华师版数学九年级下册26.2.6二次函数的应用教学设计
课题
26.2.6 二次函数的应用
单元
第26章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1、熟练说出二次函数y=ax2+bx+c 的函数图像和性质。
2、掌握并能够正确运用二次函数解决实际问题。
重点
正确运用二次函数解决实际问题。
难点
正确运用二次函数解决实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
亲爱的同学们，上节课我们学习了y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质，请同学们回忆一下当a＞0， a＜0时函数的具体性质？
复习之前所学函数内容，学生观察并思考，引入本节课所学内容。学生回忆上节课内容，回答老师问题。
通回忆学过的二次函数求解内容，吸引学生的注意力，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．
讲授新课
活动探究：思考以下问题，动手画一画。
（小组讨论，3min）
我们已经研究了图y=ax2+bx+c，现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章第1节中提出的两个问题。
问题1
实际上是需要求出自变量x为何值时，二
次函数 y=-2x2+20x (0＜x＜10)取得最大值。
将这个函数关系式配方，得
y=-2(x-5)2+50
显然，这个函数的图象开口向下 ，顶点坐标是
（5,50），这就是说，当x=5时，函数取得最大值，
最大值y=50
这时,AB=5(m),BC=20-2x=10(m).
因此, 当围成的花圃与墙垂直的一边长5m,
与墙平行的一边长10m时,花圃的面积最大,最大面积为50m2
试从函数表达式来说明：当x=5时，函数取得最大值的道理。
问题2
实际上是需要求出自变量x为何值时 ， 二次函数
y=-100x2+100x+200(0≤x≤2)
取得最大值。
请同学们自己完成这个问题的解答。
当x=时，取得最大值，
最大值为225。
例5：用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,宽各为多少时,它的透光面积最大,最大透光面积是多少?（铝合金型材宽度不计）
先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,解决问题。
试一试
解:(1)设长方形的面积为 ,自行车棚的宽为xm,
由题意得:S=x(60-2x)=-2x2+60x,
即S=-2（x-15）2+450
∴当x=15时，车棚的面积最大，
答:让与墙垂直的边等于15m，与墙平行的边等于30m车棚的面积最大;
本题考查了二次函数在实际生活中的应用,及二次函数求最大值问题,利用配方法求最大值是常用的方法。
（2） 在（1）中，如果可利用的墙壁长为25米，怎样围才能使车棚的面积最大?
题（2）与题 （1）的解答完全相同吗? 试比较并作出正确的解答，和同学交流。
答:让与墙垂直的边等于17.5m,与墙平行的边等于30m时车棚的面积最大;题(2)与题(1)的解答不完全相同,题(2)要考虑墙的课利用长度,题(1)不用考虑。
二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值
(注意：在自变量的取值范围内）
课堂练习
已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？
解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6）
＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值
当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm
答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。
中考链接
小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10 ∴6.25≤x
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25
通过自主探索，使学生初步体会二次函数的实际应用问题．
学生自学课本内容例题，锻炼了学生自学能力，为学生独立学习做铺垫．
二次函数与实际问题联系紧密，这就要求我们在解决实际问题时，善于用数学的眼光去观察，用数学的思维去分析，用数学的方法去解决，运用函数知识去解决实际问题是十分普遍和重要的。
学生自学课本内容例题，锻炼了学生自学能力，为学生独立进行计算等做铺垫．
在探索中发现，这样才能理解其中的规律并能加以总结．
学生要独立完成练习，然后进行展示，其他学生相互补充。
画出二次函数的图象，锻炼学生观察能力，思辨能力，让学生带着问题去听课通过本环节的讲解与训练，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，
让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识。
通过问题情景，鼓励学生通过自主探索与交流获得求解。
加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。
课堂深化拓展练习，将比较难的问题、中考考题、放在适当的时候处理，使学生易于接受，提高思维。
通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.
