4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-29 17:21:40 | ||
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文档简介
初中数学浙教版九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段 强化提升训练
一、单选题
1.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ?）www.21-cn-jy.com
A.?米????????????????????????????????????B.?3米????????????????????????????????????C.?2米????????????????????????????????????D.?1.5米
2.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D为AB的中点，点E，F分别在线段AD，BC上，且BF＝2AE，连结EF交中线AD于点G，连结BG，设AE＝x（0＜x＜2），△BEG的面积为y，则y关于x的函数表达式是（?? ） 21*cnjy*com
A.?x2+ ????????B.?+ ????????C.?+ ????????D.?+
3.AD 是△ABC 的中线，E? 是 AD 上一点，AE= AD，BE 的延长线交 AC 于 F，则 的值为（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.如图，点 是平行四边形 的边 上一点，射线 交 的延长线于点 ，则下列结论错误的是（? ） 21教育网
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
5.如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（ ???）
A.?27???????????????????????????????????????B.?28???????????????????????????????????????C.?28-4???????????????????????????????????????D.?20+2
6.AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝ AD，BE的延长线交AC于F，则 的值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????
??C.??????????????????????????????????????????D.?
8.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （??? ）
A.?若 ，则 ?????????????????????????????B.?若 ，则 C.?若 ，则 ?????????????????????????????D.?若 ，则
二、填空题
9.如图所示是小明设计带矩形、菱形、正方形图案的一块具有轴对称美的瓷砖作品. 若 ， ，则矩形 的周长是________ .
10.如图，在 中，AD平分 ，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若 ， ， ，求BD的长是________．
11.在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为________. 21cnjy.com
12.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于________。
13.如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE= AB，CF= CB，AG= AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________． 2·1·c·n·j·y
三、解答题
14.正方形ABCD的边长为4，以B为原点建立如图1平面直角坐标系中，E是边CD上的一个动点，F是线段AE上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EF'.
（1）如图2，当E是CD中点， 时，求点F'的坐标.
（2）如图1，若 ，且F'，D，B在同一直线上时，求DE的长.
（3）如图3，将正边形ABCD改为矩形，AD=4，AB=2，其他条件不变，若 ，且F'，D，B在同一直线上时，求DE的长(请用含n的代数式表示)
15.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）． 求证： ．
四、中考演练
16.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________.
17.在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B.
（1）k的值是________；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上.
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求?OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标.
18.如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （??? ）
A.?1：2????????????????????????????????????B.?1：3????????????????????????????????????C.?1：4????????????????????????????????????D.?2：3
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】∵BN∥AM
∴ ?
又∵ 米
∴BN=2米,CN= 米
∴CN:CM=BC:AC
∴ ?
解得：AC=3米
∴AB=AC?BC=2米,
故答案为：C
【分析】由题意知BN∥AM，根据平行线分线段成比例定理可得比例式CN:CM=BC:AC，由比例式可求得AC的长，则AB=AC-BC求解。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AB，
∵AE＝x，BF＝2AE，
∴BF＝2x，
在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，
∴HB＝x，FH＝ ，
∵AB＝4，D为AB的中点，
∴DE＝2﹣x，DH＝2﹣x，
∴GD＝ ，
∴y＝
故答案为：B。
【分析】过点F作FH⊥AB，根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，在Rt△FBH中，根据含30°角的直角三角形的边之间用含x的式子表示出HB,FH的长，根据等腰三角形的三线合一及线段的和差表示出DE,DH的长，进而根据平行线分线段成比例定理用含x的式子表示出GD的长，进而根据三角形的面积计算方法即可建立出y与x的函数关系式。【版权所有：21教育】
3.【答案】 C
【解析】【解答】作DG∥AC交BF于G，如图，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵DG∥CF，
∴ = ，
∴FC=2DG，
∵DG∥AF，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】作DG∥AC交BF于G，根据三角形的中线，可证得BD=CD，再利用平行线分线段成比例定理，可求出FC=2DG，然后利用平行线分线段成比例可得AF与DG的数量关系，从而可求出AF与AC的比值。
4.【答案】 D
【解析】【解答】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴ = ，故A不符合题意，选项不符合题意；
B、 = 正确，B选项不符合题意；
C、 = ，正确，故C不符合题意；
D、 = ，错误，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，再利用平行线分线段成比例，对各选项逐一判断，可得到结果。 ?
