浙教版七上数学走进重高培优讲义(PDF版)
文档属性
| 名称 | 浙教版七上数学走进重高培优讲义(PDF版) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 61.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-03 23:14:46 | ||
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文档简介
七年级上
主编何继斌
华东师范大学出版社
全a百佳田书出版单位
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七年级上
主编何继斌
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露 ^华东师范大学出版社#1tc?iu? H 全?百佳圈书出版单位
华东师范大学出版社
上海市中山北路3663号邮编200062
www.ecnupress.com.cn
021-60821666行政传真021-62572105
021-62865537门市（邮购）电话021-62869887上海市中山北路3663号华东师范大学校内先锋路口
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安徽宣城海峰印刷包装有限公司
787x1092 16开
4
12.5
354千字
2016年8月第1版
2017年3月第4次
30001-60000
ISBN 978-7-5675-5600-3/G-9757
35.00元
出版人王焰
(如发现本版阁书将印订质M问题，请寄回本社客服中心调换或电话02卜62865537联系)
王 编
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审读编辑
装帧设计
图书在版编目（CIP )数据
走进重高培优讲义.数学七年级.上/何继斌主编.
-上海：华东师范大学出版社，2016
ISBN 978-7-5675-5600-3
i.①走…n.①何…in.①中学数学课一初中一教
学参考资料IV.①G634
中国版本图书馆CIP数据核字(2016)第193973号
走进重高培优讲义
数学七年级上
丨
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开
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字
版
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印
书
定
斌连敏茜
继成小
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何储严屈
我们发现，有不少学生在学习上投入了大最的时间和精力，做了无数的习题，
但实际学习效果却并不理想，久而久之便出现了对学习的厌烦现象，甚至产生了对
学习的排斥心理。究其原因，就是没有掌握恰当的学习方法，没有找到解决问题的
规律，自然也就感受不到学习的乐趣。
《走进重高培优讲义》的编者都是长期从事课堂教学和竞赛辅导的一线高级教
师，具有多年丰富的教学实践经验。他们精心编著这套书的目的正是为了让更多的
学生花少量的时间就能在学习过程中找到方法、捷径和窍门，从而提高学习效率，
为将来进一步深化学习打下坚实的基础。
本书的内容全面，编排合理，内容包括：对基础知识中的重点难点的解析，对
典型例题的详细分析点评，及分层次的专项训练，这些区块的设置，使得学生能在
基础知识、典型例题的引导下进行练习，同时在由易至难、层层深入的训练中加强
对基础知识的巩固和提升。全书力求体现以下特点：
一、 聚焦知识核心，概括重点难点。本书知识模块的编写适用于现行初中
使用的新课标教材，每讲的知识点都是新课标教材相应知识点的延伸与拓展；注重
指出所学知识的重点难点。
二、 选题精练，题型新颖。全书的例题和习题都具有较强的代表性，主要来
源于近几年的中考题和竞赛题。通过对例题的分析、演练以及知识点的延伸训练，
帮助学生掌握课本知识的核心内容，从而发现解题的一般规律。
三、 能力提高训练，启迪思维。本书改变了一般教辅用书的惯用模式，力
求习题形式的灵活、新颖、多样，各类题型基本能覆盖教学的重点难点和考试、竞
赛的要点。习题分为拓展训练、走进重高及高分夺冠三个版块，由易到难，更适合
学生对知识结构的理解和深化。对于学生拓宽解题思路，提高解题技能，培养良好
的学习习惯大有裨益。
本书在编写过程中力求完美，但由于时间仓促，难免出现纰漏，希望各位学生、
老师及家长对于书中出现的疏漏和错误，不吝批评指正。
最后，祝同学们充分发挥自身能力，积极面对各种挑战，成就自己的梦想！
《走进重高培优讲义》编写组
《走进重高培优讲义》
编写组
何继斌金宏江陈智峰吴国斌
华芳郑燕杨吉元林初龙
吴巧玲吴蓓孙磊蒋路
应安安洪鹏吴雪君周璇
学导
騣_导國
?新颖独特的智慧树
?详尽细致的知识导引 /
_SiilS 断
?精选例题的分析点评
?解题规律的探$总结
讎究lift
?激活思维能力
?激发学习兴趣 /
专顶ilH练
?分层练习由浅入深
?幵放作业自主学习
一、基础巩固篇
第一讲有理数...............
第二讲数轴和绝对值........
第三讲有理数的加减........
第四讲有理数的乘除........
第五讲有理数的乘方及混合运算
第八讲平方根和立方根......
第七讲实数及其运算........
第八讲代数式..............
第九讲整式................
第十讲整式的加减..........
第十一讲一元一次方程的解法?????■
第十一讲一兀一次方程的应用??…
第十三讲线段、射线和直线
10
20
31
41
52
60
69
80
90
100
110
123
翁翁
第十四讲角?……
第十五讲相交线
133
145
4
第十六讲数形结合思想
第十七讲分类讨论思想
155
162
第十八讲方程思想、转化思想
第十九讲整体思想...........
170
177
参考答案 183
0 m m
第一讲有理数
丨基础巩固篇
有理数第一讲
響?馨9sii A,
自然数的意义<自然数 自然数的作用
分数（小数）的意义<分数（小数）
分数（小数）的形式
正有理数
有理数的意义 具有相反意义的蛰 负有理数
正有理数有理数
零按正负性分
负有理数
有理数的分类 分数按整分性分 整数
重点分析：
1. 回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通
过学生身边的例子体验自然数与分数的意义以及它们在计数、测量、排序、编码等方面的应用.
2. 从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.
3. 有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正
有理数、负有理数和零.
难点分析：
1. 分数都可以化为小数，有些小数（有限小数和无限循环小数）可以化为分数.
2. 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量（必须是同一
类量，数量大小可以不相等）.
走进疆B i?x e字tsE纽上
_.?翁一
下列说法中，正确的是（
①0是整数;②0是有理数；③0是自然数;④0是正数;⑤0是负数；⑥0是非负数.
A.①②③? B.①②⑥ C.①②③ D.②③⑥
㈣纖隸I] 0是自然数，是整数，不是正龄也不是负数，但属于非负数，根据题意描
述进行判断即可.
①②③⑥正确，0不是正数也不是负数，所以④⑤错误，故选A.
本題考查了有理数的定义，注意掌握o这个特殊的数，它是自然数，也是整
数，它既不是正数也不是负数.
数扩大到有理数范围后，注意o的特殊性，特别注意o是整数，o既不是正
数，也不是负数，但它是非负数.
火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快，1?98次为特快列车，
101?198次为直快列车，301?398次为普快列车，401~498次为普客列车；二是单数与双数表
示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京.根据以上规定，龙岩开往北京
的普快列车“海西号”的车次号可能是（ ）.
A. 96 B. 118 C. 335 D. 336
湖念根据普快列车的车次号在301?398之间，开往北京的列车车次号为
双数作答.
D
本题是材料題，要仔细阅读所给信息才能得出正确的结论.
解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.
O)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不付钱，最
__ 瓶矿泉水；
(2)师生共52人外出春游，到达后，班主任把买矿泉水的钱给班长，要他给每人买一瓶矿泉
水.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶，可换1瓶矿泉水.班长只要买
____ 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
4^^
多可以喝
(1)肴15里面有几个4,再看余下的空瓶包含几个4,把个数相加即f
可；（2)因为5个空瓶=1个空瓶+】瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4
瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.
第一讲_
(i) 15+4=3 3,可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3 = 6个空瓶，拿出
4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一
个空瓶，再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水.
(2) 52 + 5 = 10(组） 2(瓶）；4X10+2 = 42(瓶）.
故班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
本題考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”
这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水”这一结论，然后再列式计算.
换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.
把下列各数填人相应的大括号里:
，一6. 5，17%, —2 -7T-3,0. 2,3. 14,8,0,-2,20,^-4
整数：{
分数
正数：{
负数
自然数
负有理数：{
8
fei?鑑有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数
和负分数，根据以上内容判断即可.
整数：{ — 3,8,0, 一2,20,…}
分数:{0.2,3. 14,士，一6.5,17%, — 2各，."}
4
正数：{0.2,3. 14,8,20，+，17%,“.}
;8
?
负数：{一3,一2,一6. 5,一2 7，“.};8
自然数：{8,0,20,".}
负有理数：{—3，一2，一6. 5,一2 f，".}.
本題考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解本題的关键.注意：有理
数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数.
本题数据比较多，大部分数据承担多种角色，所以要注意不重不漏.
分子为1、分母是等于2或大于2的自然数的分数叫做分数单位.早在三千多年前，
古埃及人就利用分数单位进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和是一个
3 =1±^=丄+1=丄+丄.A==A=l±l=i+A=l+丄 - 4 4 丁4 4 2,3 6 6 6 6 6 2 *
；
古老且有意义的问题.例如：f
走扭匾B fflx 教字 t$a±：i
(1)仿照上例，分别把分数|■和拆分成两个不同的分数单位之和.
