4.5 相似三角形的性质及应用 第二课时 同步练习（解析版）

初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用（2） 同步训练
一、基础夯实
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、 的面积分别为 、 ，则 的值为（?? ）21·世纪*教育网
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2.如图，在 中， ， 分别是边 ， 上的点， ， ，下列结论中错误的是（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
3.已知两个相似三角形的对应边之比为1：3，则它们的周长比为（?? ）
A.?1：9????????????????????????????????????B.?9：1????????????????????????????????????C.?1：6????????????????????????????????????D.?1：3
4.D,E是△ABC的边AB、AC的中点，△ABC、△ADE的面积分别为S、S1 ， 则下列结论中，错误的是（?? ）
A.?DE∥BC???????????????????????????B.?DE= BC???????????????????????????C.?S1= S???????????????????????????D.?S1= S
5.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC， ＝ ，则 ＝________．

6.如图所示，在矩形ABCD中，点F是 BC的中点，DF的延长线与AB的延长线相交于点E，DE与AC相交于点O，若 ，则 （?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
7.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（?? ） 【版权所有：21教育】
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
8.如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE:S△CDE＝1:3，则S△BDE:S四边形DECA的值为________.
9.如图，在△ABC中，点O是三角形的重心，连接DE．下列结论：① ；② ；③S△DOE：S△BOC＝1：2；④S△DOE：S△BOE＝1：2．其中正确的个数有（　　） 21世纪教育网版权所有

A.?1 个?????????????????????????????????????B.?2 个?????????????????????????????????????C.?3 个?????????????????????????????????????D.?4 个
二、中考演练
10.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（??? ）
A.?3：5???????????????????????????????????B.?9：25???????????????????????????????????C.?5：3???????????????????????????????????D.?25：9
11.下列命题是真命题的是（?? ）
A.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3；B.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9；C.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3；D.?如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.
12.如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
13.若 ，相似比为 ，则 与 的周长的比为（??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
14.如图?ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（??? ）
A.?2：3????????????????????????????????????B.?3：2????????????????????????????????????C.?9：4????????????????????????????????????D.?4：9
15.如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?
三、强化提升
16.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC和BD交于点O，记S△AOD为S1 ， S△AOB为S2 ， S△BOC为S3 ， 则下列关于比例中项的描述正确的是（????? ）
A.?S2是S1和S3的比例中项???????????????????????????????????????B.?S1是S2和S3的比例中项C.?S3是S1和S2的比例中项???????????????????????????????????????D.?不存在比例中项
17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且AD=3，DB=2，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，将△ADE沿着DE折叠，得△MDE，与边BC分别交于点F，G.若△ABC的面积为15，则△MFG的面积是(?? )
A.?0.5????????????????????????????????????????B.?0.6????????????????????????????????????????C.?0.8????????????????????????????????????????D.?1.2
18.在平行四边形ABCD中，点F是BC的中点，AF与BD交于点E，则 与四边形EFCD的面积之比是（?? ） 2-1-c-n-j-y