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G, ∴EF∥BC，AF=AC=×6=3 ∵AD是高 ∴∠ADC=∠AGF=90° 在Rt△AGF中 AG= ∵EF∥BC ∴ ∴FG是△ADC的中位线 ∴DC=2GF=2 ∴DG=AG= ∵ △DEG的周长为10， ∴EG+DE=10- 在Rt△ADB中，点E是AB边的中点，点G是AD的中点， ∴AB=2DE，BD=2EG ∴AB+BD=2（EG+DE）=20- ∴△ABC的周长为：AB+BD+DC+AC=20-+2+6=28- 故答案为：C 【分析】利用三角形中位线定理可证EF∥BC，求出AF，利用勾股定理求出AG的长，即可求出DG的长，因此可求出EG+DE的值，再利用平行线分线段成比例定理及三角形的中位线定理求出DC的长，可证得AB+BD=2（EG+DE），就可求出AB+BD的值，然后求出△ABC的周长。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝ AD，
∴ ，
∴AF：FC＝1：6，
∴ 的值为 .
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到FH＝HC，， 从而得到的值.
7.【答案】 C
【解析】【解答】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN= a，
∴FM= a，
∵AE∥FM，
∴ ，
故答案为：C． 【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M，根据正方形的性质得出AB∥CD，∠D=90°，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ANFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形ANFD是矩形，AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，根据过三角形一边中点，且平行于另一边的直线一定平分第三边得出BM=ME，根据三角形的中位线定理得出MN= a，然后根据平行线分线段成比例定理得出， 从而得出答案。
8.【答案】D
【解析】【解答】解:如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M
∴DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2
∴
∵DE∥BC
∴
∴
∵若
∴设 =k＜0.5（0＜k＜0.5）
∴AE=AC?k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k
∵S1= AE?h1= AC?k?h1 ， S2= CE?h2= AC（1-k）h2
∴3S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）?ACh2
∵0＜k＜0.5
∴ k2＜（1-K）
∴3S1＜2S2
故答案为：D
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M，可得出DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据DE∥BC，可证得 ，若 ，设 =k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2 ， 根据k的取值范围，即可得出答案。21·世纪*教育网
二、填空题
9.【答案】
【解析】【解答】如图，作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，连接KT，作RQ⊥KT于Q，交EW于O.
由若S乙=2S甲 ， 可得EM=2EN，设EN=x，则AN=EM=2x，则有x2+（2x）2=102 ，
∴EN=2 AN=EM=4 ，
设OE=OQ=y，
∵WE∥KT，
,
,
,
∴四边形ABCD的周长= ,
故答案是： .
【分析】作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，连接KT，作RQ⊥KT于Q，交EW于O，由甲、乙两个三角形的面积的关系可得EM=2EN，设EN=x，则AN=EM=2x，在直角三角形ANE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是EN、AN=EM的值可求解；设OE=OQ=y，由平行线分线段成比例定理可得比例式， 根据比例式可求得y的值，则四边形ABCD的周长可求解。
10.【答案】
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AD，则AE=DE，FA=FD，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴△AEF为等腰三角形，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=AF=4，DE∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴BD=
故答案为 ．
【分析】由作法可得MN垂直平分AD，AE=DE，FA=FD， 利用三角形全等（ASA）可判断△AEF为等腰三角形，根据四边相等可得四边形AEDF为菱形，进而可得DE∥AC，由平行线分线段成比例定理即可得出答案.
11.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH∥BC，
，
∵FG∥AC，
，
由①②可得x＝ ，y＝2，
∴AC＝ ，BC＝7，
∴S△ABC＝ ，
故答案为 .