5_ = 3
；5
(2)在上例中，+ = + + +，又因为+ =音=1^ = + + + = + + +，所以| = + + | +
■|?，即|■可以写成三个不同的分数单位之和
的分数单位之和.根据这样的思路，探索分数f能写成哪些两个以上的不同的分数单位之和.
.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同
_猫灞，(1)由分数单位的意义可知，将一个分数拆分为几个不同的分数单位c
之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使、
其中一个分子是1，另一个分数的分子能整除分母；（2)只要根据分数单位的转化方法，
把其中一个分数单位利用分数的性质继续拆分即可.
5 1 + 4 1.13 6 1 + 5 = ^_ , J_
一 15十？(1) + = =--- ---= —8 8 8 5 10 10
(2) T= 8_ + "6~ + T, 8" = 24 + l2"*"2',T = T + T"，"T2"f"T，(答案不唯一)
1
fc糊;:本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考
查了学生的观察能力.
分子为1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，最大的分数
单位是f
存J翁
4^ 请根据各数之间的关系，找规律填空.
CD
(2)
A| 3[ Q::
61
6 32 12 3 4 5 5 ?
28 81 41
(3)
17 28 33 92 45 37 18 61
297 953 ?3115
㈣嫌m (1)观察图形中的数可知：（9 + 6)Xl = 15;(6 + 7)X4 = 52;(5 + 8)X3t_n
= 39;由此可得，每个三角形中：（上面的数+左下的数）X右下的数=中间的数；（2)根|
据图形中的数可知：中间的数=上下数之差；左边的数=中间的数X右边的数；由此即可、/
解答；（3)观察每组图形中三个数的特点可知：下边的数由三部分组成：最左边的数字是
右上功?的数的十位上的数字；最右边的数字是左上方的数的个位上的数字；中间的数字
是左上方的数的十位上的数字与右上方的数的个位上的数字之和，由此即可解答.?
(1) (11 + 3)X2 28.故？ =28.
(2) 61 — 56 = 5,5X3 = 15.故A = 5，？ =15.
(3) 最左边的数字是6,最右边的数字是8,中间的数字是1 + 1 = 2,所以这个数是628.
故? =628.
本题主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般规律的能
力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到
各部分的变化规律后直接利用规律求解.
规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一
定正确，所以归纳出的一般规律要进行检验，使每一个特例都满足规律.氣馨_參
拓展训练
A组
1. 小军家的门牌号是256号，其中自然数的应用属于（
A.计数
2. 下列说法中，错误的有（
).
B.测量 C.标号 D.排序
4①一2 f是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0;④正整数、负整数统称为有理
数;⑤0是最小的有理数；⑥3. 14不是有理数.
A. 1个
3.用一a表示的数一定是（
A.负数
B. 2个 C. 3个 D. 4个
B.正数 C.正数或负数 D.都不对
4.蜗牛爬井，井高12m,蜗牛白天爬3m，晚上掉下2m，问蜗牛几天可以爬出去？（
B. 12天A. 20天 C. 10天 D. 5天
5. 一个纸环链，按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截
去部分纸环的个数可能是（ ）.
A. 2015 C. 2017B. 2016 D. 2018
红黄绿蓝紫红黄绿
(第5题)
黄绿蓝紫
走进SB fflX e字t年级上
6. 在体育课的跳远比赛中，以5.00m为标准，若小东跳出了 5. 22m，可记作+ 0. 22m,则小东跳
出了 4. 85m,可记作
7. 气象台记录了某地本周七天的气温变化情况（如下表），其中正号表示的数据是比前一天上升
的温度，负号表示的数据是比前一天下降的温度.已知上周日气温为3X：，根据表中数据，请
你判断该地本周最低气温是
；
m.
?c.
星期 六 曰三 四 五
气温变化(D +2 +3一 1 -2 _5 -3-4
8.在下表适当的空格里面画上“V”:
整数有理数 分数 正整数 负分数 自然数
-7
—3.14
0
2
3
9.将一列数排成如图所示的形式，按此规律排下去，那么第10行从左边数第9个数
是
2-3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
(第9题)
10.在奥运五环图案内，分别填写五个数 ，其中a,6,c是三个
连续偶数U<6.请你在0?20之间选择另一组符合条件的数填人五环图案
内:
11.把下列8个数填入表示它所在的数集的圈里：
吾,— 0. 01，— 95%.22一 18，y，3. 14,0,2015，一
非负数集 负分数集负整数集 整数集
(第11题)
I：
第一讲有理数
B组
12. 下列说法中，正确的有（ ）.
①整数就是正整数和负整数;②零是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正
数和负数统称为有理数;⑤一个有理数，它不是整数就是分数.
C. 3个
13. —种“拍7”的游戏规定:把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，
那么在1?100的自然数中，“明7”和“暗7”共有(
A. 22个
A. 1个 B. 2个 D. 4个
).
B. 29个 C. 30个 D. 31 个
514.已知下列各数：一3.14,24, + 17,_7 f,合，_0.,01，0,其中整数有 ，个，负分数有
.个，非负数有 ■个.
b 6 215.若a，6，c，d为有理数，现规定一种新的运算为: 则 = .
c d 2 1
16.分子是1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，如+ , + , + ,…，某些分数单
位可以拆分成两个分母是相邻自然数的分数单位的差，如f = i -丄 = 1.^=1T,l2-T_T,2o~T
一含，则在分数单位中，不能按上述要求拆分的有 个.
17.如图，一只甲虫在5X5的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿着网格线运动，它从A处
出发去看望B，C，D处的其他甲虫.规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从A到B
记为:A—5( + 1,+4)，从D到C记为：D—C( —1,+2),其中第一个数表示左右方向，第二
个数表示上下方向.
(1)图中从A到C可以记为A —C( )，从B到C可以记为B —C
(2) 从D到
(3) 若这只甲虫的行走路线为则该甲虫走过的路程长度为
.可以记为. (-4,-2) ；
.个单位
长度
(4)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（ + 1,+3),( + 3, — 2),( —2,+ 1)，请在
图中标出P的位置.
T
,D
A'
(第17题）
走迅醒篇 教字 上
18.把几个数用大括号括起来?相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4,7},”*,我们称之为
集合，其中的每一个数称为该集合的元素.如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有
理数是集合的一个元素时，2016—x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金
集合.例如《0,2016丨就是一个黄金集合.
(1) 集合{2016}
“不是”）
(2) 若一个黄金集合中最大的一个元素为4016,则该集合是否存在最小的元素？如果存在，
请直接写出答案，如果不存在，请说明理由；
(3) 若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190素？说明你的理由.
黄金集合；（两空均填“是”或黄金集合.集合{ —1，2017}
走进重高
1. 【咸宁】冰箱冷藏室的温度零上5eC，记作+ 51，冷冻室的温度零下7°C，记作（
A. 7 X：
2. 如图，检测4个足球，其中超过标准质盘的克数记为正数，不足标准质逛的克数记为负数.从
轻重的角度看，最接近标准的是（ ）.
)。
D. -12 X：B. -7V C. 2°C
-3.5 +2.5 +0.7
A. B. D.
3.下表是部分国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻该城市比北京时间早的小
时数).
城市 纽约 巴黎 东京 多伦多
时差（时) + 1-7-13 -12
..(以上均为24小时制）如果邱在东京时间是16:00,那么纽约时间是
4.把下面的有理数填入它厲于的集合内（将各数用逗号分开）:
l，f， 33. 1415,0,-2,80, — 2. 一 130,——5 .
负数集合{
5.某公交车上原有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（ + 4, — 8)，
(―5,+6)，( —3,+2),( + 1, — 7)，则车上还有
…};整数集合{ }.
人.
6.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车,平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产
盘与计划蛩相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期 六 曰五三 四
增减（辆) + 5 + 13-2 -2 + 6-10 -9
(1) 根据记录可知前三天共生产
(2) 产蛩最多的一天比产量最少的一天多生产
(3) 该厂实行计件工资制，每辆车60元,超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那
么该厂工人这一周的工资总额是多少？
.辆
.辆
高分夺冠
1. 10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的
真分数)”，则这10个有理数的和为（ ）.
11 7 5A. 7 B* 15 C t D* f
2.观察按下列规律排成的一列数 1213214321543216
?，在这一列数中，从左起第m个数记为G(m),当G(m) 2 时，m的值为2016
___________ ，这m个数的积为_____ ■
3.已知a<6,且a，6均为质数，n为奇数，若a，6，ri满足等式a+如= 487,则a,6, n分别等
于
4.找规律，在空格里填上合适的数.
