4.5 相似三角形的性质及应用 第三课时 同步练习（解析版）

初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用（3） 同步训练
一、基础夯实
1.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（????? ） www.21-cn-jy.com
A.?0.5m??????????????????????????????????B.?0.55m??????????????????????????????????C.?0.6m??????????????????????????????????D.?2.2m
2.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为(?? )
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?11m???????????????????????????????????D.?
3.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为________尺．

4.小明家的客厅有一张直径BC为1.2米，高0.8米的圆桌，在距地面2米的A处有一盏灯，BC的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0)，则点E的坐标是________?。
5.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ??） 2·1·c·n·j·y

A.?24m????????????????????????????????????B.?22m????????????????????????????????????C.?20m????????????????????????????????????D.?18m
6.如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须测量M、N两点之间的直线距离．选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离． 21·世纪*教育网

7.如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下1.6m宽的亮区DE? ， 已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=3.6m，窗高AB=1.2m，那么窗口底边离地面的高度BC=________m．
8.如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（?? ）?
www-2-1-cnjy-com
A.?3倍?????????????????????????????B.?不知AB的长度，无法计算?????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
9.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则击球的高度h为________.
10.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。21*cnjy*com
二、强化提升
11.为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是________；
（2）在下图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；
（4）写出求树高的算式：AB＝________?m．
12.一块直角三角形的木板，它的一条直角边AC长为1.5米，面积为1.5平方米.现在要把它加工成一个正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图（ⅰ）、（ⅱ）所示，记两个正方形面积分别为S1、S2 ， 请通过计算比较S1与S2的大小. 21·cn·jy·com
13.如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，身高为1.6m，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度越来越________（用“长”或“短”填空）；请你在图中分别画出小亮站在B处、D处的影子；
（2）当小亮离开灯杆的距离OB＝3.6m时，小亮的影长为1.2m，灯杆的高度为多少m？
（3）当小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，小亮的影长变为多少m？
14.如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
15.如图是一个常见铁夹的侧面示意图， ， 表示铁夹的两个面， 是轴， 于点 ，已知 ， ， ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出 、 两点间的距离．
16.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.
（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）作出函数的大致图象.
17.如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2 ?m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.21世纪教育网版权所有
（1）此时两人相距多少米(DE的长)?
（2）张华追赶王刚的速度是多少?
答案解析部分
一、基础夯实
1.【答案】 A
解析：根据题意可得： ，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m.
故答案为：A
根据物高：影长可得比例式求解。
2.【答案】 A
解析：如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A. 如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得， 设AB＝x米,代入对应数据，求出x值即可.
3.【答案】 57.5
解析：如图，AB与BC交于点F，
由题意得△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5.
如图，设AB与BC交于点F，根据平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，由相似三角形的对应边成比例可得AB:AD=BF:DE，从中求出AD,j进而可求BD的长，即井深
4.【答案】 （4，0）
解析：解：由题意得，OA=2米，OD=2米 △ABC中BC边上的高为2-0.8=1.2米，△ADE中DE边上的高为2米， ∵BC∥DE，BC=1.2米， ∴△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DE=2米， ∴OE=OD+DE=4米， ∴E（4,0） 故答案为：（4,0） 根据平行线可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应高的比等于相似比，可得， 从而求出DE的长，即得OE的长，从而求出点E的坐标.