【分析】设AH＝x，GB＝y，再利用平行线分线段成比例定理，由EH∥BC，FG∥AC，可得出对应线段成比例，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，从而可求出AC，BC的值，然后利用直角三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。
12.【答案】 2：3
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴=2， ∴AE=2BE，BE= 又DF∥CE， ∴， AF=2EF，又AF+EF=AE， ∴EF= ∴=。 故答案为：2：3。 【分析】根据平行线分线段成比例，分别得到EF、EB与AE的关系，即用AE表示出EF与EB，然后求出两者之比即可。
13.【答案】27
【解析】【解答】如图，在CD上截取一点H，使得CH= CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P， ∵AE= AB，AG= AD， ∴ ， ∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD， ∴EG∥FH，同法可证EF∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥EG， ∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形， ∵S△EFG=6， ∴S矩形EQOP=3，即OP?OQ=3， ∵OP：OA=BE：AB=2：3， ∴OA= OP，同法可证OB=3OQ， ∴S菱形ABCD= ?AC?BD= ×3OP×6OQ=9OP×OQ=27， 故答案为：27． 【分析】如图，在CD上截取一点H，使得CH=?CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P，根据平行线分线段成比例定理得逆用判断出EG∥BD，同法可证：FH∥BD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EG∥FH，同法可证EF∥GF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的对角线互相平行及平行线的性质得出EF⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，根据矩形的性质，及平行线分线段成比例定理得出OA=?OP，同法可证OB=3OQ，根据菱形的面积等于两对角线积的一半，用整体代入即可算出答案。【出处：21教育名师】
三、解答题
14.【答案】 （1）解：如图2，作EM⊥AB于M， 交CD延长线于H，
∵E是CD中点，
∴四边形AMED是矩形，
∵∠AME=∠AEF'=∠MEH=∠H=90°，
∴∠AEM+∠AEH=90°，∠AEH+∠HEF'=90°，
∴∠AEM=∠HEF'，EA=EF'，
∴△AME≌△F'HE，
∴AM=F'H=2，EM=EH=4，
∴F'(6，6) （2）解：如图1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延长线于H，连接BF'，
设DE=x，
∵ ，
∴AF=EF，
∵FM∥AD，∴DM=ME= ，FM= ，
∠AEM+∠HEF'=90°，∠AEM+∠MFE=90°，
∴∠HEF'=∠MFE，
因为∠FME=∠HF'E=90°，EF=EF'，
∴△FME≌△EHF'，
∴HF'=ME= ，EH=FM=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HDF'=∠BDC=45°，
∴DH=HF'= ，
∴ ，
解得 ，
∴DE= （3）解：∵FM∥AD，∴ ，
∴FM=4-4n，EM=x-xn，
由（2）可知△FME≌△EHF'，
∴HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，
∵ ，
∴DH= ，
∴ ，
∴ ，
即 .
【解析】【分析】（1） 如图2，作EM⊥AB于M， 交CD延长线于H，利用同角的余角相等证出 ∠AEM=∠HEF'，根据AAS可判断△AME≌△F'HE，由全等三角形的对应边相等可得AM=F'H=2，EM=EH=4，进而求出F'(6，6).（2） 如图1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延长线于H，连接BF'， 设DE=x， 利用平行线分线段成比例定理可得DM=ME= ，FM= ， 根据同角的余角相等可得∠HEF'=∠MFE，利用AAS判断△FME≌△EHF'，由全等三角形的对应边相等可得 HF'=ME= ，EH=FM=2， 根据正方形的对角线及对顶角的性质可得∠HDF'=∠BDC=45°，DH=HF'= ，根据EH=FM=2可得方程 ，解方程求出x，即可求出DE的长.（3）利用平行线分线段成比例定理可得 ，进而可得FM=4-4n，EM=x-xn，利用AAS判断△FME≌△EHF'，进而可得HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，根据对顶角相等可得 ，从中求出DH= ，根据EH=FM
列出方程，解方程求出x的值即为DE的长.
15.【答案】解：证明． 证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， ?= ， ∴ × × = × × =1 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
四、中考演练
16.【答案】
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示，
∵CD平分∠ACB，
∴ ，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝ x，
∴MN∥AE，
∴ ，
∴NE＝x，
∴BE＝BN＋EN＝ x，CE＝CN?EN＝ x，
由勾股定理得：AE2＝AB2?BE2＝AC2?CE2 ，
即52?（ x）2＝（2x）2?（ x）2 ，
解得：x＝ ，
∴AC＝2x＝ ；
故答案为： . 【分析】作AM⊥BC于E，如图所示，根据角平分线的性质定理得出， 设AC＝2x，则BC＝3x，根据中垂线的定义得出MN⊥BC，BN＝CN＝ x，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出， 故NE=x，在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解即可求出x的值，从而算出AC的长。www-2-1-cnjy-com
17.【答案】 （1） （2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝ x+4.
