4.5 相似三角形的性质及应用 第一课时 同步训练（解析版）

初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用（1） 同步训练
一、基础夯实
1.三角形的重心是三条（ ??）
A.?中线的交点????????????????????B.?角平分线的交点????????????????????C.?高线的交点????????????????????D.?垂线的交点
2.如图，已知点D是△ABC的重心，若AE＝4，则AC的长度为（??? ）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
3.过△ABC的重心G作GE∥BC交AC于点E，线段BC=12，线段GE长为(??? )
A.?4??????????????????????????????????????????B.?4．5??????????????????????????????????????????C.?6??????????????????????????????????????????D.?8
4.如图，若点G是△ABC的重心，GD∥BC，则 =________．
5.已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．
6.已知 是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为________．
7.如图所示，已知点G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm，BC=9cm，则△AGD的面积是________．

8.如图，已知点G为△ABc的重心，过点G作DE∥BC。交AB于点D，交AC于点E，若BC=15，则线段DE的长为________．2·1·c·n·j·y

9.如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=3，则点A到BC的距离为________．

二、强化提升
10.如图，△ABC中，G为重心，DF∥BC，则 =________.

11.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为?________???
12.如图，G为△ABC的重心，若EF过点G，且EF∥BC，交AB，AC于E，F，则 ＝________．【来源：21·世纪·教育·网】
13.如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=________.
14.已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则 =________． www-2-1-cnjy-com
15.如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n ，则 + =________．21*cnjy*com
16.在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 . 【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 21教育名师原创作品
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
答案解析部分
一、基础夯实
1.【答案】 A
解析：三角形的重心为三条中线的交点
故答案为：A 根据三角形重心的定义可选出答案。
2.【答案】B
解析：∵点D是△ABC的重心，
∴BE为AC边的中线，
∴AC=2AE=8．
故答案为：B
根据三角形重心的性质可求解。
3.【答案】 A
解析：解：如图， ∵点G是△ABC的重心 ∴AD为中线，AG=2GD， ∴BD=CD=BC=6，AG：AD=2:3 ∵GE∥BC， ∴△AGE∽△ADC， ∴, ∴ ∴GE=4 故答案为：A 由已知点G是△ABC的重心，就可证得AG：AD=2:3，求出CD的长，再由GE∥BC，可证△AGE∽△ADC，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出GE的长。
4.【答案】
解析：解：延长AG交BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∴BE=EC， ,
∵GD∥BC，
,又BE=EC，
. 重心：三角形三边中点与对角连线的交点。根据其性质，重心到顶点与到边的距离为2:1，故。根据平行线的性质，判定△AGD∽△AEC。对应边成比例，分析即可求出 。
5.【答案】4
解析：解：如图，D是BC边的中点， ∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．如图，D是BC边的中点，根据三角形重心的性质得出AG=2GD=8，即GD=4，
6.【答案】
解析：∵△ABC是等边三角形，AB= ，∴AD= ，∵点G是△ABC的重心，∴AG= AD= ．故答案为 .延长AG交BC于D，根据重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根据勾股定理求出AD，根据重心的概念计算即可．21教育网
7.【答案】 9cm2
解析：∵G为直角△ABC的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∴S△AGD= S△ABD= ? S△ABC= S△ABC ，
而S△ABC= AB×BC=54，
∴S△AGD=9cm2
故答案为：9cm2
根据已知G为直角△ABC的重心，可证BG=2GD，AD=DC，再证明S△AGD= S△ABC ， 然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，就可得到△AGD的面积。21*cnjy*com
8.【答案】10
解析：解：连接AG，并延长AG交BC于点F ∵点G是△ABC的重心∴∵DE∥BC∴∴解之：DE=10故答案为：10连接AG，并延长AG交BC于点F，利用三角形重心的定义，可证得， 再根据平行线分线段成比例，证明， 就可求出DE的长。
9.【答案】9
解析：解：
设BC的中线是AD，BC的高是AE，
由重心性质可知：
AD：GD=3：1，
∵GH⊥BC，
∴△ADE∽△GDH，
∴AD：GD=AE：GH=3：1，
∴AE=3GH=3×3=9，
故答案为9．
设BC的中线是AD，BC的高是AE，由重心性质可知：AD：GD=3：1，由垂直于同一条直线的两条直线平行可判定△ADE∽△GDH，再根据相似三角形的性质即可求出AE的长。
二、强化提升
10.【答案】
解析：解：∵点G是重心 ∴， 点D为AC的中点 ∴AC=2AD ∵DF∥BC ∴ 设FG为x，则EG=2x，AG=2EG=2×2x=4x ∴AE=AG+EG=4x+2x=6x ∴ 故答案为：21·cn·jy·com
根据重心的定义，可知， 点D为AC的中点，利用平行线分线段成比例定理，可证， 设FG为x，则EG=2x，AG=4x，AE=6x，然后求出FG与AE的比值。
11.【答案】 12
解析：解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
12.【答案】
解析：如图，连接AG并延长，交BC于点P. ∵G为△ABC的重心，∴AG=2GP，∴AG:AP=2:3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF:AC=AG:AP=2:3.又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，?
故答案为：
连接AG并延长，交BC于点P。由重心和比例的性质可求得AG:AP=2:3，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△AGF∽△APC，△AEF∽△ABC，于是可得比例式求解。
13.【答案】 12
解析：解：如图：延长AG交BC于点D .∵点G是△ABC的重心，AG=4，∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，∴BC=2AD=12. 故答案为：12. 本题主要考查的是三角形的重心.延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解。
14.【答案】1
解析：解:如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，
则有 = ， = ，
两式相加 ，
又平行四边形BCKG中，PM= （BG+CK），而由P为重心得AP=2PM，
故 ．
故答案为：1．
分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，就可得出，，将两比例式相加，再由PM= （BG+CK）及AP=2PM，就可求出结果。www.21-cn-jy.com
15.【答案】1
解析：解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF， ∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线，∴BE＋CF＝2MD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴ ， .∵M是△ABC的重心，∴AM＝2DE.∴ ＝1.故答案为1.根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案。【版权所有：21教育】
16.【答案】 （1）证明： 是△ 重心
,??
又 ∥ ,
, ,????
则 （2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
?
又
而 是 的中点，即
又
结论成立（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ,
点 在 的延长线上时， ,
,则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
解析：（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。 （2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。 （3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ， 结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。21·世纪*教育网