1.3 解直角三角形（4） 同步训练
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初中数学浙教版九年级下册1.3 解直角三角形（4） 同步训练
一、基础夯实
1.如图，一艘船由 港沿北偏东65°方向航行 至 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 港， 港在 港北偏东20°方向，则 ， 两港之间的距离为（???? ） . 21教育网
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(???? )
A.?n mile??????????????????B.?60 n mile??????????????????C.?120 n mile??????????????????D.?n mile
3.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（ ???） www.21-cn-jy.com
A.?60（ +1)米???????????????B.?30（ +1)米???????????????C.?（90-30 )米???????????????D.?30（ -1)米
4.如图，甲同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时甲同学离A地(?? ) 21·cn·jy·com
A.?m??????????????????????????????B.?100m??????????????????????????????C.?150m??????????????????????????????D.?m
5.如图，小明从A处出发沿北偏东6０°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发一致，则方向的调整应是（ ?） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?右转80°????????????????????????????B.?左转80°????????????????????????????C.?右转100°????????????????????????????D.?左转100°
6.如图，校园内一株树与地面垂直，两次测量它在地面的影长，第一次为太阳光线与地面成60°角时，第二次为太阳光线与地面成30°角时，两次影长差8米，则树高________米（结果保留根号）
7.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程________（结果保留根号） 【来源：21cnj*y.co*m】
8.如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁． 【出处：21教育名师】
（1）B处离岛C有多远？
（2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛C最近的位置？
（3）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
二、提高特训
9.小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，然后向左转30°行走到C地，则下面表述中，正确的个数是（?? ）
①B可能在C的北偏西m°方向；②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；③B不可能在C的南偏西m°方向；④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
A.?20（ +1）??????????????????????????B.?20（ ﹣1）??????????????????????????C.?200??????????????????????????D.?300
11.如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ??）
A.?（ ﹣1）小时????????????????????B.?（ +1）小时????????????????????C.?2小时????????????????????D.?小时
12.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（???? ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： ） 2·1·c·n·j·y
A.?4.64海里???????????????????????????B.?5.49海里???????????????????????????C.?6.12海里???????????????????????????D.?6.21海里
13.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行1．5小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港 在北偏东 方向为了在台风到来之前用最短时间到达 处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号) www-2-1-cnjy-com
14.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度________．
15.如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile.参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
16.在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动.具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100 米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向.已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒.
（1）请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，计算结果保留两位小数）. 【版权所有：21教育】
（2）请你以交通警察叔叔的身份对此小轿车的行为作出处理意见，并就乡村公路安全管理提出自己的建议。（处理意见合情合理，建议尽量全面。）
17.如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′= ，cos22°37′= ，tan22°37′= ）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC= （冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC= 计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
答案解析部分
一、基础夯实
1. B
解：根据题意作BD垂直于AC于点
D.可得AB= ，
?
所以可得
?
?
因此可得
故答案为：B.
【分析】利用方向角得到∠DAB=45°、∠DCB=60°，然后在△ABD和△BCD中利用三角函数分别求出AD和CD的长，相加即可。21cnjy.com
2. D
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD= ，
∴CD=AC?cos∠ACD=60× ．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30 ，
∴AB=AD+BD=30+30 ．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30 ）nmile．
故答案为：D．
【分析】过C作CD⊥AB于D点，在Rt△ACD中利用解直角三角形可求出CD的长，根据等角对等边可得CD=BD=30 ，由AB=AD+BD，即可求出AB的长.
3. B
解：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意知：∠BAD=45°，∠BCD=30°， 在Rt△ABD中，∵∠BAD=45°，∴AD=BD, 在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°，∴DC= ∵CD=AD+AC,AC=60米， ∴=60+BD, ∴BD= 30（ +1)米 ; 故答案为：B。 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出AD=BD,DC=， 从而由CD=AD+AC建立方程，求解即可。
4. D
解：如图：
∵AD=AB?sin60°=50 ，BD=AB?cos60°=50
∴CD=150
。
故答案为：D。
【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长.再利用勾股定理求AC的长即可。
5. A
如图，∠DCE=20°+60°=80°。
故答案为：A
【分析】由图形可知调整的方向由CD转到CE方向，再根据平行线的性质即可判断应右转80°。
6.