当x＝0时，y＝ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4.
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝ OB＝2.
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝ OA＝4.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE.
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝ ，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 .
②设点C的坐标为（x， +4），则CE＝|x|，CD＝| x+4|，
∴S△CDE＝ CD?CE＝|﹣ x2+2x|＝ ，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0.
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）.
【解析】【解答】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝ .
故答案为： 。
【分析】（1）将点A的坐标代入直线y＝kx+4（k≠0） 即可算出k的值，从而求出一次函数的解析式； （2） ① 根据直线与y轴交点的坐标特点，求出点B的坐标，从而得出OB的长度，根据中点的定义得出BE=OE=2，根据平行四边形的对边平行得出 CE∥DA， 根据平行线分线段成比例定理得出 ，所以点C是AB的中点， 进而根据三角形的中位线定理得出 CE＝ OA＝4， 在Rt△DOE中 ，利用勾股定理算出DE长，从而根据平行四边形周长的计算方法即可算出答案； ② 根据点的坐标与图形的性质设出点C的坐标，然后根据三角形的面积计算方法，由 △CDE的面积为 建立方程，求解即可得出x的值，从而求出点C的坐标。
18.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过O作 ，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又 ，
设 ，又 ，
，
故答案为：B．
【分析】如图，过O作 ，交AC于G，根据平行线分线段成比例可得出AD：DC=1:2，从而可得AD=DG=GC，AG：GC=2:1，AO：OE=2:1，由△AOB与△BOE同高，可得S△AOB：S△BOE=AO：OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE：FC的比.21教育名师原创作品
一、单选题
1.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角 ，窗户的高在教室地面上的影长 米，窗户的下檐到教室地面的距离 米（点 、 、 在同一直线上），则窗户的高 为（ ?）www.21-cn-jy.com
A.?米????????????????????????????????????B.?3米????????????????????????????????????C.?2米????????????????????????????????????D.?1.5米
2.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D为AB的中点，点E，F分别在线段AD，BC上，且BF＝2AE，连结EF交中线AD于点G，连结BG，设AE＝x（0＜x＜2），△BEG的面积为y，则y关于x的函数表达式是（?? ） 21*cnjy*com
A.?x2+ ????????B.?+ ????????C.?+ ????????D.?+
3.AD 是△ABC 的中线，E? 是 AD 上一点，AE= AD，BE 的延长线交 AC 于 F，则 的值为（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
4.如图，点 是平行四边形 的边 上一点，射线 交 的延长线于点 ，则下列结论错误的是（? ） 21教育网
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
5.如图，锐角△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG的周长为10，则△ABC的周长为（ ???）
A.?27???????????????????????????????????????B.?28???????????????????????????????????????C.?28-4???????????????????????????????????????D.?20+2
6.AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝ AD，BE的延长线交AC于F，则 的值为（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则 的值是（ ??）
A.??????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????
??C.??????????????????????????????????????????D.?
8.如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1 ， S2 ， （??? ）
A.?若 ，则 ?????????????????????????????B.?若 ，则 C.?若 ，则 ?????????????????????????????D.?若 ，则
二、填空题
9.如图所示是小明设计带矩形、菱形、正方形图案的一块具有轴对称美的瓷砖作品. 若 ， ，则矩形 的周长是________ .
10.如图，在 中，AD平分 ，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若 ， ， ，求BD的长是________．
11.在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为________. 21cnjy.com
12.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于________。
13.如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE= AB，CF= CB，AG= AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________． 2·1·c·n·j·y
三、解答题
14.正方形ABCD的边长为4，以B为原点建立如图1平面直角坐标系中，E是边CD上的一个动点，F是线段AE上一点，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EF'.
（1）如图2，当E是CD中点， 时，求点F'的坐标.
（2）如图1，若 ，且F'，D，B在同一直线上时，求DE的长.
（3）如图3，将正边形ABCD改为矩形，AD=4，AB=2，其他条件不变，若 ，且F'，D，B在同一直线上时，求DE的长(请用含n的代数式表示)
15.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）． 求证： ．
四、中考演练
16.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________.
17.在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B.
