4.1 比例线段-黄金分割 同步练习（解析版）

初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段-黄金分割 同步训练
一、基础巩固
1.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（?? ）
A.?3﹣ ?????????????????????B.?（ +1）?????????????????????C.?﹣1?????????????????????D.?（ ﹣1）
2.点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（??? ）cm
A.?????????????????B.?????????????????C.?或 ????????????????D.?或
3.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（?? ）21教育网
①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③AC＝10( )米；④BC＝10(3? )米或10( ?1)米．
A.?①②③④??????????????????????????????????B.?①②③??????????????????????????????????C.?①③??????????????????????????????????D.?④
4.在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（??? ）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
5.已知 为线段 的黄金分割点，且 ，则（??? ）．
A.?????????????B.??????????????C.?????????????D.?
6.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（?? ） 21·cn·jy·com
A.?12.36 cm???????????????????????????B.?13.6 cm???????????????????????????C.?32.36 cm???????????????????????????D.?7.64 cm
7.若a：b=3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（?? ）
A.?4：3????????????????????????????????????B.?3：4????????????????????????????????????C.?3：2????????????????????????????????????D.?2：3
8.已知线段a=4，b=9，线段x是a，b的比例中项，则x等于（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????B.?6或﹣6???????????????????????????????????????C.?﹣6???????????????????????????????????????D.?36
9.若 ，请再写出一条线段的长，使它与a、b这三条线段中的一条是另外两条的比例中项，则这条线段长为________． 2-1-c-n-j-y
10.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为________cm． 【
11.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少________m处．（结果精确到0.1m）
12.已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
二、提高特训
13.点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（?? ）
①AC= AB，②AC= AB，③AB:AC=AC:BC，④AC≈0.618AB
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
14.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置（?? ）21*cnjy*com
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
15.如果一个矩形的宽(即短边)与长(即长边)之比是 ，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E,F,G,H分别为线段AD,BC,AB,EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（? ?）

A.?5个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?2个
16.如图，在五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，CD=1，则AB的长是________.
17.如图，已知 是线段 的黄金分割点，且 .若 表示以 为一边的正方形的面积， 表示长是 、宽是 的矩形的面积，则 ________ .(填“>”“＝”或“<”)
18.已知线段a、b、c满足 ，且 ．
（1）求a、b、c的值；| |
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

