浙教版2019-2020九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知 xy=12 ，则 x+yy 等于（?? ）
A.?32??????????????????????????????????????????B.?13???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.哥哥身高 1.68 米，在地面上的影子长是 2.1 米，同一时间测得弟弟的影子长 1.8 米，则弟弟身高是（ ???）
A.?1.44米????????????????????????????????B.?1.52米???????????????????????????????C.?1.96米???????????????????????????????D.?2.25米
3.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（??? ）
A.?3：5???????????????????????????????????B.?9：25???????????????????????????????????C.?5：3???????????????????????????????????D.?25：9
4.已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应边之比为(?? )
A.?3∶4???????????????????????????????????B.?2∶3????????????????????????????????????C.?9∶16????????????????????????????????????D.?3∶2
5.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），则点C’的坐标为（?? ）
A.?（12，3）?????????????????????????????????????????????????????????B.?（﹣12，3）或（12，﹣3） C.?（﹣12，﹣3）??????????????????????????????????????????????????D.?（12，3）或（﹣12，﹣3）
6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（?? ）
A.??????B.???????????C.??????????????D.?
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（??? ）
A.?ADAN=ANAE????????????B.?BDMN=MNCE?????????????C.?DNBM=NEMC?????????????D.?DNMC=NEBM
8.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD ， AE 交于点 O ，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（??? ）
A.?116??????????????????????B.?112??????????????????????C.?18????????????????????????D.?16
9.如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中， ∠B=30° ，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ，现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G .则 CG 等于（ ??）
A.?3?1??????????????????B.?1??????????????????????????C.?12??????????????????????????D.?32
10.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有(??? )
A.?1个?????????????????????B.?2个???????????????????????????C.?3个???????????????????D.?4个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.若a:b:c=1:2：3，则 a+3b?ca?3b+c= ________
12.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， △ABO 与 △A′B′O′ 是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为________
13.如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90°,AB=10,BC=6 , CD ∥ AB , ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 E , DE = ________.
14.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为________。
?
15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的AEDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CA运动至A点停止，设运动的时间为ts，当t=________，△BEP为等腰三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
18.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．
19.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
20.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝________
（2）求边x、y的长度．
21.如图，直线 AB与坐标轴交与点 A(0,6),?B(8,0) ， 动点P沿路线 O→B→A 运动.
（1）求直线AB的表达式;
（2）当点P在OB上，使得AP平分 ∠OAB 时，求此时点P的坐标;
22.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF.
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由.
23.如图1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A,B 不重合），连接 CE ，过点 B 作 BF⊥CE 于点 G ，交 AD 于点 F .
（1）求证： ΔABF???≌????ΔBCE ；
（2）如图2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG ，求证： DC=DG ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 C 作 CM⊥DG 于点 H ，分别交 AD???,???BF 于点 M???,???N ，求 MNNH 的值.
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(?2,0) ，点 B(4,0) ，与 y 轴交于点 C(0,8) ，连接 BC ，又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l ，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B （不含 O 点和 B 点），且分别交抛物线，线段 BC 以及 x 轴于点 P,D,E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 AC ， AP ，当直线 l 运动时，求使得 △PEA 和 △AOC 相似的点 P 的坐标；
（3）作 PF⊥BC ，垂足为 F ，当直线 l 运动时，求 Rt△PFD 面积的最大值．
浙教版2019-2020九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知 xy=12 ，则 x+yy 等于（?? ）
A.?32??????????????????????????????????????????B.?13???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
解：∵ xy=12 ，
∴y＝2x，
∴ x+yy=x+2x2x=32 ，
故答案为：A.
2.哥哥身高 1.68 米，在地面上的影子长是 2.1 米，同一时间测得弟弟的影子长 1.8 米，则弟弟身高是（ ???）
A.?1.44米????????????????????????????????B.?1.52米???????????????????????????????C.?1.96米???????????????????????????????D.?2.25米
解：设弟弟的身高是xm
则 x1.8＝1.682.1
解得：x=1.44
故答案为：A.
