浙教版备考2020中考数学考点导练案41讲 第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积（原卷+解析卷）
文档属性
| 名称 | 浙教版备考2020中考数学考点导练案41讲 第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积（原卷+解析卷） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 511.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-23 15:44:58 | ||
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文档简介
第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积
【考点整理】
1．正多边形和圆
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的___________；
圆内接正多边形：这个正多边形叫做圆内接正多边形．
正多边形的对称性：正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条．
【智慧锦囊】
正多边形的有关计算：
(1)边长：an＝2Rn·sin；
(2)周长：pn＝n·an；
(3)边心距：rn＝Rn·cos；
(4)面积：Sn＝an·rn·n；
(5)内角＝；
(6)外角＝；
(7)圆心角＝.
2. 2．圆的周长与弧长公式
圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长c＝________.
弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长是l＝________.
3．扇形的面积公式
(1)对于半径是R，圆心角是n°的扇形的面积是S＝______①；
(2)对于弧长是l，半径是R的扇形的面积是S＝______②.
说明：当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式①；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式②.
4．圆锥的侧面积和全面积
圆锥侧面展开图：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的________长．
圆锥侧面积与全面积：如图31－2，若圆锥的 底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积S侧＝_________.全面积S全＝______________.
【智慧锦囊】
圆锥的基本特征：
(1)圆锥的母线长都相等；
(2)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周
长的扇形．
【解题秘籍】
1．三招教你求阴影部分的面积
思路：(1)将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形的面积和差；
(2)适当作辅助线，将所求阴影部分面积割补为学过易求图形的面积．
方法：(1)作差法；(2)割补法；(3)等积变形法．
2．解圆锥(柱)题的“四字诀”——展，围，转，剖,展：把一个圆锥(柱)的侧面沿着它的一条母线剪开后展在一个平面上的一种活动；
围：将扇形围成圆锥侧面或矩形卷成圆柱侧面的一种活动；
转：圆锥(柱)可以看成是由一个直角三角形(矩形)旋转得到的；
剖：对圆锥(柱)沿着它的轴将其一分为二，所得到的截面一般是等腰三角形(矩形)，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径(矩形的一边长等于圆柱的母线长，另一边长等于圆柱的底面直径)．
【易错提醒】
1．在应用公式弧长l＝与扇形的面积公式S＝计算时，“n”和“180”不再写单位．
2．(1)圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高；(2)圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径，注意与圆锥底面半径的区分．
【题型解析】
1. 正多边形的性质
【例题1】已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是( ).
A．3 B．9 C．18 D．36
2. 弧长计算
【例题2】（2019?山东泰安?4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
3. 扇形的面积计算
【例题3】(2019，山西，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 圆锥(柱)侧面展开图和全面积的计算
【例题4】一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如 图所示，则该几何体的全面积(即表
面积)为_________(结果保留π)．
5. 平面图形的滚动问题
【例题3】（2019?四川省凉山州?4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3. （2019?四川省广安市?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
4. (2019?云南?4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
5. （2019?浙江宁波?4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
二、填空题：
6. （2019?山东青岛?3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 °．
7. （2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
8. （2019?湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为 ．
三、解答题
9. （2019?贵州省铜仁市?12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
10. （2019?浙江衢州?8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
11. （2019?湖南邵阳?8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
12. （2019?湖北武汉?8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【参考答案】
【考点整理】：1.外接圆;2. 2πR , ,,lR;4. 母线, πrl, πr2＋πrl;
【题型解析】
1. 正多边形的性质
【例题1】已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是( ).
A．3 B．9 C．18 D．36
【解析】 连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积＝18.
2. 弧长计算
【例题2】（2019?山东泰安?4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．
3. 扇形的面积计算
【例题3】(2019，山西，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】作DE⊥AB于点E，连接OD，在Rt△ABC中：tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，∠BOD=2∠CAB=60°.
在Rt△ODE中：OE=OD=，DE=OE=.