作业
必做题：
课本P20练习第1和2题
跟踪练习册
选做题：
课本P20练习第3题
学生独立完成
养成独立完成作业的习惯
课堂小结
二次函数求解问题的基本步骤:
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力
鼓励学生畅所欲言，总结对本节课的收获和体会;培养学生的自信心;进一步加深对所学知识的理解和记忆
板书
26.2.6 二次函数的应用
1、熟记y=ax2+bx+c的图象和性质
2、求解二次函数求解实际问题
课件24张PPT。26.2.6 二次函数的应用华师版 九年级下 亲爱的同学们，上节课我们学习了y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质，请同学们回忆一下当a＞0， a＜0时函数的具体性质？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 我们已经研究了图y=ax2+bx+c，现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章第1节中提出的两个问题。 问题1 实际上是需要求出自变量x为何值时，二
次函数 y=-2x2+20x (0＜x＜10)取得最大值。
将这个函数关系式配方，得
y=-2(x-5)2+50
显然，这个函数的图象开口向下 ，顶点坐标是
（5,50），这就是说，当x=5时，函数取得最大值，
最大值y=50这时,AB=5(m),BC=20-2x=10(m).
因此, 当围成的花圃与墙垂直的一边长5m,
与墙平行的一边长10m时,花圃的面积最大,最大面积为50m2试从函数表达式来说明：当x=5时，函数取得最大值的道理。问题2 实际上是需要求出自变量x为何值时 ， 二次函数
y=-100x2+100x+200(0≤x≤2)
取得最大值。
请同学们自己完成这个问题的解答。y=-100x2+100x+200
=-100(x2-x-2)
=-100[(x- ) 2- ]
=-100(x- ) 2+225
当x= 时，取得最大值，
最大值为225。例5：用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,宽各为多少时,它的透光面积最大,最大透光面积是多少?（铝合金型材宽度不计）解：设矩形窗框的宽为xm，则长为 m。 这里应有x＞0.且 ＞0 ，故0＜x＜2。
矩形窗框的透光面积y与x 之间的函数关系式是
即
配方得，
所以当x=1时，函数取得最大值 最大值y=1.5
x=1满足0＜x＜2，这时
因此，所做矩形窗框的宽为1m、长为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m2
先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,解决问题。试一试（1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为60米，怎样围才能使车棚的面积最大?解:(1)设长方形的面积为 ,自行车棚的宽为xm,
由题意得:S=x(60-2x)=-2x2+60x,
即S=-2（x-15）2+450
∴当x=15时，车棚的面积最大，
答:让与墙垂直的边等于15m，与墙平行的边等于30m车棚的面积最大;本题考查了二次函数在实际生活中的应用,及二次函数求最大值问题,利用配方法求最大值是常用的方法。（2） 在（1）中，如果可利用的墙壁长为25米，怎样围才能使车棚的面积最大?
题（2）与题 （1）的解答完全相同吗? 试比较并作出正确的解答，和同学交流。(2)设长方形的面积为Sm2 ,自行车棚的长(与墙平行的边)为ym, 由题意得: ,
即: , ∵a= ＜0
∴ 当y≤30时,S随y的增大而增大, 当y=25时,车棚的面积最大,
答:让与墙垂直的边等于17.5m,与墙平行的边等于30m时车棚的面积最大;题(2)与题(1)的解答不完全相同,题(2)要考虑墙的课利用长度,题(1)不用考虑。二次函数求解问题的基本步骤:
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值
(注意：在自变量的取值范围内） 新知讲解已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面积为ycm2,问何时矩形的面积最大？解： ∵周长为12cm, 一边长为xcm , ∴ 另一边为（6－x）cm
∴ y＝x（6－x）＝－x2＋6x （0< x<6）
＝－(x－3) 2＋9
∵ a＝－1<0, ∴ y有最大值
当x＝3cm时，y最大值＝9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10 ∴6.25≤x
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25
课堂总结二次函数求解问题的基本步骤:
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 26.2.6 二次函数的应用
1、熟记y=ax2+bx+c的图象和性质
2、求解二次函数求解实际问题
必做题：
课本P20练习第1和2题
跟踪练习册
选做题：
课本P20练习第3题
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