中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 直线与圆的位置关系（2）
学习目标 1．经历直线与圆相切的判定定理的发现过程． 2．掌握直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端，并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 3．会判定一条直线是否为圆的切线． 4．会过圆上一点画圆的切线．
学习过程
按照下述步骤作图： 如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA． 思考以下问题（可与你的同伴交流）： （1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？ （2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？ （3）由此你发现什么？
判断下列命题是否正确． （1）经过半径外端的直线是圆的切线．（ ） （2）垂直于半径的直线是圆的切线．（ ） （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（ ） （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线．（ ） （5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（ ）
【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．求证：直线AB是⊙O的切线．
如图，点Q在上．分别根据下列条件，判定直线PQ与是否相切． （1）OQ＝6，OP＝10，PQ＝8． （2）∠O＝67.3°，∠P＝22°42?．
【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60°，OT交⊙O于点S． （1）过点P作⊙O的切线． （2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由．
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC．求证：DC是⊙O的切线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 直线与圆的位置关系（2）
学习目标 1．经历直线与圆相切的判定定理的发现过程． 2．掌握直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端，并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 3．会判定一条直线是否为圆的切线． 4．会过圆上一点画圆的切线． 重点和难点 本节教学的重点是直线与圆相切的判定定理． 例3解法思路不易形成，是本节教学的难点．
学习过程
按照下述步骤作图： 如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA． 思考以下问题（可与你的同伴交流）： （1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？ （2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？ （3）由此你发现什么？ 解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长． （2）直线l与⊙O相切，根据d＝r直线与⊙O相切． （3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 特征①：直线l经过半径OA的外端点A． 特征②：直线l垂直于半径OA． 几何语言： ∵l⊥OA，且OA为圆O的半径， ∴l是⊙O的切线． 本节开头是让学生通过作图来发现直线与圆相切的判定定理，教学中可按下列步骤进行． （1）让学生按课本要求作出直线l，并提问，点O到直线l的距离，与圆O的半径有怎样的关系？ （2）直线l与圆O的位置关系有什么关系？根据什么？可启发学生回顾上节课关于直线与圆的位置的三个互逆关系． （3）引导学生概括出直线与圆相切的判定定理，帮助学生搞清该定理的条件和结论，尤其是两个条件要同时满足：①直线和半径垂直；②直线要过半径的外端．或者学生在叙述时常会疏漏． （4）应给学生指出，这个判定定理还给出了圆的切线的作法．可以让学生说练课本中的“做一做”．
判断下列命题是否正确． （1）经过半径外端的直线是圆的切线．（ ） 错 （2）垂直于半径的直线是圆的切线．（ ） 错 （3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（ ） 对 （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线．（ ） 对 （5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（ ） 对
【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连结OB． ∵OB＝OC，AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°． ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB， ∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）． 此例是切线的判定方法及时得到巩固，教学时可按照下列步骤分析启发： （1）从要求证的结论出发考虑问题，根据直线与圆相切的判定定理应怎样添加辅助线？ （2）连接OB后，要证明AB与圆O相切就要证明AB⊥OB，那么只需要证明∠ABO＝90°． （3）从已知出发考虑问题，由AB＝BC，∠C＝30°，可以推出什么呢？得∠A＝30°后，应再说明什么？∠AOB与∠C有什么关系？ 完成例3以后，还可以要求学生想一想，说明∠ABO＝90°，还有什么方法？比如， ∠ABO＝∠ABC＝∠OBC＝120°－30°＝90°． 连接圆心和切点的半径是一条常用的辅助线，小结时应予以强调．
如图，点Q在⊙O上．分别根据下列条件，判定直线PQ与⊙O是否相切． （1）OQ＝6，OP＝10，PQ＝8． （2）∠O＝67.3°，∠P＝22°42?． 解：（1）∵OQ＝6，OP＝10，PQ＝8， ∴OP2＝OQ2＋PQ2， ∴∠OQP＝90°． ∵点Q在⊙O上， ∴OQ为⊙O的半径， ∴PQ与⊙O相切． （2）∵∠O＝67.3°，∠P＝22°42?， ∴∠Q＋∠P＝90°， ∴∠OQP＝90°． ∵Q在⊙O上， ∴OQ为⊙O的半径． ∴OQ与⊙O相切．
