD与BE交于点O，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE.
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图1－ZT－16

教师详解详析
1．证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE，即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC与△ADE中，

∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠C＝∠E.
2．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BEA＝90°.
又∵∠A＝∠A，CD＝BE，
∴△ACD≌△ABE.
∴AB＝AC.
3．证明：∵AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，即AD＝BC.
在△AED和△BFC中，
∵
∴△AED≌△BFC(ASA)，
∴DE＝CF.
4．证明：∵C是AE的中点，
∴EC＝CA.
在△CAB和△ECD中，
∵
∴△CAB≌△ECD(SAS)，
∴∠B＝∠D.
5．证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.
∵EC∥BF，∴∠CGD＝∠AHB.
又∵AB＝CD，∴△ABH≌△DCG，
∴AH＝DG，∴AH－GH＝DG－GH，即AG＝DH.
6．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)BD⊥CE.证明如下：
由(1)知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E.
∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，
∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE.
7．解：∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠DCE.
又∵∠FAE＝∠EDC＝90°，EF＝CE，
∴△AEF≌△DCE，∴AE＝DC.
设AE＝x cm，则DC＝x cm，AD＝(x＋4)cm.
∵长方形ABCD的周长为32 cm，
∴2(x＋x＋4)＝32，
解得x＝6，即AE＝6 cm.
8．解：成立．
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠EAC＝180°－α，∴∠DBA＝∠EAC.
在△ADB和△CEA中，∵
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
9．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ACB＝∠CDA＝90°，
∴∠ACE＋∠BCE＝90°，
∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE.
在△BCE和△CAD中，
∵∴△BCE≌△CAD.
(2)由(1)知△BCE≌△CAD，
∴CE＝AD，BE＝CD，
∴DE＝CE－CD＝AD－BE＝25－8＝17(cm)．
10．证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠ABD＝∠C＝90°.
在△ABD和△BCE中，
∵
∴△ABD≌△BCE，
∴∠A＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABE＝90°，
∴∠A＋∠ABE＝90°，
∴∠AOB＝90°，∴AD⊥BE.