4.4 两个三角形相似的判定 第二课时 同步练习（解析版）

初中数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（2） 同步训练
一、单选题
1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是(?? ) 21教育网
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ? ?）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
3.如图，下列条件不能判定△ADB~△ABC的是(??? )
A.?∠ABD=∠ACB???????????????????B.?∠ADB=∠ABC???????????????????C.?AB2=AD·AC???????????????????D.?
4.如图所示，在△ABC中，∠B=70°，AB=4，BC=6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形相似的有(??? ). 21cnjy.com

? ?? ??
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5.如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC成立，则这个条件是（?? ）

A. B. C. D.
6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC如图1相似的三角形所在网格图形是(??? ) www.21-cn-jy.com
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
7.在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（?? ） 21·世纪*教育网
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
8.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C,D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ? ?） 2-1-c-n-j-y
A.?(6,5)??????????????????????????????????B.?(6，0)??????????????????????????????????C.?(6，4)??????????????????????????????????D.?(4，2)
二、填空题
9.如图，DE与BC不平行，当 ＝________时，△ABC与△AED相似．
10.如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是________．（只填一个即可）【出处：21教育名师】
11.如图，在 中，AC是BC、DC的比例中项，则 ∽________．
12.如图， ，BD=4，BC=5，则AC=________时,△ACD∽△BDC．
三、解答题
13.已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP∽△PDB．

14.如图，△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，到达点B时停止.点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，到达点C时停止.如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？ 21世纪教育网版权所有
15.如图，AB?AE=AD?AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
16.已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD= AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．21*cnjy*com
17.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动（到达点C即停止运动）。如果P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒。