19.?（1）已知 = ≠0，求代数式 的值；
（2）已知线段AB=10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离． 21*
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20.如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，求证：点D是AC的黄金分割点．
答案解析部分
一、基础巩固
1.【答案】 C
解析：解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；
则BC=2× = -1．
故答案为： -1．
根据黄金分割的定义可知：， 从而得出答案。
2.【答案】 D
解析：若C是线段AB的黄金分割点，则AC=AB或BC=AB， ∴AC=或BC=， ∴BC=或。 故答案为：D。 一条线段有两个黄金分割点。若C是线段AB的黄金分割点，则AC2=AB·BC或BC2=AB·AC，再通过计算可得。
3.【答案】 D
解析：解： AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；
AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64，所以②错误；
若AC为较长线段时，AC= AB=10（ -1），BC=10（3- ）；若BC为较长线段时，BC= AB=10（ -1），AC=10（3- ），所以③不一定正确，④正确．
故答案为：D
根据黄金分割的定义和AC为较长线段或较短线段进行判断，可解答。
4.【答案】 C
解析：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ= ,
则PQ=AP+BQ-AB= ?
故答案为：C 根据黄金分割点的概念可得AP和BQ，则PQ=AP+BQ-AB
5.【答案】C
解析：∵点 为线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，
即 ．
故答案为： ．
根据点 P 为线段 A B 的黄金分割点，A P < P B，列出比例式，即可得出结论。
6.【答案】A
解析：解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
7.【答案】 C
解析：解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2=ac，即 ，
∵a：b=3：2，
∴b：c=3：2．
故答案为：C
b是a、c的比例中项则b2=ac，变形为比例式即可。
8.【答案】A
解析：解：∵线段x是a，b的比例中项，
∴x2=ab，
即x2=36，
∴x=6（负数舍去），
故选A．
根据比例中项的定义可得x2=ab，从而易求x．
9.【答案】或 或12
解析：解：设写出的线段为c，
若线段c是线段a，b的比例中项，则有c2=ab，
∵a=3，b=6，
∴c2=18，
∴c= ；
若线段a是线段c，b的比例中项，则有a2=bc，
∵a=3，b=6，
∴32=6c，
解得c= ；
若线段b是线段a，c的比例中项，则有b2=ac，
∵a=3，b=6，
∴62=3c，
解得c=12，
∴c= 或 或12，
故答案为： 或 或12.
设写出的线段为c，分三种情况讨论：若线段c是线段a，b的比例中项；若线段a是线段c，b的比例中项；若线段b是线段a，c的比例中项，分别列出比例式，解方程取出c的值即可。
10.【答案】 5 -5
解析：解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ ?AB＝ ×10＝5 ﹣5（cm），
故答案为：5 ﹣5
根据黄金分割的定义，PA就是AB与PB的比例中项，从而列出方程，进而得出AP＝ ?AB，将AB的长度代入即可算出答案。
11.【答案】 7.6
解析：根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20× ≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为：7.6
把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值即为黄金分割，这个点为黄金分割点.其比值是≈0.618.此题要求主持人至少走离A点多少米，根据黄金比，只需要走到AB的1-0.618倍处即得.2·1·c·n·j·y
12.【答案】（1）解：∵a=0.3m=30cm；b=60cm，
∴a：b=30：60=1：2（2）解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴ = ，
∵c=12dm=120cm，
∴ = ，
∴d=240cm（3）解：是，理由：
∵b2=3600，ac=30×120=3600，
∴b2=ac，
∴b是a和c的比例中项
解析：【分析】（1）首先统一单位，即a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得a：b=c：d，据此可求得d的值；（3）首先计算出b2=3600，ac=30×120=3600，从而可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
二、提高特训
13.【答案】 C
解析：∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC= AB，故①正确；
由AC= AB，故②错误；
BC:AC=AC:AB，即:AB:AC=AC:BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故答案为：C. 黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2.根据定义可得比例式求解。【版权所有：21教育】
14.【答案】 B
解析：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
故答案为：B.
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，
15.【答案】 C
解析：解：由题意知，四边形AEHG、BFHG、CDEF都是矩形，
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴AB：AD=AB：BC= ，
∵AG=BG= AB，AE= AD，BF= BC，
∴AG：AE= AB： AD= ，BG：BF= AB： BC= ，
∴矩形AEHG、矩形BFHG是黄金矩形，
∵CD=AB，FC= BC，∴FC：CD= ≠ ，
∴图中黄金矩形共有3个，
故答案为：C.
由题意可知四边形AEHG、BFHG、CDEF都是矩形，已知矩形ABCD是黄金矩形，因此可得出AB：AD=AB：BC=， 再根据线段中点的定义证明AG：AE=BG：BF= ，就可得出矩形AEHG、矩形BFHG是黄金矩形，从而可得出黄金矩形的个数。21世纪教育网版权所有
16.【答案】
解析：解：∵C、D两点都是AB的黄金分割点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
又∵ ，
，
故答案为： . 由黄金分割的意义可得乘积式AD2=AC.CD，由线段的构成得AD=（AD+CD），代入可得关于AD的方程，解方程可求得AD的值，则AB=2AD+CD可求解。
17.【答案】=
解析：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB?AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2 ， S2=PB?AB，
∴S1=S2 ．
故答案为：=．
根据黄金分割的意义可得乘积式PA2=PB?AB，由题意可得S1=PA2 ， S2=PB?AB，则S1=S2 ．
18.【答案】（1）解：∵ ，
∴设 ， ， ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
即x的值为
解析：（1）根据已知条件，可设a=3k，b=2k，c=6k，然后代入方程建立关于k的方程，解方程求出k的值，就可求出a、b、c的值。（2）利用线段x是线段a、b的比例中项，可得出x2=ab，再将a、b的值代入求出x的值。
19.【答案】（1）解：设 = =k，可得：a=2k，b=3k，
把a=2k，b=3k代入
（2）解：∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD=BC= AB=5 ﹣5，
∴CD=AD+BC﹣AB=10 ﹣20cm．
解析：（1）利用已知可设a=2k，b=3k，再代入可求解。（2）由点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，利用黄金分割点的定义，可得出AD=BC=AB，就可求出AD、BC的长，再根据CD=AD+BC﹣AB，代入可求解。21cnjy.com
20.【答案】解：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，在△ACB和△BCD中，∠BDC=72°∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，∴△ACB∽△BCD，∴AC：BC=BC：DC；∵∠A=∠ABD，∴AD=BD，∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴AD=BC，∴AC：AD=AD：DC；即点D是AC的黄金分割点
解析：【分析】欲证点D是AC的黄金分割点，就是证明AC：AD=AD：DC，根据角平分线的性质以及已知条件推知∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°，所以△ACB∽△BCD；然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC：AD=AD：DC；最后由等腰三角形的性质得到：BC=BD=DA，代换即可．纪*教育网