解：设AB=x， 在RtABC中,tan∠ACB= ∴BC=AB?tan∠ACB=x?tan60°， 同理：BD=x?tan30°， ∵两次测量的影长相差8米， ∴x?tan30°?x?tan60°=8， ∴x= 故答案为: 【分析】根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值分别表示出BC,BD的长，然后根据BD-BC=8，列出方程，求解即可。
7. 10 海里
由已知可得：AC=60×0.5=30海里，
又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，
∴∠BAC=90°，
又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，
∴∠C=30°，
∴AB=AC?tan30°=30× =10 海里．
答：乙船的路程为10 海里．
故答案为：10 海里．
【分析】根据路程等于速度乘以时间算出AC的长，根据题意得出∠BAC=90°，∠C=30°，然后根据正切函数的定义，由AB=AC?tan30°即可算出AB的长。21*cnjy*com
8. （1）解：过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的60°，
∴∠CAB=30°，
又∵B处测得岛C在北偏东30°，
∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴BC=AB=12×1=12（海里）（等边对等角）
（2）解：∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴BO=BC×cos∠CBO=12× =6（海里），
6÷12=0.5（小时），
答：如果渔船继续向东航行，需要0.5小时到达距离岛C最近的位置。
（3）解：∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴CO=BC×sin∠CBO=12×sin60°=6 （海里），
∵6 ＞10，
∴如果渔船继续向东航行，没有触礁危险。
【分析】（1）通过题意可分析得到∠ACB=∠CAB，即可得到BC=AC=12海里； （2）过C作CO⊥AB，O点即渔船向东航行到达距离岛C最近的位置，通过解直角三角形可求出BO，再根据时间=即可； （3）通过解直角三角形求出CO，再判断CO的距离和10的大小关系，大于10即无触礁危险。
二、提高特训
9. B
分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．
∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m＋30）°方向，故②正确；
∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；②当m=60°时，如图2，
m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C的正西方向；③当60°＜m＜90°时，如图3．
∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，∴B在C的南偏西（150－m）°方向，故④正确．
当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．
故答案为：B．
【分析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时? ?②当m=60°时? ? ?③ 当60°＜m＜90°时，分别画图分析即可。21·世纪*教育网
10. A
解: 作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD?tan∠ABD=200 （米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 （米）．
则平均速度是 =20（ +1）米/秒．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，根据tan∠ABD=可求得AD的值，同理可得同理，CD=BD，所以AC=AD+AD，则 这时段动车的平均速度=AC10可求解。
11. B
解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD= MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（ ﹣1）MD=2： +1．
故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ +1）小时．
故答案为：B．
【分析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD= MD，在Rt△BDM中，根据等腰直角三角形的性质得出BD=MD，根据垂径定理得出BC=2MD，根据路程除以速度等于时间，得出BC：AB=2MD：（ ﹣1）MD=2： +1= +1 ．
12.B
解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.21教育名师原创作品
13.
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ-90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°= PQ（海里）， 所以 PQ-90= PQ， 所以 PQ=45（3+ ）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里） 在直角△BMN中，∠MBN=30°， 所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里） 所以 （小时） 故答案是： ． 【分析】根据题意，添加辅助线：过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在Rt△AQP和Rt△BPQ中，利用解直角三角形分别求出BQ=PQ-90，及BQ=PQ，建立方程求出PQ及MN的长，从而可求出MB的长，再根据路程除以速度=时间，即可求解。
14.海里/小时
过点A作AD⊥OB于点D， 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=40海里， ∴AD= OA=20海里， 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B， ∴BD=AD=20（海里）， ∴AB= = AD=20 （海里）， ∴该船航行的速度为20 ÷0.5=40 （海里/小时）， 故答案为：40 海里/小时. 【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AD= OA=20海里，在Rt△ABD中，由已知可得∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，所以BD=AD=20（海里），在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AB==AD=20,所以该船航行的速度为20÷0.5=40。
15. 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示.
