第4章 相似三角形 章末检测（解析版）
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文档简介
初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形 章末检测
一、单选题
1.在下列图形中，不是位似图形的是（ ??）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.若 ，则 的值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.已知 = ，那么下列等式中不一定正确的是（ ??）
A.?2x="5y"??????????????????????B.?= ??????????????????????C.?= ??????????????????????D.?=
4.如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
5.在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上，若BC＝8cm，AD＝6cm，且PN＝2PQ，则矩形PQMN的周长为（??? ） 21世纪教育网版权所有
A.?14.4cm??????????????????????????????B.?7.2cm??????????????????????????????C.?11.52cm??????????????????????????????D.?12.4cm
6.已知△ABC~△DEF，S△ABC：S△DEF=9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?54
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（? ??）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
8.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片.根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（?? ） 21cnjy.com
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（?? ）www.21-cn-jy.com
A.?2：3????????????????????????????????????B.?3：2????????????????????????????????????C.?6：4????????????????????????????????????D.?9：4
10.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ??）2·1·c·n·j·y
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
二、填空题
11.如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n ，则 + =________． 21·cn·jy·com
12.若x是3和6的比例中项，则x＝________.
13.如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是________cm. 【来源：21·世纪·教育·网】
14.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________. 21·世纪*教育网
15.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是________． 【版权所有：21教育】
16.李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3.当m＝ 时，n＝________. 21*cnjy*com
三、解答题
17.如图，一位测量人员要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使 ，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距高吗?若能，请你帮他算出来：若不能，请你帮他设计一个可行方案。
18.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF． www-2-1-cnjy-com
19.如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
20.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
21.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
22.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ， 点C1的坐标是________；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2 ， 使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________；（画出图形）
（3）△A2B2C2的面积是________平方单位．
23.如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．
（1）当t=4时，求△PBQ的面积；
（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？
（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似．
24.在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分.敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示.
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案. 21*cnjy*com
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解析：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形，
故答案为：D．
对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，
2.【答案】 C
解析：解：由 可得6b=3a-b，即7b=3a，即 = ，
故答案为：C
根据比例的基本性质进行变形即可得出结论。
3.【答案】 D
解析：∵ = ，
∴2x=5y， ， ，
∴A、B、C不符合题意，D不一定正确；
故答案为：D
（1）由两内项之积等于两外项之积可得2x=5y； （2）把x=y代入计算即可得; (3)把x=y代入计算即可得; (4)把x=y代入计算即可得.
4.【答案】 C
解析：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C ．
根据平行线分线段成比例定理，可得， 代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.
5.【答案】 A
解析：解：由题意得PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB
∴ + ＝ + ＝ ＝ ＝1，
又∵PN＝2PQ，BC＝8cm，AD＝6cm，
∴ + ＝1，
∴PQ＝2.4
则PN＝4.8，
∴矩形PQMN的周长＝14.4cm
故答案为：A.
根据题意可得出PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB，可列式计算出PQ、PN的长度，计算出矩形的周长。
6.【答案】 C
解析：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=9，
∴△ABC与△DEF的周长比为3，
∵△ABC的周长为18，
∴△DEF的周长为6．
故答案为：C．
根据相似三角形的周长比等于面积比的算术平方根，就可的两相似三角形的周长比，再由△ABC的周长为18，就可得出△DEF的长。
7.【答案】 A
解析：△ABC三边长分别为：2、、， 选项A中三边长分别为：、1、， 因为， 所以两个三角形相似。 故答案为：A。 分别写出各个三角形三边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似即可进行判断。
8.【答案】 D
解析：解：如图，
设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1 ， S2 ， S3和S，
过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，
∴S△DFH=S3 ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，
∴ = ，
∵S△ABC=14，
∴S1= ×14，
∴S△BDH：S=（ ×4）：3=2：3，
∴S△BDH= S，
∴ +S=14- ×14，
∴S= .
故答案为：D.
