1.1 锐角三角函数-定义 同步训练（解析版）
文档属性
| 名称 | 1.1 锐角三角函数-定义 同步训练（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-03 09:47:18 | ||
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文档简介
初中数学浙教版九年级下册1.1 锐角三角函数-定义 同步训练
一、基础夯实
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则 是∠A的（?? ）
A.?正弦?????????????????????????????????B.?余弦?????????????????????????????????C.?正切?????????????????????????????????D.?以上都不对
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（?? ）
A.?3sinα??????????????????????????????????B.?3cosα??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
4.正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=(?? )
A.?? ???????????????????????????????????????B.?? ???????????????????????????????????????C.?? ???????????????????????????????????????D.??
6.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?h·sinα
7.如图，自动扶梯AB段长为20米，倾斜角为a，高度BC为(??? )米
A.????????????????????????????????B.?20cosa???????????????????????????????C.?20sina???????????????????????????????D.?20tana
8.如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A.?75?sin55°??????????????????????????B.?75?cos55°??????????????????????????C.?75?tan55°??????????????????????????D.?
9.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为________（注：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8） 21世纪教育网版权所有
10.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
二、提高特训
11.把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值（?? ）
A.?增加2倍???????????????????????????????B.?增加4倍???????????????????????????????C.?不变???????????????????????????????D.?不能确定
12.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝ ，则tanα＝(?? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
13.在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，cosA= ，则AC的长为（ ??）
A.?4.8?????????????????????????????????????????B.?7.5?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?10
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝ ，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E ， 则sin∠CAD＝（?? ） 21教育网
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
15.已知tanα= ，那么sinα=________．（其中α为锐角）
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是________．
17.如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=________．
18.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝________．
,
19.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题： www-2-1-cnjy-com
（1）ctan30°=________；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
答案解析部分
一、基础夯实
1. B
解：根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ，cosA= ，tanA= ，
故答案为：B.
【分析】 在Rt△ABC中 ，b是∠A的邻边，c是斜边，由cosA=判断即可.
2. B
解：如图，
∵ ,
∴AC=3cosα.
故答案为：B.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.
3. C
解: 设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα= = ．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出OB，再由tanα=代入求解.
4. A
解：由图可得tan∠AOB=2，
故答案为：A．
【分析】先将∠AOB放入已知边长的直角三角形中，找出角的对边和邻边，用定义求解.
5. D
解：在Rt△ABC中，AB =3,BC=4,tan A= 故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=21cnjy.com
6. A
解：根据锐角三角函数的定义可得，sinα= ，即可得l= 。
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，由sinα= ，即可得l= 。
7. C
解：在Rt△ABC中， BC=ABsin∠BAC=20sina, 故答案为：C www.21-cn-jy.com
【分析】利用锐角三角函数的定义：sin∠BAC=， 再代入计算可求出BC的长。
8. C
根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75?tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
9. 4
∵∠C=90°，
∴tanB= ，
∴BC= = =4．
故答案为：4．
【分析】根据正切值的定义为对边和邻边的比值，可得出BC的长度。
10. 解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴ .
∴ ，
，
.
【分析】利用勾股定求出AC，再根据锐角三角形函数的定义，分别求出∠A的正弦值、余弦值和正切值。21·cn·jy·com
二、提高特训
11. C
解；
设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA= ，
如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，
∴sinA= ，
故∠A的正弦值大小不变，
故答案为：C．
【分析】三角函数是在直角三角形中，边与角的关系。
12. C
解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的横坐标为3，sinα= ，
∴OB=3，设PB=4x，OP=5x
在Rt△OPB中，由勾股定理得：32+（4x）2=（5x）2
解得：x=1，
∴PB=4，tanα= =
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，结合已知可设PB=4x，OP=5x，在Rt△OPB中，利用勾股定理可得32+（4x）2=（5x）2 ， 解出x,即得PB，利用tanα= 即得.【来源：21·世纪·教育·网】
?
