浙教版2019-2020浙江省宁波市实验学校九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷解析版（稍难）

浙教版2019-2020浙江省宁波市实验学校九年级数学上册
第四章相似三角形单元培优试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如图，AB∥CD∥EF ， AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是(?? ).
A.?4.5?????????????????B.?5????????????????????????C.?2????????????????????????????????????D.?1.5
2.D,E是△ABC的边AB、AC的中点，△ABC、△ADE的面积分别为S、S1 ， 则下列结论中，错误的是（?? ）
A.?DE∥BC??????????????????????????B.?DE= BC???????????????????????????C.?S1= S??????????????????????????D.?S1= S
3.如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（?? ）
A.?（4，3）????????????B.?（3，4）?????????????????C.?（5，3）???????????????D.?（4，4）
4.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ??）
A.??????????B.?????????????C.??????????????D.?
5.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8.则D′F的长为（??? ）
A.?2 ?????????????????????????B.?4??????????????????????????C.?3???????????????????????????D.?2
6.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(????? )
A.?100cm2??????????????????B.?150cm2???????????????????C.?170cm2????????????D.?200cm2
7.如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （??? ）
A.?1：2?????????????????????B.?1：3????????????????????C.?1：4???????????????????????D.?2：3
8.如图，已知点A是一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB＝∠OAB，△OAB的面积为4，则点C的坐标为（?? ）
A.?（﹣8，0）???????????B.?（﹣6，0）?????????????????C.?（﹣ ，0）??????????????D.?（﹣ ，0）
9.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（??? ）

A.???????????B.??????????C.???????????D.?
10.已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：

①△BCE≌△ACF②△CEF为正三角形③∠AGE=∠BEC④若AF=1，则EG=3FG正确的有（ ??）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.如果 = ，那么 的值是________.
12.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为________.

13.如图，在 中， ，点 是边 上的一点， 于 ，则边 的长为________.

14.在平面直角坐标系中，点 的坐标分别是 ，以点 为位似中心，相们比为 ，把 缩小，得到 ，则点 的对应点 的坐标为________.
15.如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2＝AB?DC，则OD＝________.

16.如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn?nAn+1 ， 且点A0 ， A1 ， A2 ， A3 ， …，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1 ， 连接A1C2交A2B2于点D2 ， 连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1 ， 四边形A1B1C1D2的面积为S2 ， 四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn ， 则S2019＝________.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.

18.△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．

①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
19.城墙作为古城西安的地标性建筑，自然是吸引了不少人慕名而来，每逢春节，城墙上都会支起万盏花灯，小画和小明去城墙观赏花灯，看见宏伟的城墙后，他们想要测量城墙的高，小明在城墙下看见城墙上有一根灯杆 点A为灯泡的位置 ，于是小明提议用灯下的影长来测量城墙的高，首先小明站在E处，测得其影长 ，小画站在H处，测得其影长 ，小画和小明之间的距离 ，已知小明的身高DE为 ，小画的身高GH为 ，灯杆AB的高为 ，点B在直线AC上， ， ， ?请你根据以上信息，求出城墙的高BC．

20.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.

（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
21.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.

（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF?ED；
22.如图，抛物线y=－x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（－1，0）.

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.
（2）求△EMF与△BNF的面积之比.
23.如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动.连结DF，DE,EF.过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t(不考虑D、E、F在一条直线上的情况).

（1）填空：当t=________时，AF=CE，此时BH=________；
（2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
（3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S,△DEF的周长为C.
①求S关于t的函数关系式；
②直接写出周长C的最小值.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ，连接 ，又已知位于 轴右侧且垂直于 轴的动直线 ，沿 轴正方向从 运动到 （不含 点和 点），且分别交抛物线，线段 以及 轴于点 ．

（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 ， ，当直线 运动时，求使得 和 相似的点 的坐标；
（3）作 ，垂足为 ，当直线 运动时，求 面积的最大值．


浙教版2019-2020浙江省宁波市实验学校九年级数学上册
第四章相似三角形单元培优试卷
一、选择题(30分)
1.解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=6，BD=3，
∴ ，即 ，解得DF=4.5．
故答案为：A．
2.解：∵D、E是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，
∵DE∥BC，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即S1= S，
∴D符合题意，
故答案为：D．

3.解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 ，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）.
故答案为：A.
4.解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
5.解：连接 交 于点 ，如图所示：

∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
，
∵折叠矩形使 与 重合时， ， ，
∴ ， ，
∴则Rt △AOF ∽Rt △ADC
∴ ，即： ，
解得： ，
∴ 。
故答案为：C。
6.解：设AF＝x，则AC＝3x，FC=2x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2 ， 即302＝(3x)2+(6x)2 ，
解得，x＝2 ，
∴AC＝6 ，BC＝12 ，
∴剩余部分的面积＝ ×12 ×6 ﹣4 ×4 ＝100(cm2)。
故答案为：A。
7.解：如图，过O作 ，交AC于G，

∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又 ，
设 ，又 ，
，
故答案为：B．
8.解：∵A在直线y＝2x上，
∴设AB＝2x，OB＝x，
∵△OAB的面积为4，
∴ ?x?2x＝4，
解得：x＝2，
∴AB＝4，OB＝2，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝∠ABO＝90°，
∵∠ACB＝∠OAB，
∴△AOB∽△CAB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OC＝6，
即C的坐标是（﹣6，0），
故答案为：B.
9.解：当0＜x≤1时，如图1，