(第4题）
5.某路公交车从起点出发经过A，B,C，D四站到达终点，途中上下乘客妒下表所示.（正数表示
上车的人数，负数表示下车的人数）
起点 终点A B C D
上车的人数 1218 15 7 5 0
下车的人数 一 5 -120 一 4 一 9
(1) 到终点站下车的有多少人？填在表格中相应位置
(2) 车行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？ ___
(3) 若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收人多少钱？要求写出算式.
站和 站；
走进SB BIX 教字t:年埋上
第二讲 数轴和绝对值
；
数轴
相反数
有理数大小的比较 绝对值
有理数 倒数
有理数的有关概念
讎馨泰
重点分析：
1. 数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.
2. 理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.
3. 相反数：实数a与_a互为相反数，零的相反数仍是零.若a,6互为相反数，则a+6=0.
4. 倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.
5. 绝对值的几何意义：表示这个数所对应的点到原点的距离.
6. 比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.
难点分析：
1. 数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.
2. 绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.
0##
4^ 下列所画的数轴中正确的有（）.
-1-2-3 0 1 2 3 -15 -10 -5 0 5 10 15.；；
-6-4 -2 0 2 4 6
B. 2条
-5-3-10 1 3 5
C. 3条
?:‘
A. 1条 D. 4条
第二讲数轴和绝对值
利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误.
■i;V*逝Kiia】第一条数据顺序不对，错误；第二条正确；第三条没有正方向，错误；第四条
刻度不均匀，错误.所以正确的只有1条.故选A.
本题主要考查数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.三个要素缺一
不可.
feT編dll数轴的单位长度可以根据实际需要选取.
若有理数 在数轴上对应的点为M,且满足|m|>l且m<0,则下列数轴表示正确
的是(
M M
0 0A. B.
M M
0 0
C. D.
根据绝对值的意义得到m在原点的左侧，且离原点的距离大于1,然
后利用数轴表示数的方法对各选项进行判断.
論:淑;販??? |讲|>l，m<0，???》!<— 1.故选 D.
縣mi，本題考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的
三要素：原点、单位长度、正方向.
辟漏成，注意绝对值的几何意义是指数轴上的点与原点的距离，或点与点之间的距离.
如图，数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示一4,点G
8.表示
(1) 点B表示的有理数是
(2) 图中的数轴上另有点M到点A、点G的距离之和为13,则这样的点M表示的有迤数
，表示原点的是点
是
(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是
表示的有理数互为相反数.
C D
，此时
点B与点
E F GA B
8
驟挪‘欐，(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求C-
出相邻两点之间的距离即可解答；（2)设点iW表示的有理数是m，根据数轴上两点之
间距离的定义即可求出川的值；（3)根据相邻两点间的距离是2可求出点C的坐标，
再根据相反数的定义即可求出结论.
走进匿s 祕wx 教字
(i) ? ?数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点a表示
一4,点G表示8，
??? AG= 18 + 4丨=12. ???相邻两点之间的距离=# = 2.
0
? ?点B表示的有理数是一4+2= —2,点C表示的有理数是一2 + 2 = 0.
故答案为：一2，C.
(2) 设点M表示的有理数是tw，则|/?+4丨+ |m—8| =13, —4. 5或
故答案为：一4.5或8.5.
(3) 若将原点取在点！)，? ?每两点之间的距离为2，/?点C表示的有理数是一2.
???点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，
? ?此时点B与点F表示的有理数互为相反数.
故答案为：一2，F.
本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点
之间的距离公式是解答本题的关键.
8.5.m
第（2)题中A,G两点间的距离为12，所以数轴上到点A、点G距离之和为
13的点M在线段AG外，这样的点有两个.
已知 |a+3. 5丨 + 丨6—9| + |c—13. 5丨= 0,求 a6+c 的值.
根据非负数的性质求出a，b，c的值，再将它们代入a6+c中求解即可.
VU+3.5| + |6-9| + |c-13.5|=0,
/.a+3. 5 = 0,6—9 = 0,c—13. 5 = 0.
???a = — 3. 5,6=9,c=13. 5.
/.^+c=-3. 5X9 + 13. 5 = -18.
ft趟非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.
只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.
(1)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B
重合?
若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数
为20;若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的
数为5(单位:cm)，由此可得木棒的长为
(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说:“我若是你现在
这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我就116岁了，是老寿星了，哈哈丨”请求出爷
爷现在多少岁了.
cm；
0 5 B 20
第二讲数轴和绝对值
(1)本题关鍵是正确识图，由数轴观察知木棒的3倍长是20 —5 = 15c_.|
(cm),则此木棒长为5cm;(2)在求爷爷的年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差
看作木棒AB,类似地，爷爷是小红那么大时看作当点B移动到点A时，此时点A所对
应的数为一34,小红是爷爷这么大时看作当点A移动到点石时，此时点S所对应的数
为116,所以可知爷爷比小红大[116 — ( — 34)] + 3 = 50,从而可求得爷爷的年龄?
V/
(1)如图1，观察数轴可知木棒的3倍长是20_5 = 15(cm)，则此木棒长为
5 cm.
故答案为：5.
(A) {B)___ (//) (B)(A) {B) (A) (B)
0 5 B 20 -34 A B 116//
图1 图2
(2)如图2,借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似地爷爷是小红那么大时看
作当点B移动到点A时，此时点A所对应的数为一34;小红是爷爷那么大时看作当点A移动到
点B时，此时点jB所对应的数为116.
???爷爷比小红大[116 — ( —34)] + 3 = 50(岁），
则爷爷的年龄为116 —50 = 66(岁）.
故爷爷现在66岁.
龄差看作一个整体（木棒AB).
f
本题考查了数轴的应用和数形结合思想.解题的关键是把爷爷与小红的年
解题时要用好数轴，在数轴上准确地画图，注意所使用的线段AB的实际
意义.
#
观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离:4与一2,3与5,—2与一6,_4与3,回
答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：
(2) 若数轴上的点A表示的数为:c，点B表示的数为一 1，则点A与点B两点间的距离可以
；
表示为 ；
(3)结合数轴求得k_2| + k+3|的最小值为 ，取得最小值时:c的取值范围为
5
(4)满足丨^+1| +丨工+4丨>3的工的取值范围为
_娜，_，(1)通过观察容易得出结论；（2)在数轴上找到点B所在的位置，点e f
A可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；（3) (4)根据（2)中的结论，
利用数轴分析.
走进齷B MX e字 t$a±：
o> 相等.
(2)结合数轴，分以下三种情况：
0 0 0X X X
当工< —1时，距离为一x-l 当一10<0时，距离为：c+1 当：c>0时，距离为工+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|:r+ll.
(3) |工一2丨，即：r与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离.丨工+ 3丨=丨工一
(―3)丨，即I与一3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与一3之间的距离.
如图，x在数轴上的位置有三种可能：
-3 2 -3 -32 2x x X
图1 图2 图3
1 图2符合題意，八丨x—2| + |x+3丨的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为一3(4)同理丨:c+l|表示數轴上:c与一1之间的距离，|x+4|表示数轴上:r与_4之间的距离.
? ?本題即求当：C在什么范围内时0：与一1之间的距离加上I与一4之间的距离会大于3.
借助数轴，我们可以得到正确答案：:c< —4或：r>_l.
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上的距离问题，反之，有关
數轴上的距离问題也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便?事
实上，U—6丨表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数6的两点之间的距离.这是一个很有用
的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3)(4)这两道难題.
k—6|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数6这两点之间的距离，
|fl+6|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数一6这两点之间的距离.豕廣麵?-1
拓展训练
A组
1.数轴上表示一f的点到原点的距离是（ ).
一 + C. -2 D. 2A. B.2
2.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中到原点距离相等的两个点是(
CB DA
0 2-2
(第2题)
C.点A与点D
—a,l的大小顺序为（ ）.
D.点B与点C人点B与点D B?点A与点C
3.如图，点A表示的有理数是a，则
A
0a
(第3题)
D. l<—a第二讲数轴和绝对
4. (1) 一个点从数轴上的原点出发，先向左移动4个单位长度（1个单位长度为1)，再向右移动
3个单位长度到达A点，则A点表示的数是
(2) —只蚂蚱在数轴上跳动，先从A点向左跳1个单位到B点，然后由B点向右跳2个单位
到C点.若C点表示的数是一3,则A点表示的数是____ .
5. 纸上画有一数轴，将纸对折后，表示7的点与表示一 1的点恰好重合，则此时与表示一3的点
重合的点所表示的数是____ .
6. 推理题：
i
，m + +(1) 5的相反数是一5, — 5的相反数是 ，那么一:r的相反数是 的
相反数是 J
(2) 数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4,有这样的关系4
100和到点999距离相等的点表示的数是
的数是____ ;
(3) 数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5 = 9 — 4,那么点10和点一3之
，点m和点n之间的距离是____ .