13. C
解：∵ ∠C=90°， BC=6， ∴ cosA==， 设AC=4x，AB=5x， ∴AC2+BC2=AB2 ， 即（4x）2+62=（5x）2 ， 解得：x=2， ∴AC=8. 故答案为：C. 【分析】根据锐角三角函数定义结合已知条件可设AC=4x，AB=5x，在 Rt△ACB中， 根据勾股定理列出方程，解之得x值，从而求得AC.2·1·c·n·j·y
14. A
设AD=x ．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BC ， ∴CD=x﹣3．在直角△ACD中，由勾股定理得：（x﹣3）2+ =x2 ， 解得：x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD= = ．21·世纪*教育网
故答案为：A．
【分析】设AD=x．根据线段垂直平分线的性质可得AD=BC=x，则CD=x-3．在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程求出x，即可得到边CD、AD的长，因而可求sin∠CAD。2-1-c-n-j-y
15.
解：如图，
∵∠C=90°，∠A=α，
∵tanα= = ，
设BC=4x，AC=3x，
由勾股定理得：AB= =5x，
∴sinα=sin∠A= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义，由 tanα= ，列出方程 = ，设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理表示出AB，进而利用正弦函数的定义即可求出答案。，21*cnjy*com
16.
解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
17.
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=， 据此代入数据解答即可.【出处：21教育名师】
18.
∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2，
∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD?CD=6，解得AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】先根据比例设出线段BD、CD的长，然后证得△ABD∽△CAD，利用相似三角形的性质得AD2=BD?CD=6，解得AD＝， 再在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出tanB即可。 ?【版权所有：21教育】
19. （1） （2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值； （2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。【来源：21cnj*y.co*m】
一、基础夯实
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则 是∠A的（?? ）
A.?正弦?????????????????????????????????B.?余弦?????????????????????????????????C.?正切?????????????????????????????????D.?以上都不对
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（?? ）
A.?3sinα??????????????????????????????????B.?3cosα??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
3.如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2
4.正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tanA=(?? )
A.?? ???????????????????????????????????????B.?? ???????????????????????????????????????C.?? ???????????????????????????????????????D.??
6.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?h·sinα
7.如图，自动扶梯AB段长为20米，倾斜角为a，高度BC为(??? )米
A.????????????????????????????????B.?20cosa???????????????????????????????C.?20sina???????????????????????????????D.?20tana
8.如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A.?75?sin55°??????????????????????????B.?75?cos55°??????????????????????????C.?75?tan55°??????????????????????????D.?
9.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为________（注：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8） 21世纪教育网版权所有
10.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
二、提高特训
11.把△ABC的各边长都增加两倍，则锐角A的正弦值（?? ）
A.?增加2倍???????????????????????????????B.?增加4倍???????????????????????????????C.?不变???????????????????????????????D.?不能确定
12.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝ ，则tanα＝(?? )
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
13.在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，cosA= ，则AC的长为（ ??）
A.?4.8?????????????????????????????????????????B.?7.5?????????????????????????????????????????C.?8?????????????????????????????????????????D.?10
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝ ，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E ， 则sin∠CAD＝（?? ） 21教育网
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
15.已知tanα= ，那么sinα=________．（其中α为锐角）
16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是________．
17.如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=________．
18.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tan∠B＝________．
,
19.如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题： www-2-1-cnjy-com
（1）ctan30°=________；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
答案解析部分
一、基础夯实
1. B
解：根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ，cosA= ，tanA= ，
故答案为：B.
【分析】 在Rt△ABC中 ，b是∠A的邻边，c是斜边，由cosA=判断即可.
2. B
解：如图，
∵ ,
∴AC=3cosα.
故答案为：B.
【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.
3. C
解: 设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．
则OC=2，BC=1，
则tanα= = ．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出OB，再由tanα=代入求解.
4. A
解：由图可得tan∠AOB=2，
故答案为：A．
【分析】先将∠AOB放入已知边长的直角三角形中，找出角的对边和邻边，用定义求解.
