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2.3 三角形的内切圆
学习目标 1．通过实例让学生经历三角形的内切圆概念的引入过程，并体验其意义． 2．理解三角形的内切圆的有关概念． 3．学会作一个三角形的内切圆． 4．会进行有关三角形内切圆的计算和认证．
学习过程
如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？ 建议按下列步骤探索： （1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？ （2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ （3）如何确定这个圆的圆心和半径？
比一比
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径．
【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l．
如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，则S＝lr．请说明理由．
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，则其内切圆的半径为多少？若某直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm，求其内切圆的半径．
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．
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2.3 三角形的内切圆
学习目标 1．通过实例让学生经历三角形的内切圆概念的引入过程，并体验其意义． 2．理解三角形的内切圆的有关概念． 3．学会作一个三角形的内切圆． 4．会进行有关三角形内切圆的计算和认证． 重点和难点 本节教学的重点是三角形的内切圆的概念． 例2是内切圆的概念、切线的性质和全等三角形等知识的综合应用，辅助线较多，是本节教学的难点．
学习过程
如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？ 建议按下列步骤探索： （1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？ （2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ （3）如何确定这个圆的圆心和半径？ 解：（1）圆与三角形的各边都相切． （2）圆心在这个角的角平分线上． （3）两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径． 课本用怎样从一块三角形玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆做桌面这个实际问题引入本课内容，加强学生对所学内容的必要性的认识，有利于创设良好的学习情境．
三角形的内切圆的作法分析应突出以下几点： （1）在分析作图题时，常假设图形已经作出，这样有直观图形借鉴，给分析思考带来方便． （2）作图的关键是找出圆心，并确定圆的半径．确定点的位置，交轨法是常用的方法．这种方法学生以前虽有所接触，但教学中仍需要强化．在圆心确定之后，可以由圆心引三角形一边的垂线段来确定内切圆的半径．
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角．
在概括三角形的内切圆和内心的概念时，有必要引导学生与三角形的外接圆和外心作比较，以免互相混淆．还要注意“内”“外”称呼的相对性．具体地说，当圆内切于三角形时，三角形在圆外，帮称圆的外切三角形．同样，当三角形内接于圆时，圆在三角形外，故称三角形的外接圆．
比一比
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1．OA＝OB＝OC； 2．外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1．到三边的距离相等； 2．OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； 3．内心在三角形内部．
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的内切圆⊙O的半径． 解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5（cm）．
∴OD＝AD×tan30°＝1.5×＝（cm）．
答：△ABC的内切圆的半径为cm． 讲解例1，教学中可作如下启发： （1）图中的⊙O与△ABC有何关系？那么怎样作出⊙O的半径？ （2）要计算半径OD的长，需要构造怎样的直角三角形？为此，怎样添加辅助线？ （3）AO与∠BAC有什么关系？AD与BD相等吗？根据什么？由此可见Rt△AOD可解吗？
【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l． 证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF（切线长定理）．
同理，BD＝BF，CD＝CE．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD＝(AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE)＝l． 本例证明的关键是引导学生得到AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，教学中可作如下启发： （1）三角形的周长l可怎样计算？（AB＋BC＋CA＝AF＋BF＋BD＋DC＋CE＋AE）． （2）AE与AF，BF与BD，CD与CE分别有什么关系？根据什么？ （3）由（2），你认为l可以用哪些线段和表示？
如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的半径为r，则S＝lr．请说明理由． 解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． 连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OE＝OF＝OD＝r． ∵S＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA， ∴S＝AB×OF＋BC×OD＋CA×OE＝r(AB＋BC＋CA)＝lr．
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，则其内切圆的半径为多少？若某直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm，求其内切圆的半径． 解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， 若a＝5cm，b＝12cm， 则c＝＝13cm， 则r＝＝＝2（cm）．
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径． 解：过O分别作AC，BC的垂线． OE，OF，E，F为垂足，易证四边形OECF为正方形， 设边长为x，即为⊙O的半径． ∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠， ∴△AEO∽△ACD， ∴＝，解得x＝1.5．
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2.3 三角形的内切圆
如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的
圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？
建议按下列步骤探索：
（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心和半径？
解：（1）圆与三角形的各边都相切．
（2）圆心在这个角的角平分线上．
（3）两个内角的角平分线交点为圆心，
以交点到三角形的任一边的距离为半径．
定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
性质：
内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角．
名称 确定方法 图形 性质
外心：
三角形外接圆的圆心
内心：
三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
O
A
B
C
O
A
B
C
【例1】如图，等边三角形ABC的边长为3cm．求△ABC的
内切圆⊙O的半径．
解：如图，设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD．
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°．
∵OD⊥AB，AB＝3cm．
∴AD＝BD＝AB＝1.5（cm）．
∴OD＝AD×tan30°＝1.5×＝（cm）．
答：△ABC的内切圆的半径为cm．
【例2】已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为
D，E，F．设△ABC的周长为l．
求证：AE＋BC＝l．
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE＝AF（切线长定理）．
同理，BD＝BF，CD＝CE．
∴AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ (AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE)
＝ l．
如例2图，设△ABC的面积为S，周长为l，△ABC的内切圆的
半径为r，则S＝ lr．请说明理由．
解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，
切点分别为D，E，F．
连结OA，OB，OC，OD，OE，OF，
则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
且OE＝OF＝OD＝r．
∵S＝S△AOB＋S△OBC＋S△COA，
∴S＝ AB×OF＋ BC×OD＋ CA×OE
＝ r(AB＋BC＋CA)＝ lr．
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，则其
内切圆的半径为多少？若某直角三角形的两直角边分别是
5cm，12cm，求其内切圆的半径．
解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
若a＝5cm，b＝12cm，
则c＝＝13cm，
则r＝＝＝2（cm）．
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线
交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．
解：过O分别作AC，BC的垂线．
OE，OF，E，F为垂足，
易证四边形OECF为正方形，
设边长为x，即为⊙O的半径．
∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，
∴△AEO∽△ACD，
∴＝，解得x＝1.5．
E
F
