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3.4 简单几何体的表面展开图（3）
学习目标 1．了解圆锥是怎样的一种旋转体． 2．了解圆锥的表面展开图，并会画圆锥的表面展开图． 3．理解圆锥的表面展开图． 4．会计算圆锥的侧面积和全面积．
学习过程
以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是？ 问题：圆锥的底面半径、母线及其高的位置关系如图所示，它们存在怎样的数量关系呢？
（1）将一个圆锥模型的侧面沿它的一条母线剪开、铺平．观察所得的平面图形是什么图形． （2）圆锥的底面圆周长与侧面展开图有什么关系？ （3）推导圆锥的侧面积公式． （4）求圆椎的侧面展开图扇形的圆心角θ的弧度．
【例4】圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为38.7cm． （1）求这个烟囱帽的面积（精确到103cm）． （2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图．
已知圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm．求这个圆锥的侧面积和全面积．
如图为一个圆锥的三视图．以1︰10的比例画出它的表面展开图．
想一想：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗？ （2）以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ （3）若AB＝5，BC＝4，你能求出题（2）中几何体的表面积吗？
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3.4 简单几何体的表面展开图（3）
学习目标 1．了解圆锥是怎样的一种旋转体． 2．了解圆锥的表面展开图，并会画圆锥的表面展开图． 3．理解圆锥的表面展开图． 4．会计算圆锥的侧面积和全面积． 重点和难点 本节教学的重点是了解圆锥的侧面展开图及其画法． 理解圆锥侧面展开图的形状，以及它与圆锥母线长l，底面圆半径r之间的关系是本节教学的难点．
学习过程
以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体是？ 解：圆锥体 在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有那些特征？ 定义：圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，如图所示． 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面． 无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线． 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面． 问题：圆锥的底面半径、母线及其高的位置关系如图所示，它们存在怎样的数量关系呢？ 解：记圆锥底面半径为r，母线为l，高为h，则r2＋h2＝l2． 圆锥的侧面积和底面积的和叫做圆锥的全面积（或表面积）．即为S圆椎表＝S圆椎侧＋S圆椎底． 要让学生了解圆椎的表面展开图也得从圆锥是怎样一种旋转体说起，具体可按以下步骤进行． （1）利用课本图形或相应模型，帮助学生了解圆锥的底面是Rt△ABC的哪条边旋转一周而成的，Rt△ABC的斜边AB旋转一周形成了什么面，什么是圆锥的母线，圆锥的母线l和底面半径r，以及高h满足怎样的关系． （2）指导学生完成课本“合作学习”，知道圆锥的侧面展开图的形状，侧面展开图的弧长和底面圆周长的关系，这是推导圆锥侧面积公式的关键步骤．完成圆锥的侧面积公式和全面积公式的推导． （3）启发学生利用侧面展开图的弧长等于底面圆周长，推导侧面展开图中扇形的圆心角的计算公式． （4）通过例4让学生学会圆锥侧面展开图的画法．
（1）将一个圆锥模型的侧面沿它的一条母线剪开、铺平．观察所得的平面图形是什么图形． （2）圆锥的底面圆周长与侧面展开图有什么关系？ （3）推导圆锥的侧面积公式． （4）求圆椎的侧面展开图扇形的圆心角θ的弧度． （1）以母线为半径的一个扇形． （2）侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长． （3）S侧＝l×2πr＝πrl． （4）解：∵＝2πr，∴θ＝×360°．
【例4】圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为38.7cm． （1）求这个烟囱帽的面积（精确到103cm）． （2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图． 解：（1）∵l＝80cm，h＝38.7cm， ∴r＝＝≈70（cm）． ∴S＝πrl＝π×70×80≈1.8×104（cm2）． 答：烟囱帽的面积为1.8×104cm2． （2）烟囱帽的展开图的扇形圆心角为θ＝×360°＝×360°＝315°． 按1︰40的比例画这个烟囱帽的展开图，如图． 启发如下：根据圆锥的侧面积公式和已知的母线长，应先求出什么？怎样求？具体计算可让学生自主完成．讲解第（2）题应着重说明怎样求出展开图扇形的圆心角，根据给定的比例如何确定展开图扇形的半径大小．例如已知圆锥的母线l为80cm，按1︰40的比例，则所画展开图的扇形的半径应取2cm．