设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1 ， S2 ， S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，根据平行四边形的对边平行得出DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 = ，从而即可求出S1的值，进而根据平行线的性质及图形的面积计算方法得出S△BDH= S，最后根据△BDH的面积+平行四边形DECH的面积=△ABC的面积-△ADE的面积，列出方程求解即可。2-1-c-n-j-y
9.【答案】D
解析：解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故答案为：D
利用相似多边形的对应边上的高之比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，可求解。
10.【答案】 D
解析：解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE= （a+1），
∴点B的横坐标是：﹣ （a+1）﹣1=﹣ （a+3）．
故答案为：D．
利用位似图形的作法，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍即可，由点B的对应点B′的横坐标是a，可得出FO、CF、CE的长，因此可得出点B的横坐标。
二、填空题
11.【答案】1
解析：解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF， ∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线， ∴BE＋CF＝2MD， ∵BE∥AD，CF∥AD，∴ ， . ∵M是△ABC的重心，∴AM＝2DE. ∴ ＝1. 故答案为1. 根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案。
12.【答案】
解析：解：∵x是3和6的比例中项，
∴x2＝3×6＝18，
解得x＝±3 .
故答案为：±3 . 根据比例中项的意义可得关于x的方程，x2＝3×6，解方程即可求解。
13.【答案】 20
解析：解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，
∴大三角形的周长：小三角形的周长是3：5，
∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷ =20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm． 根据相似三角形的性质，面积比为相似比的平方，即得相似比，从而求出大三角形对应边上的中线长。
14.【答案】1.2或3
解析：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6， ∴BD=10，∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上， 如图1，当DP=DA=8时，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 综上，PE的长为1.2或3， 故答案为：1.2或3 利用矩形的性质，求出BD的长，再利用相似三角形的性质，证得∠PBE=∠DBC，分情况讨论：如图1，当DP=DA=8时，BP=2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点。分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，分别建立方程求出PE的长。
15.【答案】3≤AP＜4
解析：解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E， 则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F， 则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4． 如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，根据两组角对应相等的两个三角形相似，得出△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，根据相似三角形对应边成比例得出CB2=CP×CA，即22=CP×4，故CP=1，AP=3，此时，3≤AP＜4；综上所述即可得出答案。
16.【答案】
解析：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，
∴PD＝PE＝DE＝1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，
∴PF＝ ，
∴△PFM∽△PON，
∵m＝ ，
∴FM＝ ﹣ ，
∴ ，即 ＝ ，
解得：ON＝4﹣2 .
故答案为：4﹣2 . 根据等边三角形的性质可得PD＝PE＝DE＝1，利用轴对称的性质可得PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，利用直角三角形的性质求出PF的长，根据平行线的性质可证△PFM∽△PON，利用相似三角形的对应边成比例可求出ON的长.
三、解答题
17.【答案】 解：∵， ∠DOE=∠BOA， ∴△DOE∽△BOA， ∴， ∵ DE=37.2 ∴, ∴AB=111.6. 答： A、B之间的距离为111.6米.
解析：先根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证△DOE∽△BOA，利用相似三角形的对应边成比例可得， 从而求出AB的长，从而得出答案.
