浙教版2019-2020八年级数学上册期末冲刺满分 专题一 全等三角形（30题含答案）

2019-2020浙教版八年级数学上册期末冲刺满分专题一全等三角形
1.如图，△ABC中，∠A=40°，
（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；
（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；
（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；
（4）若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度数(用含β的代数式表示，直接写出结果)
2.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．

（1）当∠A=40°,∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3）小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
3.???
（1）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．
??
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．
A．SSS? B．SAS? C．AAS? D．ASA
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【学会运用】
如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD.
4.如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t.
（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由.
5.如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E.求证：△AEC≌△CDB.
（2）如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝________.
6.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性.
7.如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”有多少个；
（3）图2中，当∠D＝50°，∠B＝40°时，求∠P的度数.
8.（1）已知：如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°+ ∠A；
（1）如图2，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系.
（2）如图3，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系.
9.如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8。点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动。它们的运动时间为t(s).
???????
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变。设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，请说明理由。
10.如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=9cm，点D为AB的中点.
（1）如果点P在线段BC上以3cm每秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动：
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以&的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
11.在△ABC 中，AE、BF 是角平分线，交于 O 点.
（1）如图 1，AD 是高，∠BAC＝90°，∠C＝70°，求∠DAC 和∠BOA 的度数；
（2）如图 2，若 OE＝OF，求∠C 的度数；
（3）如图 3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求 S△AOB.
12.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 所示放置，图 是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，联结DC，
（1）请找出图 中的全等三角形，并给予说明 说明：结论中不得含有未标识的字母 ；
（2）试说明： ．
13.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BAC=α，∠BCE=β.
（1）如图1,如果∠BAC=90°，∠BCE=________度；
（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系?并说明理由。
（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。
14.如图，在 中， 的平分线交 于点 ， ， .
（1）如图1，若 ，垂足为 ，求 的度数；
（2）如图2，若点 是 延长线上的一点， 、 的平分线交于点 ，求 的度数.
15.如图，在△ABC中，AC
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
16.如图，在 中， ， 为 的中点， 分别为边 上的点，且 .
?
（1）求证： .
（2）当 时，求 的度数.
17.如图
（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．
18.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；
（3）在(2)的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长.
19.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．
20. 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作 ，交边AB于点D．
（1）如图1，①若∠ABC=40°，则∠AOC=________，∠ADO=________；②猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明你的理由________。
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F ． 若∠AOC=105°，∠F=32°，则∠AOD=________°.
21.△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ， 连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
22.如图：在△ABC中，己知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）设CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，试探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
23.如图

（1）如图1，AD是△ABC的一条中线，求证：S△ABD=S△ACD；
（2）请运用第（1）题的结论解答下列问题：如图2，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于一点G，若S△ABC=60，求图中阴影部分的面积．
24.如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，

（1）求△ABD的面积．
（2）求AC的长．
（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．
25.已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
（1）试说明：BE=CF；
（2）若AF=3，BC=4，求△ABC的周长.
26.阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝ ∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
（3）问题拓展：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．
求证：AC﹣AE＝ AF．
27.如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠CAE；
（2）求证：DE＝BD+CE；
（3）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，直接写出线段DE、BD、CE之间的数量关系．
28.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为________．
29.如图1所示，AE＝AF，AE⊥AF，E，F，B在同一直线上，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）求证：∠EAB＝∠FAC
（2）判断△AEB与△AFC是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，说明理由
（3）当EF＝FB时，如图2，求证：CE＝CB．
30.已知△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°.
（1）探究：如图①，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD.求证：BE＝AD，BE⊥AD.
（2）拓展：如图②，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE.若AE＝2，AD＝4，则 的值为________.