3.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（??? ）
A.?3：5???????????????????????????????????B.?9：25???????????????????????????????????C.?5：3???????????????????????????????????D.?25：9
解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
4.已知△ABC∽△DEF，面积比为9∶4，则△ABC与△DEF的对应边之比为(?? )
A.?3∶4???????????????????????????????????B.?2∶3????????????????????????????????????C.?9∶16????????????????????????????????????D.?3∶2
解：∵△ABC∽△DEF，面积比为9:4，
∴△ABC与△DEF的对应边之比3:2.
故答案为：D.
5.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），则点C’的坐标为（?? ）
A.?（12，3）?????????????????????????????????????????????????????????B.?（﹣12，3）或（12，﹣3） C.?（﹣12，﹣3）??????????????????????????????????????????????????D.?（12，3）或（﹣12，﹣3）
解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：D.
6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（?? ）
A.??????B.???????????C.??????????????D.?
解：根据勾股定理，AC＝ 22+22=22，BC=2 ，
所以，夹直角的两边的比为 222 ＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C ．
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（??? ）
A.?ADAN=ANAE????????????B.?BDMN=MNCE?????????????C.?DNBM=NEMC?????????????D.?DNMC=NEBM
解：A.∵DE∥BC，
∴ ADAB=ANAM ， ANAM=AEAC ，
∴ ADAN=ABAM ， ANAE=AMAC ，
∵ ABAM ≠ AMAC ，
∴ ADAN ≠ ANAE ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴ ADBD=ANNM ， ANNM=AEEC ，
∴ ADAN=BDNM ， ANAE=NMEC ，
∵ ADAN ≠ ANAE ，
∴ BDNM ≠ NMEC ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴ DNBM=ANAM ， ANAM=NEMC ，
∴ DNBM = NEMC ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴ NDMB=ANAM ， ANAM=NEMC ，
∴ NDMB = NEMC ，
即 NDNE = BMMC ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
8.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD ， AE 交于点 O ，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（??? ）
A.?116??????????????????????B.?112??????????????????????C.?18????????????????????????D.?16
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴ BOOD=OEAO=BEAD
又∵ E 为 BC 的中点，
∴ BOOD=OEAO=BEAD=12 ，
∴ BOBD=13 ，
∴ S△BOE=12S△AOB ， S△AOB=13S△ABD ，
∴ S△BOE=16S△ABD=112S?ABCD ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 112 。
故答案为：B。
9.如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中， ∠B=30° ，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ，现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G .则 CG 等于（ ??）
A.?3?1??????????????????B.?1??????????????????????????C.?12??????????????????????????D.?32
解：∵∠B=30°，AB= 3 ，AE⊥BC
∴AE= 32 ，BE= 32
∴BF=3，EC= 3 - 32 ，则CF=3- 3
又∵CG∥AB
∴ CGAB=CFBF
∴ CG3=3?33
解得CG= 3?1 .
10.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有(??? )
A.?1个?????????????????????B.?2个???????????????????????????C.?3个???????????????????D.?4个
解：∵正方形ABCD ∴AB=BC，∠B=90° ∵AG=CE ∴AB-AG=BC-CE，即BG=BE， ∴△BEG是等腰直角三角形， 在Rt△BGE中，GE＞BE，故①错误； ∵AE⊥EF ∴∠AEF=90° ∴∠EAG+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠EAG=∠CEF， 在△AGE和△ECF中 AG=CE∠EAG=∠CEFAE=EF ∴ △AGE≌△ECF（ASA），故②正确； ∴∠AGE=∠ECF=90°+∠FCD ∵△BEG是等腰直角三角形， ∴∠BGE=45° ∴∠AGE=180°-45°=135° ∴∠ECF=90°+∠FCD=135° ∴∠FCD=135°-90°=45°，故③正确； ∵∠FEC=∠BAE ∵∠BGE=45°＞∠BAE，即∠CEF＜∠BGE △ECH不是等腰直角三角形， ∴△GBE与△ECH不相似，故④错误； ∴正确的序号为②③， 故答案为：B
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.若a:b:c=1:2：3，则 a+3b?ca?3b+c= ________
解:∵a:b:c=1:2：3，
∴可设a=k，b=2k，c=3k，
代入 a+3b?ca?3b+c= k+6k?3kk?6k+3k=4k?2k=?2。
故答案为：-2。
12.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系， △ABO 与 △A′B′O′ 是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为________
解：根据位似图形的性质“位似图形对应点连线的交点是位似中心”，
连接 B′B 并延长， A′A 并延长， B′B 与 A′A 的交点即为位似中心P点，由图可知 B′ 、B、P在一条直线上，则P点横坐标为-3，
由图可得 △ABO 和 △A′B′O′ 的位似比为 OBO′B′=36=12 ， BB′=2 ，
所以 PBPB′=PBPB+BB′=12 ，
解得PB=2，
所以P点纵坐标为 (?3,2) ，
即P点坐标为 (?3,2) .