S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
=，故选A
4. 圆锥(柱)侧面展开图和全面积的计算
【例题4】一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如 图所示，则该几何体的全面积(即表
面积)为_________(结果保留π)．
【解析】 圆锥的母线长是＝5，
圆锥的侧面积是4π×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π，
该几何体的下底面面积是π×42＝16π，
∴该几何体的全面积(即表面积)为
20π＋32π＋16π＝68π.
5. 平面图形的滚动问题
【例题3】（2019?四川省凉山州?4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
3. （2019?四川省广安市?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，
故选：A．
4. (2019?云南?4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
【考点】圆锥的侧面积与全面积．
【分析】根据圆锥的侧面积与全面积公式即可求解．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴，∴，圆锥的全面积等于，故选A．
5. （2019?浙江宁波?4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
二、填空题：
6. （2019?山东青岛?3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 54 °．
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案为：54．
7. （2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 6π ．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：＝6π，
故答案为：6π．
8. （2019?湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为 π ．
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据三角形的内角和得到∠AOD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长个公式即可得到结论．
【解答】解：连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
三、解答题
9. （2019?贵州省铜仁市?12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
10. （2019?浙江衢州?8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
【答案】 （1）证明：如图，连结OD．
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B，
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
11. （2019?湖南邵阳?8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝＝4．
12. （2019?湖北武汉?8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC.OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；
（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC.OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴＝，
∴OA2＝AD?BC，
∴（AB）2＝AD?BC，
∴AB2＝4AD?BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝OA，
Rt△BOC中，BC＝OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．
【考点整理】
1．正多边形和圆
正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的___________；
圆内接正多边形：这个正多边形叫做圆内接正多边形．
正多边形的对称性：正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条．
【智慧锦囊】
正多边形的有关计算：
(1)边长：an＝2Rn·sin；
(2)周长：pn＝n·an；
(3)边心距：rn＝Rn·cos；
(4)面积：Sn＝an·rn·n；
(5)内角＝；
(6)外角＝；
(7)圆心角＝.
2. 2．圆的周长与弧长公式
圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长c＝________.
弧长公式：若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长是l＝________.
3．扇形的面积公式
(1)对于半径是R，圆心角是n°的扇形的面积是S＝______①；
(2)对于弧长是l，半径是R的扇形的面积是S＝______②.
说明：当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式①；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式②.
4．圆锥的侧面积和全面积
圆锥侧面展开图：沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的________长．
圆锥侧面积与全面积：如图31－2，若圆锥的 底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积S侧＝_________.全面积S全＝______________.
【智慧锦囊】
圆锥的基本特征：
(1)圆锥的母线长都相等；
(2)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周
长的扇形．
【解题秘籍】
1．三招教你求阴影部分的面积
思路：(1)将所求阴影部分的面积转化为已学过的易求图形的面积和差；
(2)适当作辅助线，将所求阴影部分面积割补为学过易求图形的面积．
方法：(1)作差法；(2)割补法；(3)等积变形法．
2．解圆锥(柱)题的“四字诀”——展，围，转，剖,展：把一个圆锥(柱)的侧面沿着它的一条母线剪开后展在一个平面上的一种活动；
围：将扇形围成圆锥侧面或矩形卷成圆柱侧面的一种活动；
转：圆锥(柱)可以看成是由一个直角三角形(矩形)旋转得到的；
剖：对圆锥(柱)沿着它的轴将其一分为二，所得到的截面一般是等腰三角形(矩形)，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径(矩形的一边长等于圆柱的母线长，另一边长等于圆柱的底面直径)．
【易错提醒】
1．在应用公式弧长l＝与扇形的面积公式S＝计算时，“n”和“180”不再写单位．
2．(1)圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高；(2)圆锥的母线长为侧面展开后所得扇形的半径，注意与圆锥底面半径的区分．
【题型解析】
1. 正多边形的性质
【例题1】已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是( ).