18.【答案】解：∵AB∥CD， ∴ ， ∴ ， ∵AB∥EF， ∴ ， 即 ， 解得EF=4cm
解析：由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
19.【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形． ∵AD=BC，DE=AB， ∴ = = ﹣1= = ． ∴矩形ABFE是黄金矩形
解析：只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．
20.【答案】解: 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
解析：根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
21.【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x， （ 1 ）当CP与CA是对应边时， ， 即 ， 解得x=4秒； （ 2 ）当CP与BC是对应边时， ， 即 ， 解得x= 秒； 故经过4或 秒，两个三角形相似
解析：【分析】由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
22.【答案】 （1）（2，-2） （2）（1，0） （3）10
解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（ 2 ）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）；
（ 3 ）△A2B2C2的面积 ×（2+4）×6﹣ ×2×4﹣ ×2×4=10，
故答案为：10
（1）因为三角形向下平移4个单位长度，所以由平移的性质可将A、B、C的纵坐标分别减4即可求得A1B1C1的坐标； （2）根据位似的性质即可求解； （3）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
23.【答案】 （1）解：当 时，AP=2，BQ=4，PB=4，∴ （ ） （2）解：∵AP= ，BQ= ，PB= ，∴ =
= ，∴当 =3时， 有最小值27
（3）解：∵△PQB、△ABC是直角三角形，∴由 ，即 ，解得 ，由 ，即 ，解得 ，∴当 或 时，△PQB与△ABC相似．
解析：（1）根据路程等于速度乘以时间得出： AP=2，BQ=4，进而根据线段的和差得出PB=4，然后根据 即可算出答案； （2）根据路程等于速度乘以时间得出 AP= ，BQ= ，进而根据线段的和差得出PB= ， 根据 = S△ABC-S△BPQ=即可建立出S与t的函数关系式，再根据所得函数的性质即可解决问题； （3）由于 △PQB、△ABC是直角三角形 ，故只要夹直角的两条直角边对应成比例即可得出两三角形相似，故需要分：① ，② 两种情况建立方程，求解即可求出t的值，从而得出答案。
24.【答案】 （1）解：设敏敏的影长为x公分.
由题意： = ，
解得x=100（公分），
经检验：x=100是分式方程的解.
∴敏敏的影长为100公分. （2）解：如图，连接AE，作FB∥EA.
∵AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF=150公分，
设BC=y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分.
∴ = ，
∴y=180（公分），
∴AC=AB+BC=150+180=330（公分），
答：高图柱的高度为330公分
解析：（1）根据同一时刻、同一地点、同一平面内不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可； （2）如图，连接AE，作FB∥EA．首先判断出 四边形ABFE是平行四边形， 根据平行四边形的对边相等得出 AB=EF=150公分， 根据同一时刻、同一地点、同一平面内不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可。 ?【来源：21cnj*y.co*m】
一、单选题
1.在下列图形中，不是位似图形的是（ ??）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
2.若 ，则 的值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.已知 = ，那么下列等式中不一定正确的是（ ??）
A.?2x="5y"??????????????????????B.?= ??????????????????????C.?= ??????????????????????D.?=
4.如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
5.在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上，若BC＝8cm，AD＝6cm，且PN＝2PQ，则矩形PQMN的周长为（??? ） 21世纪教育网版权所有
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6.已知△ABC~△DEF，S△ABC：S△DEF=9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?54
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（? ??）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
8.如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片.根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（?? ） 21cnjy.com
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9.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（?? ）www.21-cn-jy.com
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10.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ??）2·1·c·n·j·y
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
二、填空题
11.如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n ，则 + =________． 21·cn·jy·com
12.若x是3和6的比例中项，则x＝________.
13.如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是________cm. 【来源：21·世纪·教育·网】
14.矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数________. 21·世纪*教育网
15.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是________． 【版权所有：21教育】
16.李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3.当m＝ 时，n＝________. 21*cnjy*com
三、解答题
17.如图，一位测量人员要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使 ，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距高吗?若能，请你帮他算出来：若不能，请你帮他设计一个可行方案。
18.如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF． www-2-1-cnjy-com
19.如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
20.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB＝20米，AD＝30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？请说明理由．
21.如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
22.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1 ， 点C1的坐标是________；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2 ， 使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________；（画出图形）
（3）△A2B2C2的面积是________平方单位．
23.如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．
（1）当t=4时，求△PBQ的面积；
（2）当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？
（3）当t为多少时，△PQB与△ABC相似．
24.在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分.敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示.
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高图柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案. 21*cnjy*com
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解析：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形，
故答案为：D．
对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，
2.【答案】 C
解析：解：由 可得6b=3a-b，即7b=3a，即 = ，
故答案为：C
根据比例的基本性质进行变形即可得出结论。
3.【答案】 D
解析：∵ = ，
∴2x=5y， ， ，
∴A、B、C不符合题意，D不一定正确；
故答案为：D
（1）由两内项之积等于两外项之积可得2x=5y； （2）把x=y代入计算即可得; (3)把x=y代入计算即可得; (4)把x=y代入计算即可得.