【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？ 解：如图，在坐标系中画出以点P（100，200）为圆心，以200为半径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°方向的方向线，作垂直于方向线的⊙P的直径HK，分别过点H，K作⊙P的切线l1，l2，则l1∥l2． 因为台风圈在两条平行线l1，l2，之间移动，点A，D落在切线l1，l2，之间，所以受到这次台风的影响；而点B，C不在切线l1，l2，之间，所以不受到这次台风的影响． 解决此题的关键是确定台风圈所扫过的范围，可作如下启发： （1）回顾课本第38页，做一做过直径两端的两条切线有何关系？ （2）过于台风圈，⊙P运动方向垂直的直径HK两端的两条切线l1，l2与台风圈运动方向有何关系？ （3）⊙P在移动过程中与直线l1，直线l2始终有这样的关系？现在你能确定台风圈扫过的范围了吗？
如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60°，OT交⊙O于点S． （1）过点P作⊙O的切线． （2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由． 解：（1）如图． （2）点S是OQ的中点． ∵PQ为⊙O的切线， ∴∠OPQ＝90°． ∵∠POQ＝60°， ∴∠OQP＝30°， ∴OQ＝2PO． ∵PO＝SO， ∴OQ＝2SO， 即点S是OQ的中点．
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC．求证：DC是⊙O的切线． 证明：如答图，连结OD． ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠A，∠ADO＝∠DOC． ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠COB＝∠DOC． 又∵OC＝OC，OD＝OB， ∴△CDO≌△CBO（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°， ∴DC是⊙O的切线．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共16张PPT)
2.1直线与圆的位置关系（2）
直线与圆的位置关系：
定义：
（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；
（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；
这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．;
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
直线与圆的位置关系量化
直线和圆相切
直线和圆相离
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
_______
_______
_______
直线和圆相交
按照下述步骤作图：
如图，在⊙O上任取一点A．连结OA．过点A作直线l⊥OA．
思考以下问题（可与你的同伴交流）：
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现什么？
解：（1）圆心O到直线l的距离等于圆的半径长．
（2）直线l与⊙O相切，根据d＝r?直线与⊙O相切．
（3）经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
几何语言表示:
∵ ,且为圆的半径
∴ 是的切线
判断下列命题是否正确．
（1）经过半径外端的直线是圆的切线．（ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线．（ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（ ）
（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线．（ ）
（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．（ ）
错
错
对
对
对
【例3】已知：如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°．
求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连结OB．
∵OB＝OC，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°．
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）．
如图，点Q在⊙O上．分别根据下列条件，判定直线PQ与⊙O是否相切．
（1），，．
（2），．
如图，点Q在⊙O上．分别根据下列条件，判定直线PQ与⊙O是否相切．
（1）OQ＝6，OP＝10，PQ＝8．
解：（1）∵OQ＝6，OP＝10，PQ＝8，
∴OP2＝OQ2＋PQ2，
∴∠OQP＝90°．
∵点Q在⊙O上，
∴OQ为⊙O的半径，
∴PQ与⊙O相切．
如图，点Q在⊙O上．分别根据下列条件，判定直线PQ与⊙O是否相切．
（2）∠Q＝67.3°，∠P＝22.42°．
解：（2）∵∠O＝67.3°，∠P＝22 ° 42 ? ，
∴∠Q＋∠P＝90°，
∴∠OQP＝90°．
∵Q在⊙O上，
∴OQ为⊙O的半径．
∴OQ与⊙O相切．
【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
【例4】如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km．那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
解：如图，在坐标系中画出以点
P（100，200）为圆心，以200为半
径的⊙P，再在点P处画出北偏东30°
方向的方向线，作垂直于方向线的
⊙P的直径HK，分别过点H，K作
⊙P的切线l1，l2，则l1∥l2．
因为台风圈在两条平行线l1，l2，
之间移动，点A，D落在切线l1，l2，
之间，所以受到这次台风的影响；
而点B，C不在切线l1，l2，之间，
所以不受到这次台风的影响．
如图，OP是⊙O的半径，∠POT＝60°，OT交⊙O于点S．
（1）过点P作⊙O的切线．
（2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由．
解：（1）如图．
（2）点S是OQ的中点．
∵PQ为⊙O的切线，
∴∠OPQ＝90°．
∵∠POQ＝60°，
∴∠OQP＝30°，
∴OQ＝2PO．
∵PO＝SO，
∴OQ＝2SO，
即点S是OQ的中点．
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC．求证：DC是⊙O的切线．
证明：如答图，连结OD．
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A，∠ADO＝∠DOC．
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠COB＝∠DOC．
又∵OC＝OC，OD＝OB，
∴△CDO≌△CBO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴DC是⊙O的切线．