7.阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数,所以当a>0时,
Ul =a;当 a<0时，|a|
(1) |3.14-tc|=_____
f (2 + 6)，那么到点
，到点m和点一n距离相等的点表示
间的距离是
根据以上阅读完成:~a.
9
(2)计算：1一 + J~T十…十 99~l00 -2 3
8.如图，已知数轴上有A，B,C三个点，它们表示的数分别是一24*-10,10.
(1) 填空:AS
(2) 若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长
度和7个单位长度的速度向右运动.试探索:BC_AS的值是否随着时间的变化而改变？
请说明理由.
;
A B C
24 -10 0 10(第8题)
Vi
走进薩a ^ fflx 教字tsa上
9.若k丨=3，|7-1丨=2，并且^异号，求0；+7的值.
10.已知|3x+12|的值与|4：y_8丨的值互为相反数，则：r+：y_ar：y的值是多少？
11.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 表示一3和2的两点之间的距离是
;一般地，数轴上表示数m和数W的两点之间的距离等于|m—….如果表示数
；
a和一2的两点之间的距离是3,那么a =
(2)若数轴上表示数a的点位于一4与2之间，求k+4| + U— 2丨的值.
5
12.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且a，b，c满足条件10UI =5|6丨=2|c|=10.
(1) 求a，b，c的值；
(2) 求丨a—26| + 丨6— 2c| + —2a| 的值.
0 bc
(第12题)
i
第二讲数轴和绝对值
B组
13. 对于任何有理数a，下列一定为负数的是（
A. —(一3+a)
14. 对于实数a,6,给出以下三个判断:①若|a| = |6|,则a = ②若|a|<|6|，则③若a
C. 一 | <2,+ 1 |B. D. — | a | — 1一a
一6,则|a| = |6| .其中正确的判断个数是(
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
15. 如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点
处分别标上数字0，1，2,3,先让圆周上表示数字0的
点与数轴上表示数一 1的点重合，再将数轴按逆时针
方向环绕在该圆上，则数轴上表示数一2016的点与
圆周上表示数字（ ）的点重合.
A. 0
16. 根据给出的数轴，解答下面的问题：
0
0
31
2
(第15题)
B. 1 C. 2 D. 3
B A
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(第16题)
(1)请你根据图中A，B(在一2，一3的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数
A： ,B： ;
(2) 在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A,B，M，N的其他字母表示），并写出
这些点所表示的数：
(3) 若经过折叠，A点与一3表示的点重合，则B点与数
;
表示的点重合；
(4)若数轴上两点之间的距离为9(M在N的左侧），且两点经过（3)中的折叠
后重合，那么M,N两点表示的数分别是:M ，N
17.有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，求|6+a| + U+cr| + 的值.
b 0c
(第17题)
18.当:r为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.
(1) 丨工+1丨+丨工一2丨+丨工一3丨；
(2) 丨工+11 + |x—2丨+丨工一3丨+丨工一1丨；
(3) U—2| + |x—4| + |x—6|+…+k—20|.
走进_s i?x e字t茳雄上
走进重高
1.如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为JVf，P，iV，Q，若原点在点N与点P之间，则绝对
值最大的数表示的点是（ ）.
A.点M B.点P C.点Q D.点N
C DA B
M N P Q
(第1题〉
60-5
(第2题）
2. 【铁岭】如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB = BC=3CD.若
A，D两点所表示的数分别是_5和6,则线段J3D的中点所表示的数是（ ）.
A. 6
3. 点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数分别为一5,2,若BC=3,则AC=_____ .
4. 现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12
与乙温度计的度数一 6对齐，那么此时乙温度计与甲温度计的度数一 4对齐的度数
B. 5 C. 3 D. 2
是
甲总
"o~10 20~30 40 50 ji
A
◎乙-20 -10 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(第5题〉(第4题）
5. 如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动:第一次点A向左移动3个单位长度
到达点A,，第二次#点向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单
位长度到达点A3……按照这种规律移动下去，则线段八^八,.，的长度是_____ .
6. 已知 |a|=5，|6j=3，|c| = |36|，且 |a+6|=a+6，|a+ci| = — (a+c)，求2a—36+c 的值.
第二讲数轴和绝对
高分夺冠
1.设：y=lx—l丨 + 丨x+l丨，则下列四个结论中正确的是(
A. :y没有最小值 B.只有一个:r使:y取得最小值
C.存在有限个:c(不止一个)使:y取得最小值D.有无穷多个I使:y取得最小值
U+112.已知a在数轴上的位置如图所示，则 的值为UI ~1
-3 -2 0 2 3
06
240
(第2题) (第3题)
3.如图，正方形的周长为8个单位.在该正方形的4个顶点处分别标上0,2,4,6，先让正方形上
表示数字6的点与数轴上表示一3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则
数轴上表示2017的点与正方形上表示数字 的点重合.
4.若2a+ |4 — 5a| +丨l~3a|的值是一个定值，求a的取值范围.
5.已知0：1,工2, —，：1：2。12都是不等于0的有理数，请你探究以'下问题:
l:i I⑴若:yi ，则:y!
工1
Ul I , I 工2 I(2)若:y2 ，则力
工1 工2
_ Ui I | Uz I | U31(3)若:y3 ，求％的值
1 I I I XZ I + …|_ I J2016 I
工 1 x2 -
些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于
绝对值的和等于____ .
;
工1 工2 工3
(4)由以上探究可知，:y2(m ，共有 .个不同的值；在:^。,《这
工2016
，力。16的这些所有的不同的值的
走进匾篇 i?x e字t圧级j：
有理数的加减第三讲
加法法则〈: 交换律加 法
加法运算律 结合律
转化为加法Y减法法则
减 法
统一成加法加减混合运算
4 _義議馨⑩.
重点分析： ’
1. 有理数加法法则：（1)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；（2)绝对值不等的异号
加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值、咸#较小的绝对值，互为相反数的两个数相
加得0;(3) —个数同0相加，仍得这个数.
2. 加法交换律:a+6=6+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律：a + 6+c=
(a+6)+c==a + (6+c)，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
3. 有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算变
加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：— 6).
难点分析：
1. 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0,从而
确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了.
2. 在进行有理数加法运算时，一般采取：（1)互为相反数的先加（抵消）；（2)同.号的先加
(3)同分母的先加；（4)能凑整数的先加；（5)异分母分数相加，先通分，再计算.
?
參ji.讎
钟面上有
(1) 试在某5个数的前面添加负号，使这5个负数与其余7个正数的和为0;
(2) 在解题过程中你能总结出一些什么规律？
1,2,3,4,5,…，12共 12个数.
fefH邏】先求出1，2,3,4,5,…，12这12个数的和为78,将78 + 2得出5个负数c I
的绝对值的和为39,找到12个数中绝对值的和等于39的5个数，在它们的前面添加负
号即可.
有理数的运算
第三讲有理数的加
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + -+ 12 = 78,78-^2 = 39.
???1+6 + 9 + 11 + 12 = 39，
???5个数为1,6,9,11,12(答案不唯一）.
(2)规律：5个负数的绝对值的和等于1,2,3,4,5，
?為挪咖】认真审题，找出“5个负数的绝对值的和等于1，2,3,4,5,…，12这12个数
的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在：
■如或】要利用互为相反数的两个数相加的和为0,从而找到规律，不能盲目乱凑.
计算：
,12这12个数的和的一半.
(1) 一6 —8-2 + 3.54-4.72 + 16.46-5.28;
(2)
秘猫壩，(1)注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合
(2)首先化简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.
(1)原式=(一6 — 8 — 2-4. 72 — 5.28) + (3. 54 + 16. 46) =-26 + 20=-6.
-1t=(-3t+1t)+(2t-1t)=-2+1=
C^IE^D在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.
当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算?
已知kl =
2 3 2(2)原式= -3T+2T+1T -1.
2,丨6丨=2，|^=3,且有理数^6《在数轴上的位置如图所示，计算^ + 6
+ c的值.
b
C.娜翻塌，根据数轴上的位置，判断出原点的位置及三个数的取值，然后代+
入求解即可.
■激街拆1雜】U|=2,|6|=2,而a在6的右側，
???a>0,6<0,即 a = 2,6= —2.
又??? |c|=3,且c在a的右側，人(：=3.
.*.a+6+c=2-2+3 = 3.
数轴上点的符号规律：原点的左侧是负数，原点的右侧是正数，原点表示o.
根据符号规律及点到原点的距离可以确定数.
能够正确判断出的符号是解答本题的关键.