答案
1. （1）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×140°=70°，
∴∠BPC=180°-70°=110°
（2）解：∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴ ∠DBC= ∠A+ ∠ACB，
同理可得： ∠BCE= ∠A+ ∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴ (∠ACB+∠ABC)=90°- ∠A，
∵180°-∠BPC= ∠DBC+ ∠BCE= ∠A+ ∠ACB+ ∠A+ ∠ABC，
∴180°-∠BPC=∠A+ ∠ACB+ ∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°- ∠A，
∴∠BPC=90°- ∠A=70°
（3）解：∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点
∴
∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC
∴
（4）解：若 在(1)中 ；在(2)中，同理得 ；在(3)中同理可得∠P= β
2. （1）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∴∠ABC+∠ACB=2∠2+2∠4∵∠A=40°，∠ABC=60°，∴∠ACB=2∠2=180°-40°-60°=80°，∴∠2=30°，∠4=40°，∴∠BPC=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°. （2）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∵∠A= α° ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- α°即2∠2+2∠4=180°- α°∴∠2+∠4= ， ∵∠BPC=180°-（∠2+∠4）=180°-（）=；
（3）证明：如图，
∵BQ⊥BP∴∠QBP=∠2+∠QBC=90°，∴∠1+∠QBP+∠DBQ=180°，∴∠1+∠DBQ=90°，∵∠1=∠2∴∠QBC=∠DBQ，∴BQ是∠CBD的平分线.
3. （1）SAS；14. （1）解：如图2中，
①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G.
∵BA平分∠MAN，
∴BG＝BH，
∵S△ADB：S△BEC＝2：1，AD＝t，AE＝2t，
∴ ?t?BG： ?（6﹣2t）?BH＝2：1，
∴t＝ s.
②当点E运动到AC延长线上，同法可得t＝4时，也满足条件，
∴当t＝ s或4s时，满足S△ADB：S△BEC＝2：1
（2）解：存在.当D在AM延长线上时
∵∠BAD＝∠BCE＝45°，∴BA＝BC，
∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2s，
∴t＝2s时，△ADB≌△CEB.
当D在MA延长线上时，2t﹣6＝t，t＝6s，
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s
5. （1）证明：如图1中，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△AEC和△CDB中
,
∴△AEC≌△CDB（AAS）
（2）解：如图2中，因为AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，
由（1）可知：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，
∴S= （6+4）×16-18-12=50.
故答案为50.
6. （1）解：∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=80°；∵∠BOD=70°，∴∠B=30°（2）解：∠BOC=∠A+∠B+∠C.
理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C
7. （1）解：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B
（2）解：①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个;
（3）解：∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
即2∠P=∠D+∠B，
又∵∠D=50°，∠B=40°，
∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°
8. （1）解：∠BPC=90°? ∠A.
证明：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线,∠A为x°，
∴∠BCP= (∠A+∠ABC)、∠PBC= (∠A+∠ACB)，
由三角形内角和定理得,∠BPC=180°?∠BCP?∠PBC=180°? [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180°? (∠A+180°)=90°? ∠A
（2）2∠BEC=∠A.
证明：∵CE为∠ACB的角平分线，BE为△ABC外角∠ABD的平分线，两角平分线交于点E，
∴∠1=∠2,∠ABE= (∠A+2∠1),∠3=∠4,
在△ACF中,∠A=180°?∠1?∠3
∴∠1+∠3=180°?∠A①
在△BEF中,∠E=180°?∠4?∠ABE=180°?∠3? (∠A+2∠1)，
即2∠E=360°?2∠3?∠A?2∠1=360°?2(∠1+∠3)?∠A②，
把①代入②得2∠E=∠A，即2∠BEC=∠A.
9. （1）解：△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：当t=2时，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，∵ AC⊥AB，BD⊥AB，?∴∠PAB=∠PBQ=90°，在Rt△PAC和Rt△QBP中， ， ∴Rt△PAC≌Rt△QBP，∴∠APC=∠PQB，∵∠PQB+∠QPB=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC⊥PQ. （2）解：存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等，理由如下：1）若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，即,解得；2）若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BO，即,解得.
10. （1）解：①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=12，D为AB中点，
∴BD=6（厘米）
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）
∴PC=BD
在△BPD与△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵VP≠VQ ，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6.
∴点P的运动时间t= = =1.5（秒），
此时VQ= = =4（厘米/秒）
（2）解：因为VQ＞VP ， 只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒）
此时P运动了24×3=72（厘米）
又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇.
11. （1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO=30°，
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°
（2）解：如图2：连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF=∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM=ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，
?，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM=∠FON，
∴∠MON=∠EOF=180°-∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB=90°+ ∠ACB，
即90°+ ∠ACB=180°-∠ACB，
∴∠ACB=60°
（3）解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
∴AB= =10，
∵AE是角平分线，
∴ ，
∴BE=5，CE=3，
∵S△CEF= EC?CF= ×3?CF=4，
∴CF= ，
∴AF= ，
∵S△ABC= BC?AC= ×8×6=24，
∴S△ABF=S△ABC-S△BCF=24- ×8× =
∵AE平分∠BAC，
∴
∴ =3，
∴
∴S△AOB= =10.
12. （1）解：∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中

∴△BAE≌△CAD（SAS）
（2）解：由（1）得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°．
∵∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴DC⊥BE．
13. （1）90（2）解：由(1)中可知β=180°?α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
（3）解：连接AD，作AE使得∠DAE=∠BAC，AE=AD，连接DE、CE，可得下图：
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE；
在△ABD和△ACE中，
?
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°?∠BAC.
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°
14. （1）解：由（1）可得
? 的角平分线是AG
? ?
? ?
? ?
?DG是 的平分线
? ?
?
? ?