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°.
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形.
又∵∠CFE＝90°，
∴?CDEF为矩形，
∴CF＝DE.
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°.
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝ ，
∴AE＝ ＝x（nmile）.
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝ ，
∴BE＝ ＝ x（nmile）.
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣ x＝6，解得：x＝9+3 ，
∴CF＝DE＝（9+3 ）nmile.
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝ ，
∴BC＝ ≈20（nmile）.
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile。
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示 ， 首先判断出四边形CDEF为平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形CDEF为矩形， 设DE＝x ，从而根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值，表示出AE,BE,的长，进而根据 AE﹣BE＝AB 列出方程，求解得出x的值，得出CF的长，最后再根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 sin∠CBF＝ ， 即可算出BC的长.21*cnjy*com
16. （1）解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，AC=100 ，
∴CD=AC?cos∠ACD= AC=100，
∴AD=CD=100.
∵在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD= CD=100 .
∴AB=AD+BD=100+100 =100（ +1）≈273.
又∵小轿车经过AB路段用时13秒，
∴小轿车的速度为 =21米/秒=75.6千米/时.
而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒，
∵21＞16.67，
∴这辆小轿车超速了.
（2）解：处理意见： 在限速为50公里以上80公里以下的道路，时速超过限定时速10%以上不到20%的，处100元罚款;超过限定时速20%以上不到50%的，处150元罚款等，因为60×（1+10%）=66千米/时，60×（1+20%）=72千米/时<75.6千米/时<60×（1+50%），所以应该是处150元罚款；因为小车超速未达20%的扣3分，超速20%以上未达到50%的扣6分，所以扣6分. 21世纪教育网版权所有
建议：①地方公安机关依法严格查处道路交通违法行为和交通事故；指导地方公安机关维护城乡道路交通秩序和公路治安秩序，加强车辆的维护和检查工作；②让人民群众认真学习交通安全的法律法规，遵守交通规则，加强安全意识，树立交通安全文明公德，远离伤痛，珍爱生命；③提高驾驶员的职业修养，确确实实牢记安全，在什么样的道路上行驶，都要遵守各种道路的规定，防止疲劳驾车，注意前后车辆的距离等.2-1-c-n-j-y
【分析】（1） 如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ADC中 ，根据等腰直角三角形的性质得出 AD=CD=100.；在Rt△CDB中 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 BD= CD=100 ；根据线段的和差，由 AB=AD+BD 算出AB的长，进而根据路程除以时间等于速度算出 ;小轿车经过AB路段的速度，将该速度与限速的最高速度进行比较即可得出答案； （2）处理意见可以结合合适的交通处罚条例进行处罚；建立可以从多角度进行，交警、司机、第三者，国家法律法规等各个层面的正能量方面来说明即可。
17.（1）解：∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴ ，AC=48km，
方案① 小时=52分钟，
② 小时=52分钟，
③ = 小时=47分钟，
∴方案③较好
（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时 ，汽车开到P放冲锋舟下水，用时 ，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵ ，
∴ ，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴ ，
∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案② ，（当 时，tM最小，此时cos∠BPC= ），
方案③ 小时．
【分析】（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．
一、基础夯实
1.如图，一艘船由 港沿北偏东65°方向航行 至 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 港， 港在 港北偏东20°方向，则 ， 两港之间的距离为（???? ） . 21教育网
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
2.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(???? )
A.?n mile??????????????????B.?60 n mile??????????????????C.?120 n mile??????????????????D.?n mile
3.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（ ???） www.21-cn-jy.com
A.?60（ +1)米???????????????B.?30（ +1)米???????????????C.?（90-30 )米???????????????D.?30（ -1)米
4.如图，甲同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时甲同学离A地(?? ) 21·cn·jy·com
A.?m??????????????????????????????B.?100m??????????????????????????????C.?150m??????????????????????????????D.?m
5.如图，小明从A处出发沿北偏东6０°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发一致，则方向的调整应是（ ?） 【来源：21·世纪·教育·网】