小张上周五买进股票1000股，每股60元，下表为本周每日股票的涨跌情况：
星 期 四? 五
每股涨跌（元）+4 + 5 1 — 3 -6
(1)到本周三，小张所持股票每股是多少元？
走进匾B ?y iffX 5字 t圧Si:
(2) 本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
(3) 已知小张买进股票时付了 1.5%。的手续费，卖出时需付成交额1.5%。的手续费和1%0的
交易税.如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？
(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格；（2)比较五天涨跌可c.
知.星期一和星期二都是涨?而后三天都是跌，则该股票最高价出现在星期二，进而求出
当天毎股的价格；（3)收益=卖股票收入一买股票_出_卖股票手续费和交易税一买
殷票手续费?代入求值即可.
V"
⑴6G + 4 + 5-l = 68(元）.
? ?到本周三，小张所持股票每股68元.
(2) 60 + 4 + 5 = 69(元）.
? ?本周内，股票最高价出现在星期二，是69元.
(3) 69 —1 — 3 — 6 = 59(元），1000X59 = 59000(元），1000X60 = 60000(元），
59000-60000-60000X1. 5%0-59OOOX (1. 5%0 + l%o)
= 59000—60000-90-147.5
= — 1237.5(元〉.
???小张亏了 1237.5元.
本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.学生在学这一
部分内容时一定要联系实际，活学活用.
股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.
用简便方法计算：
(1) 111.1 + (-12)4-0.9 (2) ( + 13) + ( —21) + ( + 28) + ( — 10) ；；
(4) |+(-y) + (-y) + (-y).(3) 4. 33+(—7. 52) + (—4. 33) ?
(1)能凑整的先凑整，简称凑整结合法；（2)把正数与负数分别结合^了
在一起再相加，简称同号结合法；（3)有相反数的先把相反数相加，简称相反数结合法
(4)遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法?
(1)原式= 111. 1+0. 9 + ( — 12) = 112 + ( —12) = 100.
(2) 原式=[(+ 13) + ( + 28)] +[( —21) + ( —10)] = (+41) + ( — 31) = 10.
(3) 原式= ( — 7. 52)+[(+4. 33) + ( — 4. 33)] = ( — 7. 52) + 0 =
; + ( —1)
— 7.52.
舍+( -1)]+[㈠) + (- + )]H(4)原式
认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合
法；③相反数结合法I④同分母结合法.
不是所有的计算都有简便方法的.
3 .
第三讲有理数的加减
2 *2X3- 2 3,3X4 f — t，将以上三个等式两边观察下列等式: 1----r-1X2
31__2
3"_T卜+十音分别相加得: 4 4 '1X2 2X3 3X4
(1)猜想并写出： n(?+1) --------
(2)直接写出下列各式的计算结果:
+…+① 2016X20171X2 2X3 3X4
+② ;X(? + l)1X2 2X3 3X4 ii
(3)探究并计算: + 2016X2018*2X4 4X6 6X8
(4)计算:士 +舍+ ; +忐+…— 180.
_挪D (1)观察可得分子为1、分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整1
;(2)根据此规律把各分数转化，再进行分数的数的倒数之差?即 V，K"+1)
加减运算；（3)先提出+，然后按照前面的运算方法计算即可；（4)先提出含，然后按
照前面的方法计算即可.
?+1n
??存較拥aa】 ⑴—-?+in
2016(2)① ② + 12017 TI
1(1X2— 2X3 ' 3X4|4(3)原式 1008X1009
1 1008
TX 1009
252
1009.
hyxi+ix1(4)原式
+ + j + n +盖 + …+ F )90
+ 9X1022X3 3X4 4X5
2 10 20.
錄3)服本題考查了关于数的变化规律：通过观察数之间的变化规律，得到一般性
的结论，再利用此结论解决问题.
fet'-nyi'dra (3)(4)要注意观察算式的特点，转化为第（2)題中的运算方法.
走进疆篇 iffX 教字t圧级上
mm
\a~b~c
在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a # 6 # c
{ +Q + 6+C=
2
_丨-1一2-3丨+(-1)+2 + 3 ：如：（一 1)#2#3
(1)计算:4共（一2)#( —5)=
(?) =(2)计算：3#( —7)共 ;
^ 6 5
在一了，一下，… 1 2 8(3) ，…，~^~这15个数中：
① 任取三个不同的数作为a,6，C的值，进行运算，求所有计算结果的最小值；
② 若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#6#c”运算，得到五个不同的结果，由
于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是 .
，07 9 ? 9
fefe細■】(1)(2)根据题中所给出的运算法则列式计算即可；（3)分a<6+c?与C
②将+，吾，???
蒙予a四个负数，最后一组a = 0,6,c?赋予两个负数即可.
8>b+c两种情况把原式化简，即可得出最小值 V/，1分别赋予6，c，同时a *
_ |4 — ( —2) — (— 5) 1+4 + ( —2) + ( —5)诚司：^ (1)原式 = 4,故答案为：4.2
11 113-(-7)-y +3+( —7)+^
(2)原式= = 3,故答案为：3.2
6(3)①当a<6+c时，原式= 6+c,此时若要使计算结果最小，则a=- ~Y yb~\-c的最小值为
5
7 ?
6 6.当时，原式=a，此时若要使计算结果最小，则a=—
y，6= 吾时，原式 +
= *|*时，原式=吾+ + =如
?|■时，原式= y + y = y;
=|?时，房?式=j+T=f,
=一"|~时，原式=0，
y.二计算结果的最小值为一
②V当
A a=2 7 yb 9
4 h- 5
可，b 9"
1 .7_
7 lb~~ 9
= 0,6= —y,c
当a = ，c
当a= 一 ,c=
当a = yC
当a
:
_l mwrn f数的加减^
i
?? 五个结果之和的最大值为|? + |? + 呈 +导= 4.I
GSIEO本题考查的是有理数的加减混合运算，根据題意列出有理数相加减的式子
是解答本题的关键.
feititaaiQ本題是新定义运算题，阅读量较大，不易理解，要综合文字和算式准确理解
题意.
拓展训练
A组
1.下面的数中，与一3的和为0的是（ )?
A. 3 B. -3 C. T D. 3
2.下列结论中，不正确的是（ ）.
A.若 a>0,6<0,且 a> 丨6| ,则 a + 6<0
C.若 a〉0,6〉0,则 a+6〉0
B.若 a<0,6>0,且 U|>6,则 a+6<0
D.若 a<0,6<0,则 a+6<0
3.把（+ 5) —（ + 3) —（一1) + ( — 5)写成省略括号的和的形式是(
A. -5-3 + 1-5 B. 5 一 3 —1 —5
D. 5 — 3 + 1 — 5
4-某电视栏目中，主持人出了这样一道题目：a是最小的正整数，6是最大的负整数，c是绝对值
最小的有理数，请问：a,6,c三数之和是（ ）.
C. 5 + 3 + 1 — 5
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 一天早晨的气温为一3*0,中午上升了 6C,半夜又下降了 7*0,则半夜的气温是(
A. — 5 *C B. -4°C C. 4°C D. -16^C
6. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”，对于任意有理数a和6,有
^☆6=2^—6+1?请你根据新运算，计算1六[3☆( —2)]的值是（ ）.
A. 6
7. 若在1，2,3,…，2018前任意添加一个正号或者负号，则（ ）.
A. 它们的和是奇数
B. 它们的和是偶数
C. 若有奇数个负号，则它们的和是奇数;若有偶数个负号，则它们的和是偶数
D. 若有奇数个负号，则它们的和是偶数;若有偶数个负号，则它们的和是奇数
B. -2 C. —6 D. 2
8. 计算 T—i + y-y
9. 解答下列各题：
(1) (一3.6) + ( + 2.5);
T"T +…+ 的结果为l00~99
3 (— 3+) 4(2) 2 T^~~2 ;7
走迅81篇 '7> fflX 教字t圧级上
("I)(4) —5 —( — 11)+2— —(3) (—49) 一（ + 91) —（一5) + ( —9) ;
2(5) 3+-(-1) + 2吾+(_|) -1士 - ( + 2 士)-(-2. 75)(6) y ；
(-4+) - (+5i)-(-4 士).(7) (一7) —（一 11) + ( —9) —（ + 2) (8);
10.阅读下面的计算方法.
一5普+(一9吾)+ 17 (―3+)
(-音)]+ [(-9)+(-吾)]+ [(+17) + (+1)] +[(-3)+(-9
=[(-5) + (-9) + ( + 17) + (-3)]+[(-1) +(-!?) + ( + ■!?) + (-+ )
(-A
=(-5) +
= 0+
—T.
上面这种方法叫拆项法.仿照上述方法计算：
(-2017 |-)+(-2016 y)+4035 y+(-ly).
26
第三讲有理数的加减
H.已知U6 — 2丨与U_l|互为相互数，试求下式的值:
fab (a+l)(6+l)T(a + 2)(6+2) (a+2015)(6+2015)*
在班级元旦联欢会上，主持人邀请李强、张华两位同学参加一个游戏，游戏规则是每人每次
抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到黑色卡片，那么减去卡片
上的数，比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为同学们唱歌.李强抽到如图1的四
张卡片，张华抽到如图2的四张卡片.
