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2.1 直线与圆的位置关系（3）
学习目标 1．理解圆的切线的性质：“经过切点的半径垂直于圆的切线”“经过切点垂直于切线的直线必经过圆心”． 2．学会切线的性质的简单应用．
学习过程
如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点．∠OAP等于多少度？在⊙O上再任意取一些点，过各点作⊙O的切线（根据圆的切线的定义，画出大致图形），连结圆心与切点．半径与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？你的发现与你的同伴的发现相同吗？
已知：如图，直线l切于点P，弦AB∥l．求证：＝．
【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．
如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．已知∠B＝30°，AT＝．求直径AB和弦BC的长．
【例6】如图，直线AB与⊙O相切于点C．AO交⊙O于点D，连结CD．求证：∠ACD＝∠COD．
在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长．
如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知AC＝12，BC＝9．求AO的长．
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2.1 直线与圆的位置关系（3）
学习目标 1．理解圆的切线的性质：“经过切点的半径垂直于圆的切线”“经过切点垂直于切线的直线必经过圆心”． 2．学会切线的性质的简单应用． 重点与难点 本节教学的重点是切线的性质及其应用 例5需要添加较多的辅助线，还要综合运用列方程等代数知识，是本节教学的难点．
学习过程
如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点．∠OAP等于多少度？在⊙O上再任意取一些点，过各点作⊙O的切线（根据圆的切线的定义，画出大致图形），连结圆心与切点．半径与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？你的发现与你的同伴的发现相同吗？ 解：∠OAP＝90°． 半径与切线所成的角是90°． 经过切点的半径垂直于圆的切线． 一般地，圆的切线有如下的性质： 经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直） 几何语言 ∵⊙O与AT相切于点A， ∴OA⊥AT． 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径） 几何语言 ∵⊙O与AT相切于点A，PA⊥AT， ∴OA是圆的半径． 教学中不要求学生理解推理过程，只需通过作图观察、测量、相互交流得出，值得注意的是，这里的切线作法只能根据切线的定义，凭直观来做，不能用前面的判定定理，否则逻辑就颠倒了．
如图，N是直线l上一点．作半径为1cm的⊙O，使⊙O与直线l相切于点N．满足条件的圆可作几个？ 解：如图，有两个．
已知：如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l．求证：＝． 解：连结OP． ∵直线l切⊙O于点P， ∴OP⊥l． ∵AB∥l， ∴OP⊥AB， ∴＝．
【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径． 解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D． 设⊙O的半径为r． ∵⊙O与BC相切于点C， ∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）． ∵AB⊥BC，AD⊥OC， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC－CD＝OC－AB． 在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝(r－8)2＋162，解得r＝20． ∴⊙O的半径为20cm． 此题是切线的性质的简单应用，教学中可作如下启发： （1）由已知条件较长，边BC与圆O相切于点C，根据切线的性质能得到什么结论？从而添加辅助线？ （2）在圆中求半径经常用构造直角三角形的方法，将有关数据集中到一个三角形中． （3）如果设所求的半径为r，利用勾股定理，可以列出怎样的方程？
如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．已知∠B＝30°，AT＝．求直径AB和弦BC的长． 解：连结AC． ∵AT切⊙O于点A，AB⊥AT， ∴AB过圆心O． ∴AB为⊙O的直径． ∵∠B＝30°，AT＝， ∴AB＝＝3． ∴BC＝ABcosB＝．
【例6】如图，直线AB与⊙O相切于点C．AO交⊙O于点D，连结CD．求证：∠ACD＝∠COD． 解：如图，作OE⊥CD于点E，则∠COE＋∠OCE＝Rt∠． ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠． ∴∠ACD＝∠COE． ∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD， ∴∠COE＝∠COD， ∴∠ACD＝∠COD． 讲解此例可设置下列问题，引发学生思考． （1）从求证的结论出发考虑问题，应先在图中作出∠COD，那么应添怎样的辅助线？ （2）要证明∠ACD与∠COE两个锐角相等，你有哪些经验？ （3）圆O于AB相切于点C，OC与AB有怎样的关系？再根据OE⊥CD，你会选择哪一种方法来证明∠ACD＝∠COE？