A.?右转80°????????????????????????????B.?左转80°????????????????????????????C.?右转100°????????????????????????????D.?左转100°
6.如图，校园内一株树与地面垂直，两次测量它在地面的影长，第一次为太阳光线与地面成60°角时，第二次为太阳光线与地面成30°角时，两次影长差8米，则树高________米（结果保留根号）
7.如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，则乙船的路程________（结果保留根号） 【来源：21cnj*y.co*m】
8.如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁． 【出处：21教育名师】
（1）B处离岛C有多远？
（2）如果渔船继续向东航行，需要多长时间到达距离岛C最近的位置？
（3）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
二、提高特训
9.小明从A地向南偏东m°（0＜m＜90）的方向行走到B地，然后向左转30°行走到C地，则下面表述中，正确的个数是（?? ）
①B可能在C的北偏西m°方向；②当m＜60时，B在C的北偏西(m＋30)°方向；③B不可能在C的南偏西m°方向；④当m＞60时，B在C的南偏西(150－m)°方向
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
A.?20（ +1）??????????????????????????B.?20（ ﹣1）??????????????????????????C.?200??????????????????????????D.?300
11.如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ ??）
A.?（ ﹣1）小时????????????????????B.?（ +1）小时????????????????????C.?2小时????????????????????D.?小时
12.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（???? ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： ） 2·1·c·n·j·y
A.?4.64海里???????????????????????????B.?5.49海里???????????????????????????C.?6.12海里???????????????????????????D.?6.21海里
13.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在 处测得岛礁 在东北方向上，继续航行1．5小时后到达 处此时测得岛礁 在北偏东 方向,同时测得岛礁 正东方向上的避风港 在北偏东 方向为了在台风到来之前用最短时间到达 处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号) www-2-1-cnjy-com
14.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度________．
15.如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile.参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
16.在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中，八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动.具体内容如下：在一段笔直的公路上选取两点A、B，在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C，在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向，且距离为100 米，又测得点B位于C点的南偏东60°方向.已知该路段为乡村公路，限速为60千米/时，兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒.
（1）请你帮助他们算一算，这辆小车是否超速？（参考数据： ≈1.41， ≈1.73，计算结果保留两位小数）. 【版权所有：21教育】
（2）请你以交通警察叔叔的身份对此小轿车的行为作出处理意见，并就乡村公路安全管理提出自己的建议。（处理意见合情合理，建议尽量全面。）
17.如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′= ，cos22°37′= ，tan22°37′= ）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC= （冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC= 计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
答案解析部分
一、基础夯实
1. B
解：根据题意作BD垂直于AC于点
D.可得AB= ，
?
所以可得
?
?
因此可得
故答案为：B.
【分析】利用方向角得到∠DAB=45°、∠DCB=60°，然后在△ABD和△BCD中利用三角函数分别求出AD和CD的长，相加即可。21cnjy.com
2. D
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD= ，
∴CD=AC?cos∠ACD=60× ．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30 ，
∴AB=AD+BD=30+30 ．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30 ）nmile．
故答案为：D．
【分析】过C作CD⊥AB于D点，在Rt△ACD中利用解直角三角形可求出CD的长，根据等角对等边可得CD=BD=30 ，由AB=AD+BD，即可求出AB的长.
3. B
解：过点B作BD⊥AC于点D， 由题意知：∠BAD=45°，∠BCD=30°， 在Rt△ABD中，∵∠BAD=45°，∴AD=BD, 在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°，∴DC= ∵CD=AD+AC,AC=60米， ∴=60+BD, ∴BD= 30（ +1)米 ; 故答案为：B。 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出AD=BD,DC=， 从而由CD=AD+AC建立方程，求解即可。
4. D
解：如图：
∵AD=AB?sin60°=50 ，BD=AB?cos60°=50
∴CD=150
。
故答案为：D。
【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长.再利用勾股定理求AC的长即可。
5. A
如图，∠DCE=20°+60°=80°。
故答案为：A
【分析】由图形可知调整的方向由CD转到CE方向，再根据平行线的性质即可判断应右转80°。
6.