已知圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm．求这个圆锥的侧面积和全面积． 解：S侧＝240πcm2． S全＝384πcm2．
如图为一个圆锥的三视图．以1︰10的比例画出它的表面展开图． 解：由已知三视图， 得r＝120mm，l＝＝200（mm） ∴θ＝×360＝×360＝216°． 画图略．
想一想：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗？ （2）以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？ （3）若AB＝5，BC＝4，你能求出题（2）中几何体的表面积吗？ 解：（1）不相同． （2）两个圆锥的组合体． （3）∵AB＝5，BC＝4， ∴AC＝3． ∵AC×BC＝r×AB， ∴r＝， ∴S组合体表面积＝πr×AC＋πr×BC＝π××3＋π××4＝π．
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬一圈回到点B．问：蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CB的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥BC于D， 长是2π×1＝2π， 设侧面展开图的圆心角是n°， 则＝2π，解得n＝120， ∴∠DAC＝60°， ∵AC＝3， ∴AD＝，CD＝， 由垂径定理得BC＝2CD＝3， 即蚂蚁爬行的最短路程是3．
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(共13张PPT)
3.4 简单几何体的表面展开图（3）
以直角三角形一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转
一周而成的面所围成的几何体是？
圆锥体
在小学我们已学过圆锥，
哪位同学能说出圆锥有那些特征？
定义：
圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条
直角边旋转一周所成的图形，如图所示．
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．
无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的母线．
另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面．
问题：圆锥的底面半径、母线及其高的位置关系如图所示，
它们存在怎样的数量关系呢？
解：记圆锥底面半径为r，母线为l，高为h，
则r2＋h2＝l2．
圆锥的侧面积和底面积的和叫做圆锥的
全面积（或表面积）．
即为S圆椎表＝S圆椎侧＋S圆椎底．
（1）将一个圆锥模型的侧面沿它的一条母线剪开、铺平．观察所得的平面图形是什么图形．
（2）圆锥的底面圆周长与侧面展开图有什么关系？
（3）推导圆锥的侧面积公式．
（4）求圆椎的侧面展开图扇形的圆心角θ的弧度．
解：（1）以母线为半径的一个扇形．
（2）侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长．
（3）S侧＝l×2πr＝πrl．
（4）解：∵＝2πr，∴θ＝×360°．
【例4】圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为38.7cm．
（1）求这个烟囱帽的面积（精确到103cm）．
（2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图．
解：（1）∵l＝80cm，h＝38.7cm，
∴r＝＝ ≈70（cm）．
∴S＝πrl＝π×70×80≈1.8×104（cm2）．
答：烟囱帽的面积为1.8×104cm2．
（2）烟囱帽的展开图的扇形圆心角为
θ＝×360°＝×360°＝315°．
按1︰40的比例画这个烟囱帽的展开图．
已知圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm．求这个圆锥
的侧面积和全面积．
解：S侧＝240πcm2．
S全＝384πcm2．
如图为一个圆锥的三视图．以1︰10的比例画出它的
表面展开图．
想一想：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗？
（2）以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？
（3）若AB＝5，BC＝4，你能求出题（2）中几何体的表面积吗？
解：（1）不相同．
（2）两个圆锥的组合体．
（3）∵AB＝5，BC＝4，
∴AC＝3．
∵AC×BC＝r×AB，
∴r＝，
∴S组合体表面积＝πr×AC＋πr×BC
＝π××3＋π××4＝π．
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面
圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬一圈回到点B．问：蚂蚁爬
行的最短路程是多少？
解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面
的周长，对应的弦是最短距离，即CB的长是蚂蚁爬行的
最短路程，过A作AD⊥BC于D，
长是2π×1＝2π，
设侧面展开图的圆心角是n°，
则＝2π，解得n＝120，
∴∠DAC＝60°，
∵AC＝3，
∴AD＝，CD＝，
由垂径定理得BC＝2CD＝，
即蚂蚁爬行的最短路程是．