（1）k的值是________；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上.
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求?OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标.
18.如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （??? ）
A.?1：2????????????????????????????????????B.?1：3????????????????????????????????????C.?1：4????????????????????????????????????D.?2：3
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】∵BN∥AM
∴ ?
又∵ 米
∴BN=2米,CN= 米
∴CN:CM=BC:AC
∴ ?
解得：AC=3米
∴AB=AC?BC=2米,
故答案为：C
【分析】由题意知BN∥AM，根据平行线分线段成比例定理可得比例式CN:CM=BC:AC，由比例式可求得AC的长，则AB=AC-BC求解。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥AB，
∵AE＝x，BF＝2AE，
∴BF＝2x，
在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，
∴HB＝x，FH＝ ，
∵AB＝4，D为AB的中点，
∴DE＝2﹣x，DH＝2﹣x，
∴GD＝ ，
∴y＝
故答案为：B。
【分析】过点F作FH⊥AB，根据等边三角形的性质得出∠ABC=60°，在Rt△FBH中，根据含30°角的直角三角形的边之间用含x的式子表示出HB,FH的长，根据等腰三角形的三线合一及线段的和差表示出DE,DH的长，进而根据平行线分线段成比例定理用含x的式子表示出GD的长，进而根据三角形的面积计算方法即可建立出y与x的函数关系式。【版权所有：21教育】
3.【答案】 C
【解析】【解答】作DG∥AC交BF于G，如图，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵DG∥CF，
∴ = ，
∴FC=2DG，
∵DG∥AF，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】作DG∥AC交BF于G，根据三角形的中线，可证得BD=CD，再利用平行线分线段成比例定理，可求出FC=2DG，然后利用平行线分线段成比例可得AF与DG的数量关系，从而可求出AF与AC的比值。
4.【答案】 D
【解析】【解答】A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴ = ，故A不符合题意，选项不符合题意；
B、 = 正确，B选项不符合题意；
C、 = ，正确，故C不符合题意；
D、 = ，错误，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，再利用平行线分线段成比例，对各选项逐一判断，可得到结果。 ?
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ E,F分别是AB,AC中点,EF交AD于G, ∴EF∥BC，AF=AC=×6=3 ∵AD是高 ∴∠ADC=∠AGF=90° 在Rt△AGF中 AG= ∵EF∥BC ∴ ∴FG是△ADC的中位线 ∴DC=2GF=2 ∴DG=AG= ∵ △DEG的周长为10， ∴EG+DE=10- 在Rt△ADB中，点E是AB边的中点，点G是AD的中点， ∴AB=2DE，BD=2EG ∴AB+BD=2（EG+DE）=20- ∴△ABC的周长为：AB+BD+DC+AC=20-+2+6=28- 故答案为：C 【分析】利用三角形中位线定理可证EF∥BC，求出AF，利用勾股定理求出AG的长，即可求出DG的长，因此可求出EG+DE的值，再利用平行线分线段成比例定理及三角形的中位线定理求出DC的长，可证得AB+BD=2（EG+DE），就可求出AB+BD的值，然后求出△ABC的周长。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝ AD，
∴ ，
∴AF：FC＝1：6，
∴ 的值为 .
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到FH＝HC，， 从而得到的值.
7.【答案】 C
【解析】【解答】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN= a，
∴FM= a，
∵AE∥FM，
∴ ，
故答案为：C． 【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M，根据正方形的性质得出AB∥CD，∠D=90°，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ANFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形ANFD是矩形，AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，根据过三角形一边中点，且平行于另一边的直线一定平分第三边得出BM=ME，根据三角形的中位线定理得出MN= a，然后根据平行线分线段成比例定理得出， 从而得出答案。
8.【答案】D
【解析】【解答】解:如图，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M
∴DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2
∴
∵DE∥BC
∴
∴
∵若
∴设 =k＜0.5（0＜k＜0.5）
∴AE=AC?k，CE=AC-AE=AC（1-k)，h1=h2k
∵S1= AE?h1= AC?k?h1 ， S2= CE?h2= AC（1-k）h2
∴3S1= k2ACh2 ， 2S2=（1-K）?ACh2
∵0＜k＜0.5
∴ k2＜（1-K）
∴3S1＜2S2
故答案为：D
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BM⊥AC于点M，可得出DF∥BM，设DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据DE∥BC，可证得 ，若 ，设 =k＜0.5（0＜k＜0.5），再分别求出3S1和2S2 ， 根据k的取值范围，即可得出答案。21·世纪*教育网
二、填空题
9.【答案】
【解析】【解答】如图，作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，连接KT，作RQ⊥KT于Q，交EW于O.