故答案为： (?3,2)
13.如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90°,AB=10,BC=6 , CD ∥ AB , ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 E , DE = ________.
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
∴△AEB∽△CED，
∴ AEEC=BEED=ABCD=106=53 ，
∴ CE=38AC=38×8=3 ，
BE=BC2+CE2=62+32=35 ，
DE=35BE=35×35=955 ，
故答案为： 955 ．
14.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为________。
?
解：根据题意可知，BE=2，AB=4，AF=62+62=62 ∵四边形ABCD为矩形 ∴AB∥CD ∴△ABG∽△FCG ∴FCAB=FGAG 设FG为x，则AG=62-x 解得x=22 ∴在直角三角形GCF中，FG=22,FC=2 由勾股定理得，GC=（22）2?22=2 ∴△GCF的周长=2+2+22=4+22。 故答案为：4+22。
15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的AEDF的30°角的顶点D放在AB边上，E，F分别在AC，BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=________．
解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D， ∴∠ADE=90° ∵∠B=90°-30°=60°， ∴∠FDB=180°-30°-90°=60°=∠B， ∴△BDF是等边三角形， ∵BC=1， ∴AB=2BC=2， ∵BD=BF， ∴2-AD=1-CF； ∴AD=CF+1． ①如图1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF， ∴CFEF=EFDF即CF2CF=2CF1?CF 解之：CF=15 ∴AD=15+1=65； ②如图2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED， ∴CFDF=CEEF即CF1?CF=12 解之：CF=13 ∴AD=13+1=43； ∴AD的长为65或43 故答案为：65或43
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=3cm，BC=5cm，E在AB上且AE=1cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CA运动至A点停止，设运动的时间为ts，当t=________，△BEP为等腰三角形．
解：∵AB=3cm，AE=1cm，
∴BE=AB﹣AE=2（cm），
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，BC=5cm，
∴AC= BC2?AB2 =4（cm），
（ 1 ）当P在BC上时，①当BP=BE=2cm时，t=2，△BEP为等腰三角形；
②如图1：当BE=PE时，过点E作EF⊥BC于F，
∴BF=PF，∠BFE=∠A=90°，
∵∠B是公共角，
∴△BEF∽△BCA，
∴BE：BC=BF：AB，
∴2：5=BF：3，
∴BF= 65 cm，
∴BP=2BF= 125 （cm），
此时t= 125 ；
③如图2：
当BP=EP时，过点P作PF⊥BE于F，
∴BF=EF= 12 BE=1（cm），
∵∠PFB=∠A=90°，∠B是公共角，
∴△PBF∽△CBA，
∴BF：BA=BP：BC，
即1：3=BP：5，
∴BP= 53 cm，此时t= 53 ；
（ 2 ）如图3：
当P在CA上时，
∵∠A=90°，
∴BP＞AB＞BE，BP2=AB2+AP2 ， PE2=AE2+AP2 ，
∴BP＞PE，
∴当BE=PE=2cm时，△BEP为等腰三角形，
在Rt△AEP中，AP= PE2?AE2 = 3 （cm），
∴t=BC+AC﹣AP=5+4﹣ 3 =9﹣ 3 （cm）．
综上可得：当t=2或 125 或 53 或9﹣ 3 时，△BEP为等腰三角形．
故答案为：2或 125 或 53 或9﹣ 3 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴ ADAC = ACAB ，即 6AC = AC8+6 ，解得，AC=2 21 ．
18.五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．
解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD）， ∴AD= AB=10 ﹣10， ∵EC+CD=AC+CD=AD， ∴EC+CD=（10 ﹣10）cm
19.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，
（1）求证：△ACD∽△BED；
（2）求DC的长．
（1）证明：∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED
（2）解：∵△ACD∽△BED，
∴ DCDE ＝ ADBD ，
又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，
∴AD＝6，DE＝10，
∵BD＝8，
∴ DC10 ＝ 68 ．
∴DC＝ 152 ．
20.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝________
（2）求边x、y的长度．
（1）83° （2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ x8 ＝ y11 ＝ 96 ，
解得：x＝12，y＝ 332 ．
解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
21.如图，直线 AB与坐标轴交与点 A(0,6),?B(8,0) ， 动点P沿路线 O→B→A 运动.