（1）则：BQ=________cm：BP=________cm；（用含t的代数式表示）
（2）经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（3）经几秒钟△PBQ与△ABC相似?试说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
必须是夹角，但是 不一定等于 ?
故答案为：C. （1）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ADE∽△BDF； （2）同理可得△ADE∽△BDF； （3）不能判断两个三角形相似； （4）根据两组边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似可得△ABC∽△DBF，则∠A=∠BDF，然后根据两对角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△BDF.
2.【答案】 B
解析：解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B． 利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
3.【答案】 D
解析：解：∵图形中隐含条件为∠B=∠B ∵∠B=∠B， ∠ABD=∠ACB ∴ △ADB~△ABC，故A不符合题意； ∵∠B=∠B， ∠ADB=∠ABC ∴ △ADB~△ABC，故B不符合题意； ∵ AB2=AD·AC ，∠B=∠B ∴ △ADB~△ABC，故C不符合题意； ∵∠B=∠B， ， 不能证明△ADB~△ABC，故D符合题意； 故答案为：D
抓住图形中的隐含条件：∠B=∠B，因此可添加其它两组角中的任意一组角，可证△ADB~△ABC，可对A、B作出判断；再根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断，故可得出不能判定△ADB~△ABC的选项。
4.【答案】 C
解析：【解答】解：第一个图中：∵∠B=∠EDC， ∴DE∥AB， ∴△ABC∽△EDC； 第二个图中：两三角形中的对应边不成比例，故两三角形不相似； 第三个图中：∵∠B=∠DEC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△DEC； 第四个图中：∠B=∠B，∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠A=180°， ∴∠BDE=∠A ∴△ABC∽△DBE； 故答案为：C.
根据相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似；对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；逐一分析即可得出答案.
5.【答案】C
解析：解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
B、∵ = ，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
C、∵ = ，两线段的夹角∠D和∠B不知道相等，
∴不能说△ADE和△ABC相似，故本选项错误，即不正确；
D、∵∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
故答案为：C．
由∠1=∠2，可知∠DAE=∠BAC；A选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立；B选项中两组对应边成比例，且∠DAE与∠BAC正好是这两组对应边的夹角，所以能成立；C选项中也是两组对应边成比例，但∠DAE与∠BAC不是这两组对应边的夹角，所以不能成立；D选项中可以用两组对应角相等的三角形相似进行判定，所以能成立。
6.【答案】 C
解析：解：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= ，AC= = ，
∴ ，
∴△ABC为直角三角形，夹直角的两边的比为 = ，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C．
先观察图象得△ABC为直角三角形，且求出夹直角的两边的比，然后根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似“判断即可。
7.【答案】 C
解析：解：在三角形ABC中，AB=8，BC=4，AC=6 ∴在A选项中，≠， ∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似； 在B选项中，≠， ∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似； 在C选项中，==， ∴阴影部分三角形和三角形ABC相似； 在D选项中，≠， ∴阴影部分三角形和三角形ABC不相似。 故答案为：C。 根据三角形相似的判定定理进行判定即可，根据一个公共角推断对应边成比例进行判别即可。
8.【答案】 C
解析：解：∵A（1，7），B（1，1），C（4，1）， ∴AB=6，BC=3，∠ABC=90°， A.当E（6，5）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=4，CD=2，∠EDC=90°， ∴， ∠ABC=∠EDC， ∴△ABC∽△EDC， B.当E（6，0）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=1，CD=2，∠CDE=90°， ∴， ∠ABC=∠CDE， ∴△ABC∽△CDE， C.当E（6，4）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴DE=3，CD=2，∠EDC=90°， ∴≠， ∠ABC=∠EDC， ∴△ABC与△EDC不相似， D.当E（4，2）时， ∵D（6，1），C（4，1）， ∴CE=1，CD=2，∠ECD=90°， ∴， ∠ABC=∠DCE， ∴△ABC∽△DCE， 故答案为：C. 根据相似三角形的判定：对应边成比例及夹角相等的两个三角形相似；由此逐一分析即可得出答案.2·1·c·n·j·y
二、填空题
9.【答案】
解析：解：∵∠A=∠A，只要时，△ABC∽△AED，故答案为：.
根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，???????则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
10.【答案】6
解析：解:∵∠A=∠D=80°， ?= = ，
∴当 = ，即 = ，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
观察图形可知∠A=∠D，AB与DE之比为1：2，因此只需AC:DF=1：2，因此添加DF=2AC，即可证得△ABC∽△DEF。
11.【答案】△BAC
解析：解：由题意可知：BC:AC=AC:DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
由AC是BC、DC的比例中项，可证BC:AC=AC:DC，再由∠C=∠C，就可证得结论。
12.【答案】
解析：解: 在Rt△BDC中，∵BD=4，BC=5，
∴CD= =3，
∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴当AC:BD=BC:CD时,△ACB∽△BDC，
即AC:4=5:3，
∴AC= ，
即AC= 时,△ACB∽△BDC.
故答案为 .
先利用勾股定理求出CD的长，再根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得AC:BD=BC:CD，就可求出AC的长。
三、解答题
13.【答案】 证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴ .
∴△ACP∽△PDB.
解析：由等边三角形的各角相等、各边相等可得 ∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2 ，根据邻补角的意义可得 ∠ACP＝∠PDB＝120° ，由计算可得 ， 由“ 两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似”可求解。
14.【答案】 解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
则有AP=t，BQ=2t，BP=10-t
①当△BPQ∽△BAC时， 即 ，
解得：t=5,
②当△BPQ∽△BCA时，
= 即 = ，
解得：t=2,
综上所述，经过5秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似.
解析：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。用含t的代数式表示出线段AP、BQ、BP。在△PBQ与△ABC中，有一公共角∠B，根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等“可得，若使△PBQ与△ABC相似，只需或， 据此可解。
15.【答案】 证明：如图，∵AB?AE=AD?AC，
∴ = ．
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
解析：已知 AB?AE=AD?AC ，变形得 = 。又 ∠1=∠2 ，故 ∠BAC=∠DAE 。两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，故这两个三角形相似。
16.【答案】证明：∵AC=3，AB=5，AD= ，∴ ，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB
解析：根据两个对应边成比例以及它们的夹角相等，求证△ADE∽△ACB。
17.【答案】 （1）2t；(6-t)（2）解：∵S△PBQ=S△ABC ， ∴PB·BQ=×AB·BC，即(6-t)·2t=×6×8，整理得，t-6t+8=0，∴t1=2，t2=4，? 即经过2秒或4秒， △PBQ的面积等于△ABC的三分之一 。（3）解：∵∠B公共，∴当PB∶BQ=AB∶BC时，△PBQ∽△ABC，即(6-t)∶2t=6∶8，∴t=,或当PB∶BQ=CB∶BA时，△PBQ∽△CBA，即(6-t)∶2t=8∶6,?∴t=， 综上所述，经过秒或秒△PBQ与△ABC相似。
解析：（1）解：由题意得，AP=t，BQ=2t∴BQ=2tcm， BP=(6-t)cm。故答案为：2t；(6-t)。（1）根据点P、Q移动的速度及方向即可表示；（2）根据△PBQ的面积等于△ABC的三分之一 ，结合（1）的表示即可列出t的方程，据此即可解答；（3）由∠B是△PBQ与△ABC的公共角，根据相似三角形的判定方法可知，当这两个三角形夹∠B的边成比例时这两个三角形就相似，据此列出t的比例式即可解答。