中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 切线长定理
学习目标 1．经历切线长定理的探索过程． 2．掌握切线长定理． 3．会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题．
学习过程
已知如图，P是⊙O外一点，请你作⊙O的切线．
【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B．已知∠ACB＝80°，OC＝100cm．求点C到⊙O的切线长（结果精确到1cm）．
【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）．
已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO＝10．求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长．
已知：如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，过点A，B的切线相交于点M．求证：△ABM是等边三角形．
已知：如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．设AO＝d，BO＝r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 切线长定理
学习目标 1．经历切线长定理的探索过程． 2．掌握切线长定理． 3．会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题． 重点和难点 本节教学的重点是切线长定理及其应用． 例2综合应用知识的程度较高，是本节教学中的难点．
学习过程
已知如图，P是⊙O外一点，请你作⊙O的切线． 切线长定理的探索过程也可以这样设计．任意画一个⊙O，取⊙O外一点P，让学生过点P作⊙O的切线（凭目测来做），然后让学生思考一下问题： （1）这样的切线你能做出几条？ （2）在所作⊙O的切线上，两条过点P与切点之间的线段有什么关系？ （3）在⊙O外取一些点，分别作⊙O的切线，看一看是否有同样的结果？ 从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长． 关于圆的切线，有下面的定理： 切线长定理过圆外一点所作的圆的两条切线长相等． 概括、叙述切线长定理应当使学生正确理解切线长的含义．切线是直线，没有长度之说，这里说的切线长的定义是为了表述方便予以特别约定的，是指两条切线上圆外交点到两个切点之间的线段长，也可以看作“圆外一点到切点之间的距离”．
证明：如图，连结AO，BO，PO． ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴AO⊥PA，BO⊥PB． 而AO＝BO，PO＝PO， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP． ∴PA＝PB． 讲解切线长定理的证明可以作一下启发： （1）如果我们想尝试通过三角形的全等来证明PA＝PB，那么应当怎样添加辅助线？ （2）在△OAP与△OBP中，∠A和∠B是什么角？根据什么？△OAP与△OBP全等吗？根据什么？ 讲解是有以下几个问题值得注意： （1）关于探索过程中的作切线，凭目测作切线是可行的，如果有学生不会做，教师可以适当示范． （2）目测作图难免有误差，对探究点P到两个切点之间的线段长之间的关系有影响．除度量方法外，还可以启发学生用推理的方法，判断两条切线长的关系，连接OB，OA，OB，判断两个直角三角形是否全等，这也相当于下面定理证明的一个分析过程． （3）对学有余力的学生也可以介绍一下尺规作图．
【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B．已知∠ACB＝80°，OC＝100cm．求点C到⊙O的切线长（结果精确到1cm）． 解：如图，连结OA，OB．
∵AB，BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等），
∴△OAC≌△OBC．
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×80°＝40°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°．
∴＝cos40°，
∴AC＝OC×cos40°＝100×cos40°≈77（cm）．
答：点C到⊙O的切线长约为77cm． 从切线长定理的证明过程中，我们可以发现另一些有较多应用的相关结果，如∠APO＝∠BPO，OP垂直平分弦AB，∠APB＋∠AOB＝180°等，此例的目的是巩固切线长的概念，并让学生熟悉上述相关结果．讲解时可以按以下步骤进行启发： （1）从切线长定理的证明过程，你还能发现课本中还有哪些与本题求解有关的图形关系，比如OC与∠ACB有什么关系？根据什么？ （2）已知OC＝100m，∠ACB＝80°，你会选哪一个直角三角形求解点C到⊙O的切线长AC？cos∠ACO是哪两个线段的比？由此怎样求出AC？
【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）． 解：如图，连结AB，OA，OB，OP．
∵MP，NP分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP．
又∵∠ABP＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
∴AB＝AP＝24cm．
∵OA＝OB，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPA＝30°，
∴OA＝AP×tan×30°＝24×＝8（cm）．
而∠AOB＝360°－2×90°－60°＝120°，
∴＝＝≈29（cm）．
答：两切点间的距离为24cm，AB的长约为29cm． 讲解时可按以下步骤进行启发： （1）根据所求和与之引导学生连接AB，OA，OP，强调圆心与切点的连线是常用的辅助线． （2）从已知PM，PN，分别与⊙O，相切于点A，B，可得到什么？根据什么？ （3）由∠APB＝60°，你能得到什么？由此能求出AB的长吗？怎么求？ （4）要求弧AB的长，先要求出什么？圆心角∠AOB等于多少度？为什么？求半径OA（或OB），可以通过解怎样的直角三角形得到？还需添怎样的辅助线？
已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO＝10．求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长． 解：如图，A，B分别为切点，则OA⊥PA，OB⊥PB． ∵OA＝5，PO＝10， ∴∠AOP＝60°，AP＝5， ∵∠AOB＝2∠AOP＝2×60°＝120°， ∴＝＝．
已知：如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，过点A，B的切线相交于点M．求证：△ABM是等边三角形． 解：连结OA，OB． 由已知可得∠AOB＝2∠AON＝2×60°＝120°． 由此可得∠M＝60°． 又∵MA＝MB（切线长定理）， ∴△ABM是等边三角形．
已知：如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C．P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．设AO＝d，BO＝r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值． 解：提示：由已知和切线长定理可得MB＝MP，NC＝NP． ∴△AMN的周长等于2AB，是一个定值．这个定值为2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共10张PPT)
2.2 切线长定理
已知如图，P是⊙O外一点，请你作⊙O的切线．
从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外
这一点到切点间的线段的长叫做切线长．
关于圆的切线，有下面的定理：
切线长定理过圆外一点所作的圆的两条切线长相等．
证明：如图，连结AO，BO，PO．
?∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴AO⊥PA，BO⊥PB．
而AO＝BO，PO＝PO，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP．
∴PA＝PB．
解：如图，连结OA，OB．
∵AB，BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等），
∴△OAC≌△OBC．
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×80°＝40°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°．
∴＝cos40°，
∴AC＝OC×cos40°＝100×cos40°≈77（cm）．
答：点C到⊙O的切线长约为77cm．
【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带
MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知
∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）．
解：如图，连结AB，OA，OB，OP．
∵MP，NP分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP．
又∵∠ABP＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
∴AB＝AP＝24cm．
∵OA＝OB，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPA＝30°，
∴OA＝AP×tan×30°＝24×＝8（cm）．
而∠AOB＝360°－2×90°－60°＝120°，
∴＝＝ ≈29（cm）．
答：两切点间的距离为24cm，AB的长约为29cm．
已知⊙O的半径为5，P是⊙O外一点，PO＝10．求点P到⊙O
的切线长和两切点间的劣弧长．
解：如图，A，B分别为切点，
则OA⊥PA，OB⊥PB．
∵OA＝5，PO＝10，
∴∠AOP＝60°，AP＝，
∵∠AOB＝2∠AOP＝2×60°＝120°，
∴＝＝．
已知：如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径ON，过点A，B
的切线相交于点M．求证：△ABM是等边三角形．
解：连结OA，OB．
由已知可得∠AOB＝2∠AON＝2×60°＝120°．
由此可得∠M＝60°．
又∵MA＝MB（切线长定理），
∴△ABM是等边三角形．
已知：如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点
B，C．P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，
交AC于点N．设AO＝d，BO＝r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．
解：提示：由已知和切线长定理可得MB＝MP，NC＝NP．
∴△AMN的周长等于2AB，是一个定值．
这个定值为2．