由若S乙=2S甲 ， 可得EM=2EN，设EN=x，则AN=EM=2x，则有x2+（2x）2=102 ，
∴EN=2 AN=EM=4 ，
设OE=OQ=y，
∵WE∥KT，
,
,
,
∴四边形ABCD的周长= ,
故答案是： .
【分析】作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，连接KT，作RQ⊥KT于Q，交EW于O，由甲、乙两个三角形的面积的关系可得EM=2EN，设EN=x，则AN=EM=2x，在直角三角形ANE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，于是EN、AN=EM的值可求解；设OE=OQ=y，由平行线分线段成比例定理可得比例式， 根据比例式可求得y的值，则四边形ABCD的周长可求解。
10.【答案】
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AD，则AE=DE，FA=FD，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴△AEF为等腰三角形，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE=AF=4，DE∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴BD=
故答案为 ．
【分析】由作法可得MN垂直平分AD，AE=DE，FA=FD， 利用三角形全等（ASA）可判断△AEF为等腰三角形，根据四边相等可得四边形AEDF为菱形，进而可得DE∥AC，由平行线分线段成比例定理即可得出答案.
11.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH∥BC，
，
∵FG∥AC，
，
由①②可得x＝ ，y＝2，
∴AC＝ ，BC＝7，
∴S△ABC＝ ，
故答案为 .
【分析】设AH＝x，GB＝y，再利用平行线分线段成比例定理，由EH∥BC，FG∥AC，可得出对应线段成比例，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，从而可求出AC，BC的值，然后利用直角三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。
12.【答案】 2：3
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴=2， ∴AE=2BE，BE= 又DF∥CE， ∴， AF=2EF，又AF+EF=AE， ∴EF= ∴=。 故答案为：2：3。 【分析】根据平行线分线段成比例，分别得到EF、EB与AE的关系，即用AE表示出EF与EB，然后求出两者之比即可。
13.【答案】27
【解析】【解答】如图，在CD上截取一点H，使得CH= CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P， ∵AE= AB，AG= AD， ∴ ， ∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD， ∴EG∥FH，同法可证EF∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥EG， ∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形， ∵S△EFG=6， ∴S矩形EQOP=3，即OP?OQ=3， ∵OP：OA=BE：AB=2：3， ∴OA= OP，同法可证OB=3OQ， ∴S菱形ABCD= ?AC?BD= ×3OP×6OQ=9OP×OQ=27， 故答案为：27． 【分析】如图，在CD上截取一点H，使得CH=?CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P，根据平行线分线段成比例定理得逆用判断出EG∥BD，同法可证：FH∥BD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出EG∥FH，同法可证EF∥GF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的对角线互相平行及平行线的性质得出EF⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，根据矩形的性质，及平行线分线段成比例定理得出OA=?OP，同法可证OB=3OQ，根据菱形的面积等于两对角线积的一半，用整体代入即可算出答案。【出处：21教育名师】
三、解答题
14.【答案】 （1）解：如图2，作EM⊥AB于M， 交CD延长线于H，
∵E是CD中点，
∴四边形AMED是矩形，
∵∠AME=∠AEF'=∠MEH=∠H=90°，
∴∠AEM+∠AEH=90°，∠AEH+∠HEF'=90°，
∴∠AEM=∠HEF'，EA=EF'，
∴△AME≌△F'HE，
∴AM=F'H=2，EM=EH=4，
∴F'(6，6) （2）解：如图1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延长线于H，连接BF'，
设DE=x，
∵ ，
∴AF=EF，
∵FM∥AD，∴DM=ME= ，FM= ，
∠AEM+∠HEF'=90°，∠AEM+∠MFE=90°，
∴∠HEF'=∠MFE，
因为∠FME=∠HF'E=90°，EF=EF'，
∴△FME≌△EHF'，
∴HF'=ME= ，EH=FM=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HDF'=∠BDC=45°，
∴DH=HF'= ，
∴ ，
解得 ，
∴DE= （3）解：∵FM∥AD，∴ ，
∴FM=4-4n，EM=x-xn，
由（2）可知△FME≌△EHF'，
∴HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，
∵ ，
∴DH= ，
∴ ，
∴ ，
即 .