15. （1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
16. （1）证明：∵ ，
∴ .
∵ 为 的中点，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
由 得 ，
∴
17. （1）解：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE
（2）解：∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
18. （1）证明：∵
∴
又∵
∴
在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE；
（2）解： 理由如下：
连接FE， ∵
∴
由(1)知△ABD≌△ACE
∴ ，
∴
∴
∴ ?
∵AF平分
∴
在△DAF和△EAF中

∴△DAF≌△EAF
∴ .
∴ ；
（3）解：过点A作 于G
由(2)知 ?
∴
∴
∵
∴
∴ ?
∴在 中 .
19. （1）解：如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠A0B=60°，OB=OA=2，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC= OB=1，OC= ，
∴点B的坐标为B（ ，1）
（2）解：∠ABO=90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO与△AQB中，

∴△APO=△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°
（3）解：当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ= ，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ= ，
∴此时P的坐标为（- ，0）．
当点P在x轴正半轴时，点Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行；

20. （1）110°；110°；相等，理由设∠ABC=α，∴∠BAC+∠BCA=180°-α，∵△ABC中，三个内角的平分线交于点O，∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=90°-α，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+α，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=α，∵OD⊥OB，∴∠BOD=90°，∴∠BDO=90°-α，∴∠ADO=180°-∠BOD=90°+α，∴∠AOC=∠ADO （2）43
21. （1）解：设AP=x，则BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2
（2）证明：如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D为PQ中点
（3）解：运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，
理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴EF= AF ，
又∵△DQB≌△DPF，
∴DF=DB ， 即DF= BF ，
∴ED=EF+DF= (AF+BF)= AB=3
22. （1）证明： ∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，即∠BDN+∠NDE=∠MDC+∠NDE=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，
， ∴△DBN≌△DCM（ASA）.
（2）结论：NE﹣ME=CM，理由如下：
证明：由（1）可知△DBN≌△DCM，∴DM=DN，
作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD， ∴DF=FN，∵E为CD中点，∴CE=DE，在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），∴EF = EM，DF = CM，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．
23. （1）解：如图1，过点A作AM⊥BC，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD= BC，
∵S△ABD= BD×AM，S△ACD= CD×AM
∴S△ABD=S△ACD；
（2）解：∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=S△BGF=S△BGD=S△BDG=S△CDG ，
∵S△ABC=60
∴S△CGE=S△BGF= ×60=10，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=20．
24. （1）解：∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12，
∴△ABC的面积= BC?AF= ×12×6=36
（2）解：∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积= AC?BG=36，
∴AC=
（3）解：△ABD和△ACD的面积相等．
∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD，
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD ．
25. （1）解：连接DB、DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DF，BD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF
（2）解：∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE=3，
由（1）得：BE=CF，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF﹣CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10.
26. （1）2＜AD＜10（2）证明：延长CB到G，使BG＝DF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝ ∠BAD，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝BE+BG＝BE+DF
（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，AH＝AE，
在Rt△DEF和Rt△DHB中，

∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）
∴∠DFA＝∠DBA，
在△DAF和△DRB中，
，
∴△DAF≌△DRB（SAS）
∴DA＝DR，
∴AH＝HR＝AE＝ AR，
∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE
∴AC﹣AE＝ AF．
27. （1）证明：∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE
（2）证明：在△BAD和△ACE中
∵ ，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AE+AD，
∴DE＝BD+CE
（3）解：DE＝CE﹣BD，
同（2）可得△BAD≌△ACE，
故BD＝AE，AD＝CE，
又DE＝AD﹣AE，
∴DE＝CE﹣BD
28. （1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF（AAS）
（2）证明：如图③，
∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
（3）1
29. （1）证明：∵AE⊥AF，∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC
（2）解：△AEB与△AFC全等．
理由如下：在△EAB和△FAC中，
，
∴△EAB≌△FAC
（3）证明：由（2）得，△EAB≌△FAC，
∴∠ACF＝∠ABE，
∵∠ACF+∠AHC＝90°，∠AHC＝∠FHB，
∴∠FHB+∠ABE＝90°
∴CF⊥BE，又EF＝FB，
∴CE＝CB．
30. （1）解：探究：延长DA交BE于F.
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴BC＝CA，EC＝CD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∴∠ADC+∠EBC＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴BE⊥AD
（2）解：拓展：作FM⊥DE于M，FN⊥BE于N.
由探究可知：BE⊥DE，BE＝AD＝4，∠FEM＝∠FEB＝45°，
∵FM⊥DE于M，FN⊥BE于N.
∴FM＝FN，
∵ EB?FN+ ?AE?FM＝ BE?AE，
∴FM＝FN＝ ，
∴EF＝ ，
∵CE＝CD＝3 ,
∴CF＝ ，
∴EF：CF＝4：5.
故答案为 .