4.【答案】 C
解析：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C ．
根据平行线分线段成比例定理，可得， 代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.
5.【答案】 A
解析：解：由题意得PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB
∴ + ＝ + ＝ ＝ ＝1，
又∵PN＝2PQ，BC＝8cm，AD＝6cm，
∴ + ＝1，
∴PQ＝2.4
则PN＝4.8，
∴矩形PQMN的周长＝14.4cm
故答案为：A.
根据题意可得出PQ：AD＝BP：AB，PN：BC＝AP：AB，可列式计算出PQ、PN的长度，计算出矩形的周长。
6.【答案】 C
解析：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=9，
∴△ABC与△DEF的周长比为3，
∵△ABC的周长为18，
∴△DEF的周长为6．
故答案为：C．
根据相似三角形的周长比等于面积比的算术平方根，就可的两相似三角形的周长比，再由△ABC的周长为18，就可得出△DEF的长。
7.【答案】 A
解析：△ABC三边长分别为：2、、， 选项A中三边长分别为：、1、， 因为， 所以两个三角形相似。 故答案为：A。 分别写出各个三角形三边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似即可进行判断。
8.【答案】 D
解析：解：如图，
设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1 ， S2 ， S3和S，
过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，
∴S△DFH=S3 ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，DE=3，BC=7，
∴ = ，
∵S△ABC=14，
∴S1= ×14，
∴S△BDH：S=（ ×4）：3=2：3，
∴S△BDH= S，
∴ +S=14- ×14，
∴S= .
故答案为：D.
设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1 ， S2 ， S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，根据平行四边形的对边平行得出DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 = ，从而即可求出S1的值，进而根据平行线的性质及图形的面积计算方法得出S△BDH= S，最后根据△BDH的面积+平行四边形DECH的面积=△ABC的面积-△ADE的面积，列出方程求解即可。2-1-c-n-j-y
9.【答案】D
解析：解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故答案为：D
利用相似多边形的对应边上的高之比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，可求解。
10.【答案】 D
解析：解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE= （a+1），
∴点B的横坐标是：﹣ （a+1）﹣1=﹣ （a+3）．
故答案为：D．
利用位似图形的作法，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍即可，由点B的对应点B′的横坐标是a，可得出FO、CF、CE的长，因此可得出点B的横坐标。
二、填空题
11.【答案】1
解析：解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF， ∵点D是BC的中点，∴MD是梯形的中位线， ∴BE＋CF＝2MD， ∵BE∥AD，CF∥AD，∴ ， . ∵M是△ABC的重心，∴AM＝2DE. ∴ ＝1. 故答案为1. 根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案。
12.【答案】
解析：解：∵x是3和6的比例中项，
∴x2＝3×6＝18，
解得x＝±3 .
故答案为：±3 . 根据比例中项的意义可得关于x的方程，x2＝3×6，解方程即可求解。
13.【答案】 20
解析：解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，
∴大三角形的周长：小三角形的周长是3：5，
∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷ =20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm． 根据相似三角形的性质，面积比为相似比的平方，即得相似比，从而求出大三角形对应边上的中线长。
14.【答案】1.2或3
解析：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6， ∴BD=10，∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上， 如图1，当DP=DA=8时，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 综上，PE的长为1.2或3， 故答案为：1.2或3 利用矩形的性质，求出BD的长，再利用相似三角形的性质，证得∠PBE=∠DBC，分情况讨论：如图1，当DP=DA=8时，BP=2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点。分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，分别建立方程求出PE的长。
15.【答案】3≤AP＜4
解析：解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E， 则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F， 则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4． 如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，根据两组角对应相等的两个三角形相似，得出△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，根据相似三角形对应边成比例得出CB2=CP×CA，即22=CP×4，故CP=1，AP=3，此时，3≤AP＜4；综上所述即可得出答案。
16.【答案】
解析：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，
∴PD＝PE＝DE＝1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，
∴PF＝ ，
∴△PFM∽△PON，
∵m＝ ，
∴FM＝ ﹣ ，
∴ ，即 ＝ ，
解得：ON＝4﹣2 .