（1）求直线AB的表达式;
（2）当点P在OB上，使得AP平分 ∠OAB 时，求此时点P的坐标;
（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，6），B（8，0），
∴ {b＝68k+b＝0 ，
∴ {k=?34b=6 ，
∴直线AB的解析式为y= ?34 x+6
（2）解：方法1、如图1，
∵A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，AB=10，
过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，
∴∠C=∠OAP，
∵AP平分∠OAB，
∴∠OAP=∠BAP，
∴∠C=∠BAP，
∴BC=AB=10，
∵BC∥OA，
∴△AOP∽△CBP，
∴ OPBP=OABC = 35 ，
∴ OPOB=38 ，
∴OP=3，
∴P（3，0）；
方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，
∵AP是∠OAB的角平分线，
∴OP=PM，
设OP=m，
∴PM=m，
∴BP=OB-OP=8-m
易知，△AOP≌△AMP，
∴AM=OA=6，
∴BM=AB-AM=4，
在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2 ，
∴m=3，
∴P（3，0）.
故答案为：（1）y= ?34 x+6；（2）P（3，0）
22.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF.
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由.
（1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，
则四边形FECH为矩形，
∴CH＝EF，
在△ACD和△DHF中，
{∠CAD=∠HDF∠ACD=∠DHF=90°AD=DF ，
∴ΔACD?ΔDHF(AAS)
∴DH=AC ，
∵AC=CB ，
∴DH=CB ，
∴DH?CD=CB?CD ，即 HG=BD ，
∴BD=EF
（2）解： BD=EF ，
理由如下：作 FG⊥BC 交 BC 的延长线于 G ，
则四边形 FECG 为矩形，
∴CG=EF ，
∵∠CAD=∠GDF ， ∠ACD=∠DGF=90° ，
∴ΔACD∽ΔDGF ，
∴ DGAC=DFAD=2 ，即 DG=2AC ，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四边形FECG为矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF.
23.如图1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 与点 A,B 不重合），连接 CE ，过点 B 作 BF⊥CE 于点 G ，交 AD 于点 F .
（1）求证： ΔABF???≌????ΔBCE ；
（2）如图2，当点 E 运动到 AB 中点时，连接 DG ，求证： DC=DG ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 C 作 CM⊥DG 于点 H ，分别交 AD???,???BF 于点 M???,???N ，求 MNNH 的值.
（1）证明：∵ BF⊥CE ，
∴ ∠CGB=90° ，
∴ ∠GCB+∠CBG=90° ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠CBE=90°=∠A???,???BC=AB ，
∴ ∠FBA+∠CBG=90° ，
∴ ∠GCB=∠FBA ，
∴ ΔABF???≌????ΔBCE(ASA)
（2）证明：如图2，过点 D 作 DQ⊥CE 于 Q ，
设 AB=CD=BC=2a ，
∵点 E 是 AB 的中点，
∴ EA=EB=12AB=a ，
∴ CE=5a ，
在 RtΔCEB 中，根据面积相等，得 BG?CE=CB?EB ，
∴ BG=255a ，
∴ CG=CB2?BG2=455a ，
∵ ∠DCE+∠BCE=90°???,???∠CBF+∠BCE=90° ，
∴ ∠DCE=∠CBF ，
∵ CD=BC???,???∠CQD=∠CGB=90° ，
∴ ΔCQD???≌????ΔBGC(AAS) ，