A．3 B．9 C．18 D．36
2. 弧长计算
【例题2】（2019?山东泰安?4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
3. 扇形的面积计算
【例题3】(2019，山西，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 圆锥(柱)侧面展开图和全面积的计算
【例题4】一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如 图所示，则该几何体的全面积(即表
面积)为_________(结果保留π)．
5. 平面图形的滚动问题
【例题3】（2019?四川省凉山州?4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3. （2019?四川省广安市?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
4. (2019?云南?4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
5. （2019?浙江宁波?4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
二、填空题：
6. （2019?山东青岛?3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 °．
7. （2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
8. （2019?湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为 ．
三、解答题
9. （2019?贵州省铜仁市?12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
10. （2019?浙江衢州?8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
11. （2019?湖南邵阳?8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
12. （2019?湖北武汉?8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【参考答案】
【考点整理】：1.外接圆;2. 2πR , ,,lR;4. 母线, πrl, πr2＋πrl;
【题型解析】
1. 正多边形的性质
【例题1】已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是( ).
A．3 B．9 C．18 D．36
【解析】 连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积＝18.
2. 弧长计算
【例题2】（2019?山东泰安?4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（ ）
A．π B．π C．2π D．3π
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故选：C．
3. 扇形的面积计算
【例题3】(2019，山西，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】作DE⊥AB于点E，连接OD，在Rt△ABC中：tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，∠BOD=2∠CAB=60°.
在Rt△ODE中：OE=OD=，DE=OE=.
S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
=，故选A
4. 圆锥(柱)侧面展开图和全面积的计算
【例题4】一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如 图所示，则该几何体的全面积(即表
面积)为_________(结果保留π)．
【解析】 圆锥的母线长是＝5，
圆锥的侧面积是4π×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π，
该几何体的下底面面积是π×42＝16π，
∴该几何体的全面积(即表面积)为
20π＋32π＋16π＝68π.
5. 平面图形的滚动问题
【例题3】（2019?四川省凉山州?4分）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2．
A． B．2π C．π D．π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．
【同步检测】
一、选择题：
1. （2019浙江丽水3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
2. （2019·贵州贵阳·3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
3. （2019?四川省广安市?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，
故选：A．
4. (2019?云南?4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( )
A．48π B．45π C．36π D．32π
【考点】圆锥的侧面积与全面积．
【分析】根据圆锥的侧面积与全面积公式即可求解．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴，∴，圆锥的全面积等于，故选A．
5. （2019?浙江宁波?4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
二、填空题：
6. （2019?山东青岛?3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是 54 °．
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据五边形的内角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圆周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，
∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，
∴∠CDF＝∠DAF＝18°，
∴∠BDF＝36°+18°＝54°，
故答案为：54．
7. （2019?湖北十堰?3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 6π ．
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．
【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积为：＝6π，
故答案为：6π．
8. （2019?湖北黄石3分）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，O是BC上一点，经过C.D两点的⊙O分别交AC.BC于点E.F，AD＝，∠ADC＝60°，则劣弧的长为 π ．
【分析】连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠ADF＝90°，根据三角形的内角和得到∠AOD＝120°，根据三角函数的定义得到CF＝＝4，根据弧长个公式即可得到结论．
【解答】解：连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝60°，∠A＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°，
∴∠COD＝120°，
在Rt△CAD中，CD＝2AD＝2，
在Rt△FCD中，CF＝＝＝4，
∴⊙O的半径＝2，
∴劣弧的长＝＝π，
故答案为π．
三、解答题
9. （2019?贵州省铜仁市?12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
10. （2019?浙江衢州?8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
【答案】 （1）证明：如图，连结OD．
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B，
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
11. （2019?湖南邵阳?8分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝＝4．
12. （2019?湖北武汉?8分）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D.C两点．
（1）如图1，求证：AB2＝4AD?BC；
（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC.OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；
（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OC.OD，如图1所示：
∵AM和BN是它的两条切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE+∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD+∠COB＝90°，
∵∠AOD+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴＝，
∴OA2＝AD?BC，
∴（AB）2＝AD?BC，
∴AB2＝4AD?BC；
（2）解：连接OD，OC，如图2所示：
∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，，
∴△COD≌△CFD（SSS），
∴∠CDO＝∠CDF，
∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°，
在Rt△DAO，AD＝OA，
Rt△BOC中，BC＝OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．