12.
4 4
图1
(第12题)
李强、张华谁会为同学们唱歌？
B组
?例如，2?3= ++士 = *|■，那么3?(一4)13.定义新运算:对任意有理数a，6,都有
的值是（ ）.
7 7_A. C.B. D.1212 12 12
14. 1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中（
B.至少有998个正数
D.至多有1995个是负数
15. 对于实数?6，如果《〉0,6<0且|?|<丨6丨，那么下列等式中成立的是（
A. a~hd— |a| + |6|.
C. a+6= — ( |a| — |6| )
).
A.至少有一个是零
C.至少有一个是负数
)?
B. a+6= — ( |a| + |6| )
D. a'-hb (|6| — |a| )
走进匾s iflX 教字tS纽上
*
16.按照如图所示的程序运算（完成一个方框的运算后，把结果输入下一方框继续进行计算），当
输入的数是一 1时，输出的结果是_____ . I
否
是>2(-3) -5输入 输出+4 ?
(第16题）
17. 规定一种新运算:a※6=U+l) —(6_1)，右边的运算是正常的加减运算.例如：（_5)※（一2)
=(一5 + 1) —（一2—1) = ( —4) —(―3) = —4 + 3=_1，由以上规定计算 +
+ (2※3) + (3※4)^---h (2015※2016)=______ .
18. 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加“ * ”键，再输人数6,就可以得到
运算:a * 6= (a—6)—丨6—?
(1) 求（一3) *2的值；
(2) 求（3*4) * ( — 5)的值.
I
19.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表:
加数的个数 连续偶数的和Sn
2=1X2
2+4 = 6 = 2X3*Z
2+4+6 = 12 = 3X43
2+4 + 6+8=20 = 4X54
5 2+4+6+8+10 = 30 = 5X6
(1) 如果1=8,那么S的值为_____ ；
(2) 根据表中的规律猜想：用含7i的代数式表示S的公式为S = 2 + 4 + 6 + 8 +…+2? =
；
(3)根据上面的规律计算102+104 + 106 +…+2016的值（写出计算过程）.
第三讲有理数的加减
走进重高
1.【南京】计算丨一5 + 3丨的结果是(
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
2.已知|工丨===3,丨3>丨=2,且ar>：y，则的值为（
A. 5 B. -1 C. —5或 一1 D. 5或 1
? 3.【柳州】如图，这是某用户银行存折中2012年11月到2013年5月间代扣电费的相关数据，从
中可以看出扣缴电费最多的一次达到（ ）.
.币种
RMB钞
RMB钞
RMB钞
RMB钞
存/取款金额
-147.40
-143.17
-144.23
-136.83
(第3题）
摘要 余额曰期 操作员
000602K91
000602Y02
000602D39
000602D38
备注柳州电费
柳州电费
柳州电费
柳州电费
550.75
407.58
263.35
126.52
折121105
130108
130305
130508
折折折
A. 147.40元 B. 143. 17元 C. 144. 23元 D. 136. 83元
4.计算各+(冬+冬）+ (J_+A+_L) + (丄+A+A+土）_j—I- f-L+—+—h—h—
h>^2 \3 3/ U 4 4/ V5 5 5 5 / 卞、50卞50 50 卞50
结果为（ ）.
A. 612
?5.【上海】计算：丨 一2丨+2
6.【常德】如图，一个数表有7行7列，设化表示第?行第y列上的数（其中i
= l，2,3，一，y = l，2,3r").
例如：第5行第3列上的数知= 7,则：
)的
B. 612.5 C. 613 D. 613.5
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
(1) (a25 —a22) + (a52 -^53) ;
(2)此数表中的四个数 ，a*，，满足一 a* ) + — a坤）a, (第6题)
高分夺冠
1.简便计算：
(1) 4. 5 + 6. 8 + 3. 2+5. 5 (2) 3. 63 —1.25 + 17. 37 — 8. 75； ?
(4) 10T(3) 1927-528-472 一0. 35 —0. 65.;
.i
BIX教宇级上走迅_惡
2数学上，为了简便，把从1到w的连续”个自然数的乘积记作77!，即”！ =1X2X3X…X(w—
个自然数的和记作4吝户，即名户=：：1 + 2 + 3~1-- Hn,则 2017! 2017 2018h Ez— E i的值为l)X;i，将上述 2016! i-1 ? _1
3.如图的号码是由I4个数字组成的，把每一个数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个数字
之和都等于14，则J：的值等于____ ■
9 2x
(第3题)
41195 30-6ii + 7^_87l + 9 90 =1 -一 4 TT + 54. 计算+
5. 对于任意有理数定义运算如下:a * 6=a+6—？* 6 * c=a+6+c-^17
* 2016 * 2017的值.
20
，计X2 ，…
算 1*2*3*4*
6-将九个数填在3X3(3行3列）的方格中，如果满足每一横行、每一竖列和每条对角线上的三
个数之和都相等，这样的图称为“广义的三阶幻方”.如图1就是一个满足条件的广义三阶幻
方?图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数.
(1) 请直接将图2、图3的其余6个数全填上；
(2) 就图3加以说明这样填写的理由.
5 12 4 8-2 -6 -6 -5
6 8 -II
10 2 9
图1 图2 图3
(第6题)
i：
有理数的乘除第四讲
⑩參__
乘法法则
交换律乘 法 倒 数
结合律乘法运算律
有理数的运算 分配律
除法法则
除 法
除法与乘法间的关系
_ 謙霤翁_
重点分析：
1. 有理数乘法法则：
(1) 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘
(2) 任何数同0相乘，都得0.
2. 有理数乘法运算律：
(1) 乘法交换律:aX6=6Xa;
(2) 乘法结合律：（aX6)Xc=aX(6Xc)
(3) 分配律：aX(6+c)=flX6+aXc.
3. 有理数除法法则：
(1) 除以一个数等于乘这个数的倒数（注意：0没有倒数）；
(2) 两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除.
难点分析：
1. 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数为奇数时，积为
负；当负因数的个数为偶数时，积为正.
2. 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.
3. 乘积为1的两个有理数互为倒数.
?
走进匾篇货、 ^ iBX 教字t:圧埋上
__?翁
下列计算中，正确的是（
A. ( —7)X( —6) = _42
C. (~2)X0 = 0
)?
B. (一3)X( + 5) = 15
7yX4=(-7 + y)x4 = -D. 26
灞:J根据有理数乘法法则进行计算.
C
CS^IEX>本题考查了有理数乘法法则：（i)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝
对值相乘；（2)任何数同0相乘，都得0.
注意_7 "I■可以拆成一7- +，而不是一7 + +
对于有理数定义运算“※”:a※6=a ? 6—
(1) 计算（T?)※3的值；
(2) 填空：4※（一2)
，不要混淆.
a—b—2.
(一之）※“填“ >，’、“=，，或“<，，）
(3)我们知道??有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么，由（2)的计算结果，你认为
这种运算“※”是否满足交换律？请说明理由.
(1)将 a = -2,6=3代入运算公式? 6—a —6 — 2,即可得到C
(一2^X3的值；（2)运用运算公式分别计算出4※（一2)和（一2)※彳的值即可比较大
小；（3)是否满足交换律关鍵是利用公式分别计算出和的结果，再利用乘法
交换律和加法交换律看看是否相等.
(1) (一2)※3 = ( —2)X3 —（一2)—3 — 2=—9.
(2) 4※（一2)=4X( — 2)—4一（一2)_2=_12
(一 2)※4 = ( —2)X4 — (—2) —4 —2 = —12.
故答案为：=.
(3) 这种运算“※”满足交换律.
理由是：? b—a — b— 2,
bla = b ? a — b—a — 2 = a ? b—a — b—%，
???fl※6=6※a. ? ?这种运算“※”满足交换律.
錄郷本题主要考查了有理数的运算，还考查了运用乘法交换律和加法交换律证
明公式的性质.
fer縻jgi，第（3)题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法，这样证明不全面.
;
i-
-
第四讲有理数的乘除
<2 + 6若 ，6互为相反数，c,c/互为倒数，m的绝对值是2,求 ■\-m-cd 的值?a m
O-
由a，6互为相反数
cc/=l，w=±2,然后代入求解即可.
d互为倒数，m的绝对值是2可以得到a + 6 = 0,?c,
Ya,6互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2,
+ ,772.= 士2.
.a-\~b ? a~\~b+ m —±2 —1. ??? \-m—cd的值为1或一3.m m
縣取㈣，本题分别考查了相反数、绝对值、倒数的定义等，解题的关键是熟练掌握相关的
定义及其性质.