故答案为：4﹣2 . 根据等边三角形的性质可得PD＝PE＝DE＝1，利用轴对称的性质可得PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，利用直角三角形的性质求出PF的长，根据平行线的性质可证△PFM∽△PON，利用相似三角形的对应边成比例可求出ON的长.
三、解答题
17.【答案】 解：∵， ∠DOE=∠BOA， ∴△DOE∽△BOA， ∴， ∵ DE=37.2 ∴, ∴AB=111.6. 答： A、B之间的距离为111.6米.
解析：先根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证△DOE∽△BOA，利用相似三角形的对应边成比例可得， 从而求出AB的长，从而得出答案.
18.【答案】解：∵AB∥CD， ∴ ， ∴ ， ∵AB∥EF， ∴ ， 即 ， 解得EF=4cm
解析：由AB∥CD，可得出对应相等成比例，求出CE：AC的值，再利用AB∥EF，得出对应边成比例，就可求出EF的长。
19.【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形． ∵AD=BC，DE=AB， ∴ = = ﹣1= = ． ∴矩形ABFE是黄金矩形
解析：只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．
20.【答案】解: 由题意有 ＝ ，
从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，
解得 ＝ ，即x与y的比值为3∶2时，
能使矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似.
解析：根据题意新矩形的的长和宽分别为（30+2x）米，（20+2y）米，根据相似多边形的性质对应边成比例即可列出方程，变形即可得出x与y的比值。
21.【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x， （ 1 ）当CP与CA是对应边时， ， 即 ， 解得x=4秒； （ 2 ）当CP与BC是对应边时， ， 即 ， 解得x= 秒； 故经过4或 秒，两个三角形相似
解析：【分析】由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
22.【答案】 （1）（2，-2） （2）（1，0） （3）10
解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（﹣2，2），
故答案为：（﹣2，2）；
（ 2 ）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0），
故答案为：（1，0）；
（ 3 ）△A2B2C2的面积 ×（2+4）×6﹣ ×2×4﹣ ×2×4=10，
故答案为：10
（1）因为三角形向下平移4个单位长度，所以由平移的性质可将A、B、C的纵坐标分别减4即可求得A1B1C1的坐标； （2）根据位似的性质即可求解； （3）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
23.【答案】 （1）解：当 时，AP=2，BQ=4，PB=4，∴ （ ） （2）解：∵AP= ，BQ= ，PB= ，∴ =
= ，∴当 =3时， 有最小值27
（3）解：∵△PQB、△ABC是直角三角形，∴由 ，即 ，解得 ，由 ，即 ，解得 ，∴当 或 时，△PQB与△ABC相似．
解析：（1）根据路程等于速度乘以时间得出： AP=2，BQ=4，进而根据线段的和差得出PB=4，然后根据 即可算出答案； （2）根据路程等于速度乘以时间得出 AP= ，BQ= ，进而根据线段的和差得出PB= ， 根据 = S△ABC-S△BPQ=即可建立出S与t的函数关系式，再根据所得函数的性质即可解决问题； （3）由于 △PQB、△ABC是直角三角形 ，故只要夹直角的两条直角边对应成比例即可得出两三角形相似，故需要分：① ，② 两种情况建立方程，求解即可求出t的值，从而得出答案。
24.【答案】 （1）解：设敏敏的影长为x公分.
由题意： = ，
解得x=100（公分），
经检验：x=100是分式方程的解.
∴敏敏的影长为100公分. （2）解：如图，连接AE，作FB∥EA.
∵AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF=150公分，
设BC=y公分，由题意BC落在地面上的影从为120公分.
∴ = ，
∴y=180（公分），
∴AC=AB+BC=150+180=330（公分），
答：高图柱的高度为330公分
解析：（1）根据同一时刻、同一地点、同一平面内不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可； （2）如图，连接AE，作FB∥EA．首先判断出 四边形ABFE是平行四边形， 根据平行四边形的对边相等得出 AB=EF=150公分， 根据同一时刻、同一地点、同一平面内不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可。 ?【来源：21cnj*y.co*m】
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