5. D
解：在Rt△ABC中，AB =3,BC=4,tan A= 故答案为：D。
【分析】由网格图可知△ABC是一个直角三角形，而且AB=3，BC=4，根据正切函数的定义可得tan A=21cnjy.com
6. A
解：根据锐角三角函数的定义可得，sinα= ，即可得l= 。
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，由sinα= ，即可得l= 。
7. C
解：在Rt△ABC中， BC=ABsin∠BAC=20sina, 故答案为：C www.21-cn-jy.com
【分析】利用锐角三角函数的定义：sin∠BAC=， 再代入计算可求出BC的长。
8. C
根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75?tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
9. 4
∵∠C=90°，
∴tanB= ，
∴BC= = =4．
故答案为：4．
【分析】根据正切值的定义为对边和邻边的比值，可得出BC的长度。
10. 解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴ .
∴ ，
，
.
【分析】利用勾股定求出AC，再根据锐角三角形函数的定义，分别求出∠A的正弦值、余弦值和正切值。21·cn·jy·com
二、提高特训
11. C
解；
设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA= ，
如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，
∴sinA= ，
故∠A的正弦值大小不变，
故答案为：C．
【分析】三角函数是在直角三角形中，边与角的关系。
12. C
解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵点P的横坐标为3，sinα= ，
∴OB=3，设PB=4x，OP=5x
在Rt△OPB中，由勾股定理得：32+（4x）2=（5x）2
解得：x=1，
∴PB=4，tanα= =
故答案为：C.
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，结合已知可设PB=4x，OP=5x，在Rt△OPB中，利用勾股定理可得32+（4x）2=（5x）2 ， 解出x,即得PB，利用tanα= 即得.【来源：21·世纪·教育·网】
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13. C
解：∵ ∠C=90°， BC=6， ∴ cosA==， 设AC=4x，AB=5x， ∴AC2+BC2=AB2 ， 即（4x）2+62=（5x）2 ， 解得：x=2， ∴AC=8. 故答案为：C. 【分析】根据锐角三角函数定义结合已知条件可设AC=4x，AB=5x，在 Rt△ACB中， 根据勾股定理列出方程，解之得x值，从而求得AC.2·1·c·n·j·y
14. A
设AD=x ．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BC ， ∴CD=x﹣3．在直角△ACD中，由勾股定理得：（x﹣3）2+ =x2 ， 解得：x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD= = ．21·世纪*教育网
故答案为：A．
【分析】设AD=x．根据线段垂直平分线的性质可得AD=BC=x，则CD=x-3．在Rt△ACD中，由勾股定理列出方程，解方程求出x，即可得到边CD、AD的长，因而可求sin∠CAD。2-1-c-n-j-y
15.
解：如图，
∵∠C=90°，∠A=α，
∵tanα= = ，
设BC=4x，AC=3x，
由勾股定理得：AB= =5x，
∴sinα=sin∠A= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据正切函数的定义，由 tanα= ，列出方程 = ，设BC=4x，AC=3x，根据勾股定理表示出AB，进而利用正弦函数的定义即可求出答案。，21*cnjy*com
16.
解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
17.
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
∴CD=BD，
∵BE=9，BC=12，
∴CD=6，CE=9，
∴cosC= = = ，
故答案为：
【分析】由垂直平分线的定义和性质得CE=BE=9、BD=CD=6，由三角函数的定义得cosC=， 据此代入数据解答即可.【出处：21教育名师】
18.
∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2，
∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD?CD=6，解得AD＝ ，
∴tanB＝ ，
故答案为： ．
【分析】先根据比例设出线段BD、CD的长，然后证得△ABD∽△CAD，利用相似三角形的性质得AD2=BD?CD=6，解得AD＝， 再在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出tanB即可。 ?【版权所有：21教育】
19. （1） （2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值； （2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。【来源：21cnj*y.co*m】