6.9 直线的相交(2)(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

浙江版2019－2020学年度七年级数学上册第6章6.9直线的相交
第2课时 直线的相交(2)
【知识清单】
1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质：(1)在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线.
(2)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
3.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【经典例题】
例题1、下列说法中正确的是(　　)
(1)在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．
(2)从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
(4)画一条直线的垂线可以画无数条．
A.1个? ??B．2个???? ??C．3个??? ??D．4个
【考点】1.垂线；2.垂线段最短；3.点到直线的距离．
【分析】根据垂线的定义，垂线段最短的性质、点到直线的距离、过一点作已知的垂线公理，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】(1)在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．
此选项正确；
(2) 从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，故选项错误；
(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．此选项正确；
(4)画一条直线的垂线可以画无数条．此选项正确.
(1) (3) (4)正确，故选C．
【点评】本题考查了垂线、垂线段最短、点到直线的距离以及相关的性质，是需要熟记的知识，要注意概念的外延与内涵．
例题2、如图，已知∠AOB=55°，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，画出所有可能的情形并分别求出∠COD的度数．
【考点】垂线；角的计算．?
【分析】分OC、OD在边OA的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解．
【解答】如图1，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠BOC=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴∠COD=∠AOB=55°；
如图2，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∠BOC=∠AOC∠AOB=90°55°=35°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+35°=125°；
如图3，∠COD=360°∠AOC∠AOB∠BOD，
=360°90°55°90°，
=125°；
如图4，∵OC⊥OA，OD⊥OB，
∴∠AOB+∠AOD=90°，∠COD+∠AOD=90°，
∴∠COD=∠AOB=35°．
综上所述，∠COD的度数为35°或125°

【点评】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论．
【夯实基础】
1．下列叙述正确的是( )?
A．作已知直线的垂线能且只能作一条? B．过一点只能画一条直线垂直于已知直线
C．过任意一点都可引已知直线的垂线? D．已知线段的垂线有且只有一条
2．点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若PA=8cm，PB=9cm，PC=6 cm，
则点P到直线l的距离(　　)
A．8 cm B．9 cm C．小于6 cm D．不大于6 cm
3．∠1的对顶角是∠2，∠2的补角是∠3.若∠3=55°，则∠1的度数是( )
A ．45° B．55° C．125° D．55°或125°
4．如图，能表示点到直线(线段)的距离的线段有( )?
A．2条? B．3条? C．4条 ?D．5条
5．(1)过线段AB的中点O画直线l⊥AB.若AB=6cm，则点A到直线l的距离是 ?.
(2)点O在直线CD上，已知∠1=23°32′42″，当∠2= 时，OA⊥OB.
　　　　
6．如图，BE⊥AD，垂足为点E，∠ACD=90°.
(1)∠BED= 度；
(2)点D到直线BE的距离是线段________的长度，直线DC与AB的位
置关系是__________；
(3)点D到点B的距离是线段______的长度；
(4)在线段DA，DB，DC中，最长的是线段______；在线段BA，BE，BD中，最短的是线段______，理由是________________________________．
7 . 如图，分别过点P作AB的垂线．


8.如图，OA⊥OB，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，求∠DOE的度数.
9. 如图，OA⊥OB，OD平分∠BOC，若∠AOC=3∠BOD，求∠AOC的度数.

【提优特训】
10．如图，OA⊥OB，OD⊥OC，有下列结论：①∠AOD=∠COB；
②∠AOB=∠COD=90°；
③∠BOD+∠AOC=180°；
④∠AOC=5∠BOD.其中正确的是(　　)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
11．已知线段AB的长为12cm，点A、B到直线l的距离分别为5cm和7cm，则符合条件的直线l的条数为(??? )条。
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若ON⊥l，OM⊥l，则直线OM与ON重合的理由是( )?
A．过两点只有一条直线? B．经过一点只有一条直线垂直于已知直线
C．在同一平面内，过一点只能作一条垂直于已知直线的直线? D．垂线段最短
13.甲、乙、丙、丁四位同学在判断时钟的时针与分针互相垂直的时刻，他们每人说了两个时间，其中对的是(　　)
A．甲说3点和3点半 B．乙说6点和6点15分
C．丙说8点半和10点一刻 D．丁说3点和4点分
14．设点A，B都在直线l的同一条垂线上，点A到直线l的距离等于10cm，点B到直线l的距离等于7cm，则线段AB的长为 .
15．12点正时时针与分针重合，经过 min时针与分针第一次垂直.
16．如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水
池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点P的位置，使它到四个村庄距离之和最小，并说明依据；
(2)计划把河水引入蓄水池P中，怎样开渠最短并说明根据．
17.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，∠AOE=145°，若OF⊥OE，垂足为点O.
(1)求∠BOE的度数；
(2)OF是∠AOC的平分线吗？请说明理由．
18. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1) 若∠MON+∠AOC=180°，求∠NOD的度数；
(2) 若∠1=∠BOC，求∠BOD．