绝对值等于2的数是+ 2和一2,注意不要漏解■
?强1计算：
(1) (~3)X (-y)x(-i)x'4 x(1_y+i~^)(2) (-36)
18 (4) -3. 14X35. 2 + 3. 14X(-46. 4)-3. 14X18. 4.(3) 9 ^X(-15)19
驟撕壩，(l)原式第一、三项结合，第二、四项结合，约分即可得到结果；（2)原c i
式利用乘法分配律计算即可得到结果；（3)原式第一项因式变形后，利用乘法分配律计
算即可得到结果；（4)原式逆用乘法分配律即可得到结果.
(-i)x(-i) 4 4(1)原式=
(2) 原式= — 36 + 16 —30 + 21 = —29.
(3) 原式=(10—占)X( — 15) = —150 + 諄=
(4) 原式= 一3. 14X(35. 2+46. 4 + 18. 4) = —3. 14X100=—314.
踩取财，本题考查了有理数的乘法法则和简便运算，熟练掌握运算法则是解本题的
-3X X + =
7 5 ?
4-149 士19.
关键.
腐-漏题（4)是逆用乘法分配律，特别要注意添加括号时各项符号的变化.
如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题.
3计箅:(-15)+|j
解：原式=(-15)+〔-警
=(-15)+(_25)
-3-- x6
2
ix6 ?第一步
第二步
第三步35
走m■建 教字t圧组上：
(1)解题过程中有两处错误：
.步，错误原因是^
.步，错误原因是
第1处是第
第2处是第
(2)请写出正确的解答过程.
；
；
(1)首先根据有理数四则混合运算的运算顺序，从第一步到第二步，C j：
先计算除法?再计算乘法，所以第I处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有
理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误；（2)根据有理数除
法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可.
(1)根据分析，可得：
第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；
第2处是第三步，错误原因是符号错误.
(2) ( — 15)+( + -
=(-15)+(-莩）
f) X6
X6
18
TX6
108
5 ?
取1】本题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答本题的关键是
要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
辟猶aa运算顺序和符号是有理数运算中最常见的两类错误，尤其是符号，运算时
一定要先确定符号.
请阅读下列材料：
计算:(一忐)+(f—.忐++—！)?
(-忐)+(-忐)士(-盍)壶卜2 1 1 1解法一:原式= 20 3 55
12 6
解法二:原式=(-点)+[(!?++)-(古+吾)]j)=-盖
解法三:原式的倒数为(吾一士+j—一盖）=(1■一舍+H)
X3 10
2X(二*30) = Tx
2 一 20 + 3 — 5 + 12 = —10一 X(-30) = 5(-30)( — 30)— 士 X( — 30)10
故原式
上述解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法
10*
是错误的，
第四讲有理数的乘
T~Ti'tY~T r然后请计算：(一去)+ (
C
根据有理数除法的运算法则可以判断出上述解法的对错.
歡#偷辣】解法一是错误的.
=(—忐)+[(++音)—(吾++)]=(—去 H+—i*)=(—忐)X3=—A.解法一:原式
解法二:原式的倒数为(+—吝+吾一+ )+(—忐)=(+ —各+ | —+ )X(-42) = + X
3 2 2( — 42) — jjX(-42) + yX(-42)-yX(-42) =
在计算时先对整式进行观察，选择合适的方法有利于提高解题效率.
在除法运算中，当除数是多个数时，不能应用分配律.
— 7 + 9 —28 + 12=— 14,故原式=一 14.
已知a,6，C为有理数.
(1) 如果a6>0，a+6>0,试确定的正负；
(2) 如果M〉0,a6c>0,6c<0,试确定a，b，c的正负.
fete?■淨3由有理数的运算法则即可判断所求字母的正负性..
j (1) ???0，/.a,6同号.又???a+6>0,.%fl,6都为正数.
(2) ?:ab>Q，：.a，b 同号.又???a6c>0, _?_:>().
又??? bc<0，??? 6,c 异号，即6<0，故 a<0.
???a，6为负数，c■为正数.
GSEE3D积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有
偶数个时，积为正.
解决此类判断正负的问题，单个条件无法判断时,要综合几个所给条件考虑.
氣肩麵⑩
拓展训练
A组
1.下列说法中，错误的是（ ）.
A.任何有理数都有倒数 B.互为倒数的两个数积为1
和士互为倒数C.互为倒数的两个数同号 D. 2
Sffi** ^ iiix 数字 t年纽
(一+)的结果是(2.计算（一l) + (-5)X ).
A. ~1 B. 1 C. D. -2525
3. —个有理数与其相反数的积（ ）.
A.符号必定为正 B.符号必定为负 C. 一定不大于零
4. 下列说法中，不正确的是（ ）.
A. —个数（不为0)与它的倒数之积是1
B. 一个数与它的相反数之和为0
C. 两个数的商为一 1，这两个数互为相反数
D. 两个数的积为1，这两个数互为相反数
5. 下列算式中，正确的是（ ）.
A. (24X + )
D. —定不小于零
ix(-|) = -3
-苔+(-音)X( -1)=-音
+ ( — 6)= B. 一 3. 5 +~4y
6.在数3,一 1，4,一6中，任取3个不同的数相乘，其中积最大的是(
C. (一6) + ( — 4)— D.
A. 18 B. -72 C. 6 D. 24
3a+36_ 187.已知a,6互为相反数，互为倒数，那么式子 的值是6cd~\~3
a ~~ b b—c c—a
b —c *c~a *a—b8.三个有理数两两不等，则 中有 _个是负数.
9.学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题.
15计算：71 gX( — 8)，看谁算得又对又快，下面是前两名同学给出的解法:16
1151 9208小强：原式=一 X8= —
= (71 + 1|)x(-8) =
= -575 T16 16
小莉:原式 71X(-8) X(-8) = - 575 T.
(1) 对于以上两种解法，你认为谁的解法比较好？其理由是什么？对你有何启发？
(2) 此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来.
10.计算:
(2) 1ixy-(-y)X2i-,-(~i)xT(- + )X(-6)(1) 一 1 + 5 + ;
-3a+611.对于有理数a，6,定义运算: ?计算：（一2)A[( — 3)A4].a-3b
12.某公司去年1?3月份平均每月盈利2万元，4?6月份平均每月亏损1.6万元,7?10月份
平均每月亏损1.4万元，11?12月份平均每月盈利3. 4万元(假设盈利为正，亏损为负）.
(1) 去年该公司是盈利还是亏损？
(2) 去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元？
B组
a—5)^要使丄 为整数，a只需为（13. )?
A.奇数 B.偶数 C. 5的倍数 D.个位是5的数
14.某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100
元但不超过2Q0元一律打九折;③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明一次性购书
付款162元，那么王明所购书的原价一定为（
A. 180元 B. 202. 5元 C. 180元或202. 5元D. 180元或200元
b ab.a15.已知《义6为任意非零有理数，则 的可能取值是(\ar\br\ab\
A. _3或 1 B. 3或1或一 1 C. 1 或3
16.已知整数 a，b，c，d 满足 = 且 a>6>c〉c/，则 a+6+c+d
D. — 1 或3
17.若a,为相反数，cd互为倒数，m的绝对值是1，求(a+6)W — 2016m的值.
走进匾B ^ fflx 教字 t$aj：
18.教室里一般都装日光灯来照明，已知每根灯管每小时的平均耗电世约为0.04千瓦时（俗称
为度），而1千瓦时电的价格是0. 75元.设教室每天平均开灯10小时，请计算并回答以下
问题:
(1) 若每所中小学平均有30间教室，每间教室配有12根灯管，则一所中小学所有教室一天
的耗电量是多少千瓦时？
(2) 某市约有500所中小学，一年若按210个工作日（即上学时间）计，则每年该市中小学所
有教室的照明电费约为多少元？
19.若“!”是一种数学运算符号，并且 1! = 1,2!=2X1 = 2,3! = 3X2X1 = 6,4! 4X3X2X1
24,…，求^的值.
走进重高
1. 【六盘水】下列运算结果中，正确的是（ ）.
A. -87X(-83) = 7221
C. 3. 77-7.11 = -4. 66
2. 【台湾】计算(一 1000 +)X(5 —10)的值为（
A. 1000 B. 1001 C. 4999
3. 若2a+6=0(a^0)，则一 1 + — 2的值为（ ）?
A. 一 1 或一2 B. 一2或一3 C?—3
B. -2. 68-7. 42=-10
一 101 .-102D. <102 103
).
D. 5001
D?—4
第四讲有理数的乘除
4. a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数.如：2的差倒数是 ~2 = -U-l的差倒
_f，a2是a,的差倒数，a3是a2的差倒数，?是A的差倒数
l~a 1-
数是 1 一彳一 ry_7.已知 o-x
.....依次类推，则a2(m=_____ .