5.【答案】 A
解析：解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
6.【答案】 解：在△ABC与△AMN中， ， = ，∴ ，又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AMN，∴ ，即 ，
解得：MN=1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
解析：根据两组对边成比例且夹角的两个三角形相似，可得 △ABC∽△AMN，利用相似三角形对应边成比例可得 ? ， 代入数据即可求出MN的长.
7.【答案】1.5
解析：解：∵光是沿直线传播的，∴BD∥AE? ，∴△CBD∽△CAE? ，∴ ，即 ，解得BC=1.5m．故答案为：1.5将实际问题转化为数学问题，可得出BD∥AE ，可证得△CBD∽△CAE? 利用相似三角形的性质可得出对应边成比例，就可求出BC的长。21教育网
8.【答案】C
解析：解：如图，作OM⊥AB? ， ON⊥ ，
∵AB∥ A ′ B ′ ，∴△OAB∽△ ，
∴ ，
即 ，
∴ = AB ．
故答案为：C．
如图，作OM⊥AB ，ON⊥A ′B ′ ， 根据已知易证△OAB∽△ OA′B ′，再利用相似三角形的性质，得出相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，可可得结论。
9.【答案】1.4m
解析：如图，
由题意得：△ABC∽△ADE，
∴ = ,
∴ = ，
h=1.4m
由题意可得BC∥DE，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，可得比例式求解。
10.【答案】解：40cm=0.4m，8cm=0.08m
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：DE=AG：AF，
∴0.08：DE=0.4：200，
∴DE=40m．
答：敌方建筑物高40m．
解析： 根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比可得BC：DE=AG：AF，将已知条件代入比例式计算即可求解。
二、强化提升
11.【答案】 （1）解：镜子，皮尺（2）解：测量方案示意图：
（3）解：EA（镜子离树的距离）＝a，EC（人离镜子的距离）＝b，DC（目高）＝c（4）
解析：解：（4）根据相似三角形的性质；可得： ＝ ；即AB＝ ．
故答案为： . 【分析】（1）通过设计方案可选择测量工具； （2）设计出利用相似形的知识来测量树的高度； （3）通过相似形的性质写出表达式可表示出树高； （4）根据相似性的性质即可写出曙光的计算式。
12.【答案】 解:由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2 ， 可得BC=2m.
如图（1），设加工桌面的边长为xm,由DE∥CB,得: ,即 .
解得:x= m
如图（2），设加工桌面的边长为ym,过点C作CE⊥AB,分别交MN、AB于点D、E,由AC=1.5m,BC=2m,△ABC的面积为1.5m2 ， 可得AB=2.5m,CE=1.2m,由MN∥AB,得: ,即 .解得:y= m
因为x>y>0,故x2>y2 ， 即S1>S2
解析：由相似三角形的性质“相似三角形的对应边成比例、相似三角形的对应高的比等于相似比”即可求解.
13.【答案】 （1）短（2）解：先设OP＝xm，则当OB＝3.6m时，BE＝1.2m，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴x＝6.4，
所以灯杆的高度为6.4m。（3）解：当OD＝6m时，设小亮的影长是ym，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝2．
即小亮的影长是2m。
解析：解：（1）因为光是沿直线传播的，所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示，BE即为所求；
故答案为：短。 （1）根据光是沿直线传播的，可得出小亮的影子靠近O点时越来越短。 （2）根据对应边成比例，可设出OP为x，求出x的数值。 （3）根据题意，利用对应边成比例，解出y的值，得出小亮的影长。
14.【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；故经过4或 秒，两个三角形相似．
解析：用x表示边长，考虑对应边的两种情况，通过对应边成比例，求出x的值。
15.【答案】解：作出示意图，连接 ，同时连接 并延长交 于 ，
因为夹子是轴对称图形，故 是对称轴，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
即 ，∴ ，
∴
解析：根据题意画出图形，连接 AB ，同时连接 OC 并延长交AB于E，由轴对称的性质可得OE ⊥ AB ， AE = BE ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△OCD∽Rt△OAE，可得比例式，其中OC可用勾股定理求出，再将已知条件代入计算即可求解。
16.【答案】（1）解：如图 ①：作CO⊥AB于O，
①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，
∵MA'⊥AB，CO⊥AB，∴△MC'A'∽△CC'O，∴，即 = ,
∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数)，②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m解析：（1）如图 ①：作CO⊥AB于O，
①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'；根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.
17.【答案】（1）解：在Rt△ABC中：∵AB=40，BC=30，∴AC=50 m.
由题意可得DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴ = ，即 = .解得DE= ?m.
答：此时两人相距 ?m.（2）解：在Rt△BDE中：∵DB=2，DE=，∴BE=2 m.
∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m.
∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s).
∴张华用的时间为14-4=10(s)，∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）,∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）.答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.【来源：21cnj*y.co*m】
解析：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.【版权所有：21教育】
（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间，再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.