解：设AB=x， 在RtABC中,tan∠ACB= ∴BC=AB?tan∠ACB=x?tan60°， 同理：BD=x?tan30°， ∵两次测量的影长相差8米， ∴x?tan30°?x?tan60°=8， ∴x= 故答案为: 【分析】根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值分别表示出BC,BD的长，然后根据BD-BC=8，列出方程，求解即可。
7. 10 海里
由已知可得：AC=60×0.5=30海里，
又∵甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°，
∴∠BAC=90°，
又∵乙船正好到达甲船正西方向的B点，
∴∠C=30°，
∴AB=AC?tan30°=30× =10 海里．
答：乙船的路程为10 海里．
故答案为：10 海里．
【分析】根据路程等于速度乘以时间算出AC的长，根据题意得出∠BAC=90°，∠C=30°，然后根据正切函数的定义，由AB=AC?tan30°即可算出AB的长。21*cnjy*com
8. （1）解：过C作CO⊥AB于O，则CO为渔船向东航行到C道最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的60°，
∴∠CAB=30°，
又∵B处测得岛C在北偏东30°，
∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴BC=AB=12×1=12（海里）（等边对等角）
（2）解：∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴BO=BC×cos∠CBO=12× =6（海里），
6÷12=0.5（小时），
答：如果渔船继续向东航行，需要0.5小时到达距离岛C最近的位置。
（3）解：∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴CO=BC×sin∠CBO=12×sin60°=6 （海里），
∵6 ＞10，
∴如果渔船继续向东航行，没有触礁危险。
【分析】（1）通过题意可分析得到∠ACB=∠CAB，即可得到BC=AC=12海里； （2）过C作CO⊥AB，O点即渔船向东航行到达距离岛C最近的位置，通过解直角三角形可求出BO，再根据时间=即可； （3）通过解直角三角形求出CO，再判断CO的距离和10的大小关系，大于10即无触礁危险。
二、提高特训
9. B
分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时，如图1．
∵0°＜m＜60°，∴30°＜m+30°＜90°，∴∠MCB= （m＋30）°，∴B在C的北偏西（m＋30）°方向，故②正确；
∵m＋30＞m，∴B不可能在C的北偏西m°方向；∴①错误；②当m=60°时，如图2，
m+30°=90°，∴∠MCB= 90°，∴B在C的正西方向；③当60°＜m＜90°时，如图3．
∵60°＜m＜90°，∴90°＜m+30°＜120°，∴∠BCN= 180°－（m+30°）=（150－m）°，∴B在C的南偏西（150－m）°方向，故④正确．
当150－m= m时，解得：m=75°，∴当m=75°时，B在C的南偏西m°方向，故③错误．
故答案为：B．
【分析】分三种情况讨论：①当0°＜m＜60°时? ?②当m=60°时? ? ?③ 当60°＜m＜90°时，分别画图分析即可。21·世纪*教育网
10. A
解: 作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD?tan∠ABD=200 （米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 （米）．
则平均速度是 =20（ +1）米/秒．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，根据tan∠ABD=可求得AD的值，同理可得同理，CD=BD，所以AC=AD+AD，则 这时段动车的平均速度=AC10可求解。
11. B
解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．
在Rt△ADM中，∵∠MAD=30°，
∴AD= MD，
在Rt△BDM中，∵∠MBD=45°，
∴BD=MD，
∴BC=2MD，
∴BC：AB=2MD：（ ﹣1）MD=2： +1．
故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（ +1）小时．
故答案为：B．
【分析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AD= MD，在Rt△BDM中，根据等腰直角三角形的性质得出BD=MD，根据垂径定理得出BC=2MD，根据路程除以速度等于时间，得出BC：AB=2MD：（ ﹣1）MD=2： +1= +1 ．
12.B
解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.21教育名师原创作品
13.