在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长． 解：如图，在Rt△AOC中，OA＝＝5， ∴AD＝5－3＝2（cm）． 过D作AB的垂线，垂足为F． 由Rt△ADF∽Rt△AOC，得＝，解得DF＝． 在Rt△ADF中， AF＝＝， FC＝AC－AF＝4－＝． 在Rt△DFC中， DC＝＝＝ ∴CE＝＝．
如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知AC＝12，BC＝9．求AO的长． 解：如答图，连结OE，则OE⊥AC． ∵BC⊥AC， ∴∠AEO＝∠ACB＝90°． 又∵∠A＝∠A， ∴△AEO∽△ACB， ∴＝． 在Rt△ACB中，AB＝＝15， ∴AO＝AB－OB＝AB－OE＝15－OE， ∴＝， ∴OE＝， ∴AO＝AB－OE＝15－＝．
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(共17张PPT)
2.1 直线与圆的位置关系（3）
数学浙教版 九年级下册
温故知新
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
这个定理不仅可以用来判定圆的切线，还可以依据它来画切线．
∵
∴是的切线
O
l
A
温故知新
切线的判定方法有：
①直线与圆有唯一个公共点．
②直线到圆心的距离等于圆的半径．
③切线的判定定理．
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
如图，直线AT与⊙O相切于点A，连结OA，P是AT上一点．∠OAP等于多少度？在⊙O上再任意取一些点，过各点作⊙O的切线（根据圆的切线的定义，画出大致图形），连结圆心与切点．半径与切线所成的角为多少度？由此你发现了什么？你的发现与你的同伴的发现相同吗？
解：∠OAP＝90°．
半径与切线所成的角是90°．
经过切点的半径垂直于圆的切线．
一般地，圆的切线有如下的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线（判定垂直）
几何语言
∵⊙O与AT相切于点A，
∴OA⊥AT．
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（判定半径或直径）
几何语言
∵⊙O与AT相切于点A，PA⊥AT，
∴OA是圆的半径．
如图，N是直线l上一点．作半径为1cm的⊙O，使⊙O与直线l相切于点N．满足条件的圆可作几个？
已知：如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l．求证：＝．
解：连结OP．
∵直线l切⊙O于点P，
∴OP⊥l．
∵AB∥l，
∴OP⊥AB，
∴ ＝．
【例5】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．
设⊙O的半径为r．
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC（经过切点的半径垂直于圆的切线）．
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC－CD＝OC－AB．
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝(r－8)2＋162，解得r＝20．
∴⊙O的半径为20cm．
如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BT交⊙O于点C．
已知∠B＝30°，AT＝．求直径AB和弦BC的长．
解：连结AC．
∵AT切⊙O于点A，AB⊥AT，
∴AB过圆心O．
∴AB为⊙O的直径．
∵∠B＝30°，AT＝，
∴AB＝3．
∴BC＝AB×cosB＝．
【例6】如图，直线AB与⊙O相切于点C．AO交⊙O于点D，连结CD．
求证：∠ACD＝∠COD．
解：如图，作OE⊥CD于点E，
则∠COE＋∠OCE＝Rt∠．
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠．
∴∠ACD＝∠COE．
∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD，
∴∠COE＝∠COD，
∴∠ACD＝ ∠COD．
在例6中，若AC＝4cm，⊙O的半径为3cm，求AD，CE的长．
解：如图，在Rt△AOC中，OA＝＝5，
∴AD＝5－3＝2（cm）．
过D作AB的垂线，垂足为F．
由Rt△ADF∽Rt△AOC，得＝，解得DF＝．
在Rt△ADF中，
AF＝＝，
FC＝AC－AF＝4－ ＝ ．
在Rt△DFC中，
DC＝ ＝＝
∴CE＝＝．
F
如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知AC＝12，BC＝9．求AO的长．
解：如答图，连结OE，则OE⊥AC．
∵BC⊥AC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°．
又∵∠A＝∠A，
∴△AEO∽△ACB，
∴＝．
在Rt△ACB中，AB＝＝15，
∴AO＝AB－OB＝AB－OE＝15－OE，
∴＝，
∴OE＝，
∴AO＝AB－OE＝15－＝．