19．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，OG⊥CD，OF⊥OE，
∠BOD=40°.
(1)求∠EOG的度数；
(2)∠EOG与∠BOF是否相等？请说明理由．
【中考链接】
20．(2019?常州) 如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是(??)
A．线段PA? B．线段PB? C．线段PC? D．线段PD

21. (2019?模拟)如图，点O是直线AB上的点OE⊥OD，∠BOC=55°，则∠EOB∠DOC的度数为 .
22．(2019?模拟) (1)在图①中以点P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
(2)量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是________．
(3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由)．
图②：________；图③：________．
(4)由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角________(不要求写出理由)．

参考答案
1、C 2、D 3、C 4、D 5、(1)3cm (2) 66°27′18″ 6、①90 ②DE，垂直 ③DB ④DA、BE 、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．7、略 10、A 11、C
12、C 13、D 14、3cm或17cm 15、 20、C 21、145°
8.如图，OA⊥OB，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，求∠DOE的度数.
解：∵ OA⊥OB，
∴∠AOB =90°
∵OE平分∠BOC， OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠EOC=，∠AOD=∠DOC=.
∴∠DOE=∠DOC∠EOC
=
=
=∠AOB ==45°.
9. 如图，OA⊥OB，OD平分∠BOC，若∠AOC=3∠BOD，求∠AOC的度数.
解: ∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵OD是∠BOC的平分线
∴∠BOD=∠COD，
∵∠AOC=3∠BOD，
∴∠AOB+∠BOD+∠DOC+∠AOC=360°，
∴90°+∠BOD+∠BOD +3∠BOD =360°，
∴5∠BOD =270°，
∴∠BOD =54°．
∴∠AOC=3∠BOD=3×54°=162°.
16．如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水
池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点P的位置，
使它到四个村庄距离之和最小，并说明依据；
(2)计划把河水引入蓄水池P中，怎样开渠最短并说明根据．
解：(1)∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于P，则P为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．(2)过P作PH⊥EF，垂足为H．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池P中开渠最短的根据．
17.解：(1)∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COE=∠BOE.
设∠COE=∠BOE=x°，则∠AOE=180x°.
∴180x=145.
∴x=35°.
∴∠COE=∠BOE=35°.
(2)∵OF⊥OE，
∴∠FOE=90°.
∴∠FOC+∠COE=90°.
∴∠AOF+∠BOE=180°90°=90°.
∠FOC =90°35°=55°.
∴∠AOF=90°35°=55°.
∴∠AOF=∠FOC.
∴OF是∠AOC的平分线.
18. 解：(1) ∵OM⊥AB，∠MON+∠AOC=180°，
∴∠AOM=90°，∠1+∠AOC+∠2+∠AOC=180°，
即∠AOM+∠CON=180°，
∴∠CON=90°，
∴ON⊥CD，
∴∠NOD=90°
(2) 有(1)知∠BOM=90°，∠1=∠BOC，
∴∠1=∠BOM=×90°=22.5°.
∵∠AOM=90°，
∴∠AOC=90°∠1=67.5°.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=67.5°.
19． 解：(1) ∵AB与CD相交于点O，
∴∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=40°.
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC=20°.
∵OG⊥CD，
∴∠COG=∠DOG=∠COD=90°.
∴∠EOG= ∠COG∠COE=90°20°=70°.
(2) ∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE=∠COE.
∵ OF⊥OE，
∴∠EOF=90°.
∴∠COE+∠COF=90°.
∴∠AOE+∠BOF=90°.
∴∠COF=∠BOF.
∵∠COE+∠COF=90°，∠COE+∠EOG=90°.
∴∠COF=∠EOG
∴∠EOG=∠BOF.
22.解：(1)如图①，
(2)∠P+∠1=180°，
故答案为：∠P+∠1=180°．
(3)如图②，图③，
∠P=∠1，∠P+∠1=180°
故答案为：∠P=∠1，∠P+∠1=180°．
(4)相等或互补
故答案为：相等或互补．