∴ CQ=BG=255a ，
∴ GQ=CG?CQ=255a=CQ ，
∵ DQ=DQ???,???∠CQD=∠GQD=90° ，
∴ ΔDGQ???≌????ΔDCQ(SAS) ，
∴ CD=GD
（3）解：如图3，过点 D 作 DQ⊥CE 于 Q ，
SΔCDG=12CG?DQ=12CH?DG ，
∴ CH=CG?DQDG=85a ，
在 RtΔCHD 中， CD=2a ，
∴ DH=CD2?CH2=65a ，
∵ ∠MDH+∠HDC=90°???,???∠HCD+∠HDC=90° ，
∴ ∠MDH=∠HCD ，
∴ ΔCHD???∽ΔDHM ，
∴ DHCH=HMDH=34 ，
∴ HM=910a ，
在 RtΔCHG 中， CG=455a???,???CH=85a ，
∴ GH=CG2?CH2=45a ，
∵ ∠NGH+∠CGH=90°???,???∠HCG+∠CGH=90° ，
∴ ∠NGH=∠HCG ，
∴ ΔNGH???∽ΔGCH ，
∴ HNHG=HGCH ，
∴ HN=HG2CH=25a ，
∴ MN=HM?HN=12a ，
∴ MNNH=12a25a=54
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A(?2,0) ，点 B(4,0) ，与 y 轴交于点 C(0,8) ，连接 BC ，又已知位于 y 轴右侧且垂直于 x 轴的动直线 l ，沿 x 轴正方向从 O 运动到 B （不含 O 点和 B 点），且分别交抛物线，线段 BC 以及 x 轴于点 P,D,E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 AC ， AP ，当直线 l 运动时，求使得 △PEA 和 △AOC 相似的点 P 的坐标；
（3）作 PF⊥BC ，垂足为 F ，当直线 l 运动时，求 Rt△PFD 面积的最大值．
（1）解：由已知，将 C(0,8) 代入 y=ax2+bx+c ，∴ c=8 .
将点 A(?2,0) 和 B(4,0) 代入 y=ax2+bx+8 ，得 {4a?2b+8=016a+4b+8=0 ，
解得 {a=?1b=2 .∴抛物线的表达式为 y=?x2+2x+8
（2）解：∵ A(?2,0) ， C(0,8) ，
∴ OA=2 ， OC=8 .
∵ l⊥x 轴，
∴ ∠PEA=∠AOC=90° ，
∵ ∠PAE≠∠CAO ，
∴只有当 ∠PAE=∠ACO 时， △PEA∽AOC ，
此时 AECO=PEAO ，即 AE8=PE2 ，
∴ AE=4PE .
设点 P 的纵坐标为 k ，则 PE=k ， AE=4k ，
∴ OE=4k?2 ，
∴ P 点的坐标为 (4k?2,k) ，将 P(4k?2,k) 代入 y=?x2+2x+8 ，得
?(4k?2)2+2(4k?2)+8=k ，
解得 k1=0 （舍去）， k2=2316 .
当 k=2316 时， 4k?2=4×2316?2=154 .
∴ P 点的坐标为 (154,2316) .
（3）解：在 RtΔPFD 中， ∠PFD=∠COB=90° ，
∵ l∥y 轴，
∴ ∠PDF=∠OCB ，
∴ RtΔPFD∽RtΔBOC ，
∴ SΔPFDSΔBOC=(PDBC)2 ，
∴ SΔPFD=(PDBC)2?SΔBOC .
由 B(4,0) ，知 OB=4 ，又 OC=8 ，
∴ BC=OB2+QC2=42+82=45 ，
又 SΔBOC=12OB?OC=12×4×8=16 .
∴ SΔPFD=PD2(45)2×16=15PD2 .
∴当 PD 最大时， SΔPFD 最大.
由 B(4,0) ， C(0,8) 可解得 BC 所在直线的表达式为 y=?2x+8 .
设 P(m,?m2+2m+8) ，则 D(m,?2m+8) ，
∴ PD=?m2+2m+8?(?2m+8)=?m2+4m=?(m?2)2+4 .
∴当 m=2 时， PD 有最大值4.
∴当 PD=4 时， (SΔPFD)最大=15×42=165 .
2019--2020学年度第一学期九年级单元试卷
数 学 科 答 卷 考号:
题号
一
二
三
总分
得分
选择题（每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
填空题（每小题4分，共24分）
11. 12. 13. 14. 15. 16.
三、解答题（共66分）
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
23.
24.