【解析】【分析】（1） 如图2，作EM⊥AB于M， 交CD延长线于H，利用同角的余角相等证出 ∠AEM=∠HEF'，根据AAS可判断△AME≌△F'HE，由全等三角形的对应边相等可得AM=F'H=2，EM=EH=4，进而求出F'(6，6).（2） 如图1，作FM⊥CD于M，F'H⊥CD交CD延长线于H，连接BF'， 设DE=x， 利用平行线分线段成比例定理可得DM=ME= ，FM= ， 根据同角的余角相等可得∠HEF'=∠MFE，利用AAS判断△FME≌△EHF'，由全等三角形的对应边相等可得 HF'=ME= ，EH=FM=2， 根据正方形的对角线及对顶角的性质可得∠HDF'=∠BDC=45°，DH=HF'= ，根据EH=FM=2可得方程 ，解方程求出x，即可求出DE的长.（3）利用平行线分线段成比例定理可得 ，进而可得FM=4-4n，EM=x-xn，利用AAS判断△FME≌△EHF'，进而可得HF'=EM=x-xn，EH=FM=4-4n，根据对顶角相等可得 ，从中求出DH= ，根据EH=FM
列出方程，解方程求出x的值即为DE的长.
15.【答案】解：证明． 证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知 = ， ?= ， ∴ × × = × × =1 【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】【分析】过B作BG∥EF，交AC于G，利用平行线分线段成比例，可得出对应相等成比例，然后根据等量代换，可证得结论。
四、中考演练
16.【答案】
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示，
∵CD平分∠ACB，
∴ ，
设AC＝2x，则BC＝3x，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝ x，
∴MN∥AE，
∴ ，
∴NE＝x，
∴BE＝BN＋EN＝ x，CE＝CN?EN＝ x，
由勾股定理得：AE2＝AB2?BE2＝AC2?CE2 ，
即52?（ x）2＝（2x）2?（ x）2 ，
解得：x＝ ，
∴AC＝2x＝ ；
故答案为： . 【分析】作AM⊥BC于E，如图所示，根据角平分线的性质定理得出， 设AC＝2x，则BC＝3x，根据中垂线的定义得出MN⊥BC，BN＝CN＝ x，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出， 故NE=x，在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解即可求出x的值，从而算出AC的长。www-2-1-cnjy-com
17.【答案】 （1） （2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝ x+4.
当x＝0时，y＝ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4.
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝ OB＝2.
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝ OA＝4.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE.
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝ ，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 .
②设点C的坐标为（x， +4），则CE＝|x|，CD＝| x+4|，
∴S△CDE＝ CD?CE＝|﹣ x2+2x|＝ ，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0.
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）.
【解析】【解答】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝ .
故答案为： 。
【分析】（1）将点A的坐标代入直线y＝kx+4（k≠0） 即可算出k的值，从而求出一次函数的解析式； （2） ① 根据直线与y轴交点的坐标特点，求出点B的坐标，从而得出OB的长度，根据中点的定义得出BE=OE=2，根据平行四边形的对边平行得出 CE∥DA， 根据平行线分线段成比例定理得出 ，所以点C是AB的中点， 进而根据三角形的中位线定理得出 CE＝ OA＝4， 在Rt△DOE中 ，利用勾股定理算出DE长，从而根据平行四边形周长的计算方法即可算出答案； ② 根据点的坐标与图形的性质设出点C的坐标，然后根据三角形的面积计算方法，由 △CDE的面积为 建立方程，求解即可得出x的值，从而求出点C的坐标。
18.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过O作 ，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又 ，
设 ，又 ，
，
故答案为：B．
【分析】如图，过O作 ，交AC于G，根据平行线分线段成比例可得出AD：DC=1:2，从而可得AD=DG=GC，AG：GC=2:1，AO：OE=2:1，由△AOB与△BOE同高，可得S△AOB：S△BOE=AO：OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE：FC的比.21教育名师原创作品
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