中小学教育资源及组卷应用平台
3.1 投影（2）
学习目标 1．通过实例了解中心投影的意义． 2．能根据光线的特征区分中心投影与平行投影． 3．了解中心投影下，投影与图形本身的关系． 4．会在简单情况下画物体的中心投影（示意图）．
学习过程
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
类型 区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影
中心投影
小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子长，那么甲的身高一定比乙高．你认为小明的结论正确吗？请说明理由．
【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由． 图（1） 图（2）
【例3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC．若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m．求路灯的高度OP．
如图，在直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．求木杆AB在x轴上的投影A?B?的长．
如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度．
某人身高1.8m，开始时站在路灯下的影子长为3.6m，然后他向路灯走近3.6m（指水平距离），此时他的影子长与身高相等．求路灯高，以及开始时他与路灯的水平距离．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
3.1 投影（2）
学习目标 1．通过实例了解中心投影的意义． 2．能根据光线的特征区分中心投影与平行投影． 3．了解中心投影下，投影与图形本身的关系． 4．会在简单情况下画物体的中心投影（示意图）． 重点和难点 本节教学的重点是中心投影的概念及其投影的画法． 例3需要较强的空间想象能力，是本节教学的难点．
学习过程
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？ 解：如图，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A?B?把线段AB放大了，且AB∥A?B?，△OAB∽△OA?B?． 又如右图，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A?B?C?也把△ABC放大了，从△ABC到△A?B?C?是我们熟悉的位似变换． 利用皮影和手影的等事例引入本节课题，这样即吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣，要弘扬中华民族的传统文化． 教学中要从以下几个方面帮助学生搞清平行投影与中心投影的区别： （1）平行投影与中心投影的主要区别：平行投影的投射线是平行的，而中心投影的投射线相交于一点． （2）在介绍中心投影的物与影的关系时，可以引导学生与平行投影作比较，概括出两种投影的不同点．如当物体与投影面平行时，平行投影形成的影子与原图像全等，而中心投影形成的影子与原图像位似．
类型 区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影 平行的投射线 全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子．（即都是投影）
中心投影 从一点出发的投射线 放大（位似变换）
小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子长，那么甲的身高一定比乙高．你认为小明的结论正确吗？请说明理由． 解：不正确，因为中心投影中的物高与影长不成定比． 解答此题后，可以引导学生探究平行投影与中心投影的另一个不同点，即平行投影形成的影子同一时刻，物高与影长成正比例，而中心投影形成的影子，同一时刻，物高与影长不成正比例．
【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由． 图（1） 图（2）
解：分别连结标杆的顶端与其投影上的对应点（图1）．很明显，图（1）的投射线互相平行，是平行投影．图（2）的投射线将相交于一点，是中心投影． 图（1） 图（2）
【例3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC．若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m．求路灯的高度OP． 解：由题意易得△ABC∽△POC， 则＝，即＝，解得PO＝5． 答：路灯的高度OP是5m． 讲解例3时应注意以下几点： （1）在解释时，指出课本中的图形是一个空间图形，激发同学从三维空间的角度来观察树影与灯柱的位置关系； （2）求路灯的高度PQ可作一下启发，AB与PO有什么关系？由此可得出△ABC与△POC有什么关系？为求PO，你可写出怎样的比例式？
如图，在直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．求木杆AB在x轴上的投影A?B?的长． 解：6．
如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度． 解：设吊灯距地面的高度为xm， 由题意得＝，则＝，解得x＝2.25． 答：吊灯距地面的高度为2.25m．
某人身高1.8m，开始时站在路灯下的影子长为3.6m，然后他向路灯走近3.6m（指水平距离），此时他的影子长与身高相等．求路灯高，以及开始时他与路灯的水平距离． 解：按题意画示意图如图，AB，A'B'表示某人身高1.8m． AC＝A'A'＝3.6m． A'B'＝A'C'＝1.8m． 设路灯高OP＝h，则PC'＝h，AB＝h＋5.4． 由AB∥OP，得△CAB∽△COP， ∴＝，即＝，解得h＝0.68（m）． AP＝h＋1.8＝5.4＋1.8＝7.2（m）． 答：路灯高5.4m，开始时某人距路灯的水平距离为7.2m．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共11张PPT)
3.1 投影（2）
由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影．
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，
在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别．请观察
平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？
解：如图，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A?B?把线段AB放大了，且AB∥A?B?，△OAB∽△OA?B?．
又如图，当△ABC所在的平面与投影面平行时，△ABC的中心投影△A?B?C?也把△ABC放大了，从△ABC到△A?B?C?是我们熟悉的位似变换．
类型 区别 联系
光线 物体与投影面平行时的投影
平行投影
中心投影
平行的投射线
从一点出发的投射线
全等
放大
（位似变换）
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子．
（都是投影）
小明认为：在灯光下，如果甲的影子比乙的影子
长，那么甲的身高一定比乙高．你认为小明的结论正确吗？请说明理由．
解：不正确，因为中心投影中的物高与影长不成定比．
【例2】下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影．在图中
画出形成投影的光线．它们是平行投影还是中心投影？请说明理由．
解：分别连结标杆的顶端与其投影上的对应点（图1）．很明显，图（1）的投射线互相平行，是平行投影．图（2）的投射线将相交于一点，是中心投影．
【例3】如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC．
若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离
AP＝4.5m．求路灯的高度OP．
解：由题意易得△ABC∽△POC，
则＝，即＝，
解得PO＝5．
答：路灯的高度OP是5m．
如图，在直角坐标系中，点(2，2)是一个光源．木杆AB两端
的坐标分别为(0，1)，(3，1)．求木杆AB在x轴上的
投影A?B?的长．
解：6．
如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板
上的投影是面积为0.81πm2的圆．已知圆桌的高度为1m，圆
桌面的半径为0.5m．求吊灯距地面的高度．
某人身高1.8m，开始时站在路灯下的影子长为3.6m，然后他
向路灯走近3.6m（指水平距离），此时他的影子长与身高相
等．求路灯高，以及开始时他与路灯的水平距离．
解：按题意画示意图如图，
AB，A'B'表示某人身高1.8m．
AC＝A'A'＝3.6m．
A'B'＝A'C'＝1.8m．
设路灯高OP＝h，则PC'＝h，AB＝h＋5.4．
由AB∥OP，得△CAB∽△COP，
∴＝，即＝，解得h＝0.68（m）．
AP＝h＋1.8＝5.4＋1.8＝7.2（m）．
答：路灯高5.4m，开始时某人距路灯的水平距离为7.2m．