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ-90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°= PQ（海里）， 所以 PQ-90= PQ， 所以 PQ=45（3+ ）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里） 在直角△BMN中，∠MBN=30°， 所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里） 所以 （小时） 故答案是： ． 【分析】根据题意，添加辅助线：过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在Rt△AQP和Rt△BPQ中，利用解直角三角形分别求出BQ=PQ-90，及BQ=PQ，建立方程求出PQ及MN的长，从而可求出MB的长，再根据路程除以速度=时间，即可求解。
14.海里/小时
过点A作AD⊥OB于点D， 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=40海里， ∴AD= OA=20海里， 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B， ∴BD=AD=20（海里）， ∴AB= = AD=20 （海里）， ∴该船航行的速度为20 ÷0.5=40 （海里/小时）， 故答案为：40 海里/小时. 【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AD= OA=20海里，在Rt△ABD中，由已知可得∠BAD=180°-∠ADB-∠B=45°=∠B，所以BD=AD=20（海里），在直角三角形ABD中用勾股定理可求得AB==AD=20,所以该船航行的速度为20÷0.5=40。
15. 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示.
则DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°.
∵DC∥EF，
∴四边形CDEF为平行四边形.
又∵∠CFE＝90°，
∴?CDEF为矩形，
∴CF＝DE.
根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°.
设DE＝x（nmile），
在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝ ，
∴AE＝ ＝x（nmile）.
在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝ ，
∴BE＝ ＝ x（nmile）.
∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，
∴x﹣ x＝6，解得：x＝9+3 ，
∴CF＝DE＝（9+3 ）nmile.
在Rt△CBF中，sin∠CBF＝ ，
∴BC＝ ≈20（nmile）.
答：此时快艇与岛屿C的距离是20nmile。
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示 ， 首先判断出四边形CDEF为平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出四边形CDEF为矩形， 设DE＝x ，从而根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值，表示出AE,BE,的长，进而根据 AE﹣BE＝AB 列出方程，求解得出x的值，得出CF的长，最后再根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 sin∠CBF＝ ， 即可算出BC的长.21*cnjy*com
16. （1）解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，AC=100 ，
∴CD=AC?cos∠ACD= AC=100，
∴AD=CD=100.
∵在Rt△CDB中，∠BCD=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD= CD=100 .
∴AB=AD+BD=100+100 =100（ +1）≈273.
又∵小轿车经过AB路段用时13秒，
∴小轿车的速度为 =21米/秒=75.6千米/时.
而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒，
∵21＞16.67，
∴这辆小轿车超速了.
（2）解：处理意见： 在限速为50公里以上80公里以下的道路，时速超过限定时速10%以上不到20%的，处100元罚款;超过限定时速20%以上不到50%的，处150元罚款等，因为60×（1+10%）=66千米/时，60×（1+20%）=72千米/时<75.6千米/时<60×（1+50%），所以应该是处150元罚款；因为小车超速未达20%的扣3分，超速20%以上未达到50%的扣6分，所以扣6分. 21世纪教育网版权所有
建议：①地方公安机关依法严格查处道路交通违法行为和交通事故；指导地方公安机关维护城乡道路交通秩序和公路治安秩序，加强车辆的维护和检查工作；②让人民群众认真学习交通安全的法律法规，遵守交通规则，加强安全意识，树立交通安全文明公德，远离伤痛，珍爱生命；③提高驾驶员的职业修养，确确实实牢记安全，在什么样的道路上行驶，都要遵守各种道路的规定，防止疲劳驾车，注意前后车辆的距离等.2-1-c-n-j-y
【分析】（1） 如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ADC中 ，根据等腰直角三角形的性质得出 AD=CD=100.；在Rt△CDB中 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 BD= CD=100 ；根据线段的和差，由 AB=AD+BD 算出AB的长，进而根据路程除以时间等于速度算出 ;小轿车经过AB路段的速度，将该速度与限速的最高速度进行比较即可得出答案； （2）处理意见可以结合合适的交通处罚条例进行处罚；建立可以从多角度进行，交警、司机、第三者，国家法律法规等各个层面的正能量方面来说明即可。
17.（1）解：∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴ ，AC=48km，
方案① 小时=52分钟，
② 小时=52分钟，
③ = 小时=47分钟，
∴方案③较好
（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时 ，汽车开到P放冲锋舟下水，用时 ，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵ ，
∴ ，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴ ，
∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案② ，（当 时，tM最小，此时cos∠BPC= ），
方案③ 小时．
【分析】（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．