A.?1:2???????????????????????????????????????B.?? 2:4???????????????????????????????????????C.?2:5???????????????????????????????????????D.?1:3
19.如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为 FH，点C落在Q处，EQ 与BC 交于点G，则△EBG的周长是 ________cm． 【来源：21·世纪·教育·网】
20.如图，已知 是 斜边 上的中线，过点 作 的平行线，过点 作 的垂线，两线相交于点 . www-2-1-cnjy-com
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
答案解析部分
一、基础夯实
1.【答案】 C
解析：解：∵ AD=2，DB=1 ， ∴AB=AD+BD=3, ∵ DE∥BC , ∴ △ADE ∽△ABC， ∴, 即; 故答案为：C. 首先根据线段的和差算出AB，然后根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE ∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。
2.【答案】 B
解析：解：∵DE∥BC，BD=2AD，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ， ，
∴A、C、D不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，于是结合已知可得比例式， 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得， 由比例的性质可得， 由相似三角形的对应边的比相等可得。21教育名师原创作品
3.【答案】 D
解析：∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴两个相似三角形的周长之比为1：3，
故答案为：D．
根据相似三角形的对应边之比和周长的比都等于相似比可求解。
4.【答案】 D
解析：∵D、E是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∵DE∥BC，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即S1= S，
∴D符合题意，
故答案为：D．
根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，DE= BC，根据平行线可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积比等于相似比，可得S1=S，据此选择即可.21*cnjy*com
5.【答案】
解析：解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
先由DE∥BC得△ADE∽△ABC，再由“相似三角形的周长比等于相似比”这一性质可得结论。
6.【答案】 C
解析：∵矩形ABCD，∴AE∥CD，△AOE∽△COD， 又∵点F是BC的中点，∴BF=CF，△BEF≌△CDF， ∴BE=CD=AB，AE=2CD ∴ 即， ∴S△AOE=8。 故答案为：C。 由矩形的对边平行可判断△AOE与△COD相似，所以它们的面积比等于相似比的平方，计算即得。【出处：21教育名师】
7.【答案】 C
解析：解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ．
∵S△ACD＝1，
∴S△ABC＝4，S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝3．
故答案为：C
根据题意可以证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC的面积，则S△BCD=S△ABC-S△ACD。
8.【答案】 1:15
解析：∵S△BDE:S△CDE=1:3，
∴BE:EC=1:3，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴S△BDE:S△BCA=（ ）2=1:16，
∴S△BDE:S四边形DECA=1:15，
故答案为:1:15.
因为S△BDE=BE.h，S△CDE=CE.h，结合已知可得BE:EC=1:3，根据平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）所得的三角形与原三角形相似可得△BED∽△BCA，于是可得S△BDE:S△BCA=（ ）2 ， 由比例的性质即可求解。
9.【答案】 B
解析：∵点O是三角形的重心，
∴E、D分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
∴ ，①错误；
，②正确；
S△DOE：S△BOC=1：4，③错误；
S△DOE：S△BOE=1：2，④正确；
故答案为：B．
根据重心的定义得出E、D分别是AB、AC的中点，根据三角形的中位线定理得出DE∥BC，DE= BC，根据平行线分线段成比例定理得出 ,①错误；②正确；根据同高三角形的面积之比等于其底之比得出S△DOE：S△BOE=1：2，④正确；根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△DOE∽△BOC ， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△DOE：S△BOC=1：4，③错误,综上所述即可得出答案。21教育网
二、中考演练
10.【答案】 C
解析：解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
11.【答案】 B
解析：解： A：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，故此答案错误，不符合题意； B：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9， 故此答案正确，符合题意； C：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81， 故此答案错误，不符合题意； D：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误，不符合题意。 故答案为：B。 根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可一一判断得出答案。
12.【答案】 C
解析：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
故答案为：C．
根据两角分别相等可证△ACD∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△BCA=4S△ACD=4a，从而求出△ABD的面积.21cnjy.com
13.【答案】 B
解析： ，相似比为 ，
与 的周长的比为 .
故答案为：B.
利用相似三角形的周长比等于相似比。就可得出结果。
14.【答案】 D
解析：解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ， 由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
15.【答案】 B
解析： 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故答案为： ．
仔细分析题意容易得到， ， 根据相似三角形的判定可得， 根据相似三角形的性质可以得到， 由此可得到答案。
三、强化提升
16.【答案】 A
解析：解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∵ S△AOD=S1 ， S△AOB=S2 ， S△BOC=S3 ， ∴， 设点B到AC的距离为h， 又∵， ∴， 即S22=S1·S3 ， ∴ S2是S1和S3的比例中项. 故答案为：A. 由平行线可得△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得， 由三角形面积公式得， 代入即可得出答案. ?21·cn·jy·com
17.【答案】 B
解析：连接AM，
分别交DE、BC于H、I点.根据折叠的性质可得;DE垂直平分AM，AH=HM
∵DE∥BC
∴AI⊥BC，△ADE~△ABC
∴ ，
∴ ，
∵DE∥BC
∴ △FMG ~△MDE
∴
∵
∴
?
故答案为：B
连接AM，分别交DE、BC于H、I点.根据折叠DE垂直平分AM.根据平行可证△ADE~△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，可得， ,从而可得.根据平行可证△FMG~△MDE，即得， 可得， 从而求出△MFG的面积.2·1·c·n·j·y
18.【答案】 C
解析：解：设S△BEF=a, ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△ADE∽△FBE， ∵ 点F是BC的中点 ， ∴BF=BC=AD ,∴=2, ∴S△ABE=2a，, ∴S△ADE=4a, ∴S△BCD=S△ABD=2a+4a=6a，S 四边形EFCD =S△BCD-S△BEF=5a, ∴ 与四边形EFCD的面积之比 为：2a:5a=2:5; 故答案为：C。 设S△BEF=a,根据平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC,AD=BC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例得出=2,根据同高三角形的面积之比等于底之比得出S△ABE=2a，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出S△ADE=4a,进而得出S△BCD=S△ABD=2a+4a=6a，S 四边形EFCD =S△BCD-S△BEF=5a,从而即可得出答案。21*cnjy*com
19.【答案】 12
解析：由翻折的性质得，DF=EF， 设EF=x，则AF=6-x， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE=×6=3， 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2 ， 即32+（6-x）2=x2 ， 解得x=， ∴AF=6-=， △AEF的周长=3++=9 ∵∠FEG=∠D=90°， ∴∠AEF+∠BEG=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠BEG， 又∵∠A=∠B=90°， ∴△AEF∽△BGE， ∴, △EBG的周长 =12。 故答案为：12。 由翻折的性质可判断DF=EF，设出EF后，利用勾股定理可求出在Rt△AEF中EF与AF长，再根据“一线三等角”可判断出△AEF与△EBG相似，利用相似三角形的周长比等于相似比即可求出△EBG的周长。www.21-cn-jy.com
20.【答案】 （1）证明：∵ 为 斜边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
（2）解：在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ 为 斜边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
解析：（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB，根据等边对等角可得∠A=∠ACD，再由平行线的性质可得∠CDE=∠ACD=∠A，于是根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DEC； （2）在直角三角形DCE中，用勾股定理可求得DE的长，根据S△DEC=CD.CE可求得三角形的面积；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，由（1）知，△ABC∽△DEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得,把AB、DE、S△DEC的值的代入计算即可求解。