? ∵在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝1，
∴AO＝1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴
即
∴MN＝x，
∴y＝CP×MN＝(2?x)x＝?x2＋x（0＜x≤1），
∵?＜0，∴函数图象开口向下；
（2）当1＜x＜2，如图2，
?
同理证得，△CDB∽△CNM，
∴CPOC＝MNBD，
即
∴MN＝2?x，
∴y＝CP×MN＝（2?x）×（2?x）＝(2?x)2＝(x?2)2 ，
∵＞0，
∴函数图象开口向上；
综上所述，答案A的图象大致符合；
故答案为：A。
10.解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠B=∠DAC=∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，
∵BE=AF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），故①正确；
∴CF=CE，∠BCE=∠ACF，
∵∠ACF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠BCA=60°，
∴△CEF为正三角形.故②正确；
∵∠AGE=∠GAF+∠AFG=60°+∠AFG=∠AFC，
∴ ∠AGE=∠BEC 故③正确；
∵AF=1，∴BE=1，
∴AE=4-1=3
过点E作EH∥BC交AC于点H.

∴ ， 即 ， ∴EH=3，
∵AF∥EH，
∴ ,即得EG=3FG?，故④正确.
故答案为：D.
二、填空题(24分)
11.解：因为 = ，所以 ，计算得到 .
12.解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴AB＝4EF＝24m
故答案为：24m.
13.解：由射影定理得， ，
解得： ，
故答案为： .
14.解：以点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，点 的坐标是
则点 的对应点 的坐标为 或 ，即 或 ，
故答案为： 或 。
15.解：在△AOB和△AOC中，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴ ，
设OD＝x，则BD＝1+x，
∴ ，
∴AD ，AB ，
∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB?DC，
（ ）2═ （ ），
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x 或x （舍去），
因此AD 。
故答案为： 。
16.解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1 ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴A1D1＝ ，
同理可得：A2D2＝ ，
∴S1＝1﹣ ×1× ＝40﹣ ×40 ， S2＝4﹣ ×4，S3＝42﹣ ×42 ， …，Sn＝4n﹣1﹣ ×4n﹣1＝ ×4n﹣1 ，
∴S2019＝ ×42018 ，
故答案为： ×42018.
三、解答题（66分）
17. 解：∵矩形DEFG中DG∥EF，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∴ .
①若DE为宽，则 ，∴DG=50，此时矩形的面积是：50×40=2000平方米；
②若DG为宽，则 ，∴DE=48，此时矩形的面积是：48×40=1920平方米
18. 解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；

③ ，
点B经过的路径长
19. 解： ， ，
∽ ， ∽ ，
， ，
， ，
，
，
城墙的高BC为12m．
20. （1）证明：在ΔABC中，
∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F
∴∠AFE=∠AGC=90°
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AED=∠C
在ΔADE和ΔABC中，
∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB
∴ΔADE∽ΔABC

（2）解：在ΔAEF和ΔACG中，
∵∠AFE=∠AGC，∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔAGC
由（1）知ΔADE∽ΔABC
∴
又ΔAEF∽ΔAGC
∴
21. （1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB= ×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC= ×72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；

（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴ ，
∴AE2=EF×ED
22. （1）解： ，顶点M(1，4)
（2）解：
23. （1）；
（2）解：由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，又∵∠A=∠CBH=90°
∴△EBH∽△DAF∴ 即 ∴BH=
当点F在点B的左边时，即t＜4时，BF=12-3t
此时，当△BEF∽△BHE时： 即 解得：
此时，当△BEF∽△BEH时：有BF=BH，即 解得：
当点F在点B的右边时，即t＞4时,BF=3t-12
此时，当△BEF∽△BHE时： 即 解得：

（3）解：①∵EH∥DF
∴△DFE的面积=△DFH的面积= ；
②如图

∵BE=4，
∴CE=5，根据勾股定理得，DE=13，是定值，
所以当C最小时DE+EF最小，作点E关于AB的对称点E'
连接DE，此时DE+EF最小，
在Rt△CDE'中，CD=12，CE'=BC+BE'=BC+BE=13，
根据勾股定理得，DE'= ,
∴C的最小值= .
（1）解：∵BC=AD=9，BE=4，
∴CE=9-4=5，
∵AF=CE，
即：3t=5，
∴t= ，
∴ ，
即： ，
解得BH= ；
当t= 时，AF=CE，此时BH=

24. （1）解：由已知，将 代入 ，∴ .
将点 和 代入 ，得 ，
解得 .∴抛物线的表达式为

（2）解：∵ ， ，
∴ ， .
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴只有当 时， ，
此时 ，即 ，
∴ .
设点 的纵坐标为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ 点的坐标为 ，将 代入 ，得
，
解得 （舍去）， .
当 时， .
∴ 点的坐标为 .

（3）解：在 中， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
由 ，知 ，又 ，
∴ ，
又 .
∴ .
∴当 最大时， 最大.
由 ， 可解得 所在直线的表达式为 .
设 ，则 ，
∴ .
∴当 时， 有最大值4.
∴当 时， .