5.读一读:式子“1X2X3X4X5X…X100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述
式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1X2X3X4X5X…X100”表示为
在《，这里“n”是求积符号?例如：1X3X5X7X9X…X99(即从1开始的100以内的连续奇数
_ 50 ? ,0
的积），可表示为 g 1)，又如 13 X23 X33 X43 X53 X 63 X 73 X83 X 93 X 103可表示为 n；i3.
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题；
(1) 2X4X6X8X10X…X100(即从2开始的100以内的连续偶数的积），用求积符号可表
'示为
100
;
(2) lXf X含X… 用求积符号可表示为
计算：S (1 —矣).
it-2 ^ 71 I(3)
高分夺冠
1.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂蛩范围是(
用法用世：口服，每天60~120mg,分3?4次服用
规格：□□□□□
1C藏：□□□□□
(第1题)
A. 15 mg ?30 mg
C. 15 mg?40 mg
B. 20 mg?30 mg
D. 20 mg?40 mg
2 3 42.已知a, 依据上述规~ir，a2 2X3X4 ' y_T，G3 3X4X5 1 T —!§，???，1X2X3 2 3
律，则a99
走进疆B iffX s字 taESi上
3.如图，一个啤酒瓶的高度为30cm,瓶中装有高度为12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中
水面高度是20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 (瓶底的厚度不计).
30 cm
20 cm
12 cm
(第3题）
4-—本书的页码是连续的自然数：1，2,3,4,…，当将这些页码加起来的时候，某个页码加了两
次，得到不正确的结果2009,则这个被加了两次的页码是____ .
5.分析判断：
(1) 如果fl6<0，a<6,试确定a，6的正负；
(2) 如果 a6<0,a+6<0,|a|>|6|，试确定 fl,6的正负
(3) 如果 fl6<0,a6c<0,6c<0,试确定 a，b，c 的正负.
;
第五讲有理数的乘方及混合it
第五讲 有理数的乘方及混合运算
⑩_馨_-
乘方的意义
乘方运算乘 方
科学记数法
有理数的运箅 加、减、乘、除、乘方混合运算的法则有理数的混合运算
准确数和近似数的槪念
准确数和近似数 有效数字
H —— ........... ..............
重点分析：
1. 乘方可以看作乘法的特殊情况.规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数.互为相反数的两数的奇次幂仍互为相反数，它们的偶次幂则相等.
2. 有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号的，则先算括号里
面的.
3. 准确数和近似数是应用有理数解决实际问题所必需的.
4. 科学记数法：把一个实数表示成士aX10”（l难点分析：
有理数的混合运算需要运用多种法则，较复杂的符号判别和运算顺序是本讲的难点.
223、(-+ )， ，一丨一 3丨，一（+ 2)，其中是负数的给出下列各数：一 0
有 个.
、正确运用乘方法则进行乘方运算并化简有关绝对值的计算，得出结果1
后就可以知道负数的个数. ll
走进薩篇 i?x 教字上
(-IB，5
，一丨一3丨，一（ + 2).
22 4... —32=
一2，.??负数有:_3Z，一言
2001 _ 1，一丨一 3| = —3,一9, 十，-(-1)
0
==
22—(+ 2)=
故答案是4.
，果解本題的关键是正确利用乘方和绝对值的有关运算法则进行化简，然后再
确定答案.
22一32是表示3的平方的相反数；一y是表示2的平方与5的商的相反数；当底
数是负数或分数时，要加括号.
计算：（1) (―|-)X(3-1 j-0.16)
(2) 25X + -(-25)X+ + 25X(- + )
(3) — 22 —（一2)2X0.25 + 4~.
v ?、 u
i
9
(1)先算括号内再计算或者直接运用乘法分配律来计算都可以；(2)先相、
乘?再加减或者直接逆用乘法分配律来计算;(3)先算乘方，再算乘除，最后相加减.
原式=(—|)X(3_+ 一垚 M 一 1)
方法二:原式=(-|)X3-(-|)X(l+)-(—|~)
(2)方法一：原式
113 113(1)方法一： X^ =75 100.
3 +ixy+iX0. 16=- TX3 x
+h= 113100*
_75丄25 25 _
_T+了一丁-
方法二：原式= 25X~|" + 25X++25X (-j)=25X (j + y--|-) =25.
25.
(3)原式= —4_4X0. 25+ 了=一4一2=—6.
踩财沉，对于有理数的混合运算首先要仔细观察所求式子，看是否能运用运算律使
运算間便，然后按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算
括号里面的.
fel-漏对于（1)(2)小题运用乘法分配律时要注意运算符号；（3)注意一22表示2
个2相乘的相反数，其结果为一4.
4^ 比较61"，3m ,2333的大小,[提示
由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公e f
约数n】，所以可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数
即可.
第五讲有理数的乘方及混合运算
9m，2
又??? 91U >8n, >61U，??? 3222 > 2333 >6,n.
V32Z2 = (32) 8,u ,333 (23)
錄通】，本题主要考查了幂的大小的比较方法.一般说来，比较几个幂的大小，或者
把它们的底数变为相同，或者把它们的指数变为相同，再分别比较它们的指数或底数.
当幂的底数和指数都不同时，不能直接比较出大小.
阅读理解
已知：（a6)2 = a2 62，（ab)3 =a3b3 AabY =aAb*.
(1) 用特例验证上述等式是否成立
(2) 通过上述验证，猜一猜：（以)1^
(3) 上述性质可以用来进行运算，反之仍然成立，即：Y6” = (a6)”.
；
，归纳得出 7
)应用上述等式计算: X420*6.4
财十■渊:^ (1)任取一组“，6的值代入进行计算即可；（2)根据（1)中的各数的值
找出规律即可解答；（3)运用（2)中的规律计算即可.
则（2父3)2 = 22父32 = 36.,(2父3)3=23><33=216，（2父3)<=2<父3< = 1296,故(<16)"
(2)答案为：
原式=(-+ )
(1)令 fl = 2,6=3.
anb\
(_ + X4)X 420,5 X4 X4 = (-1)20,sX4(3) -4.
本題考查的是有理数的乘方及规律的归纳总结.解答本题的关键是根据
(1)中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答.
幂的运算要特别注意概念，弄清底数、指数和运算法则，还要注意结果的
符号.
我们常用的数是十进制数，如wsysAxu^+Gxioz+sxio'+yxio。，十进制数
要用10个数码（又叫数字）：0,1，2,3,4,5,6,7,8,9.在电子计算机中用的是二进制数，只要2个
数码:0和1,如二进制数110 = 1 X22 + 1X21+0X2°,相当于十进制数中的6;110101. = 1X2S+1
X2<+0X23 + 1X22+0X2I+1X2°,相当于十进制数中的53.那么二进制中的数101011等于十
进制数中的哪个数？（提示:非零有理数的零次幂都为1)
认真观察给出的两个式子+ 和110101=1
X2S + 1 X24 +0X23 + 1 X22+0X21+]X2°,得出规律再计算即可.
織舶㈣，101011 = 1X2s+0X2<+1 X23 +0X22 + 1 X21+1 X2o =32 + 0 + 8 + 0 + 2
+ 1 = 43.
解答本题的关键是找出规律，按照规律进行计算.
最右边的数字乘2°,不是乘21，2° = 1.
走迅齷篇 ly fflx e字 t$9i±；
若a ，6，c均为整数，且丨a — ftrw + lc —a|2°°a = l,则丨^一(：丨+丨<；一6丨+丨6 — <1丨的值
为（ ）?
A. 1 ? B. 2 C. 3 D. 2001
C-
^本題可分类讨论，分别计算|a — 6| = 1，|c—a| —0和— 6丨=0，丨c~a\
=1这两种情况下所求代数式的值，然后得到结果.
???a，6，c 均为整数，且丨a-6|2°°丨+ k-a|2°°° = l，.
|a一6| = 1, | r_= 0或丨 a_6|=0, 一a \ =1.
当 |a—6| =1, |c—a| =0时，可得 c=
\a — c| + |c—b\ 4- |b~a \ — \a一a\-\-\a一b\ + |b~a\ =0+1 + 1 = 2;
当 |a —6丨= 0, |c—a| =1 时，可得 lr=a，
??? \a~c\ + | c~b\ + \b~a\ = |a—c| + Jc—a| + |a —a|=l + l + 0 = 2
综上可知：丨a — c| + |c?—6丨+丨6—a|的值为2.
故选B.
本题主要考查了绝对值和非负数的性质，关键是要分类讨论.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即U_6| = |6—a9
；
【问题提出】怎样计算1X2+2X3 + 3X4 +…l)n呢？
【材料学习】计算：1+2+3 +…+n.
???l+2+3+".+w
= j(lX2-0Xl) + +
=*2~Cl X2-0X1 + 2X3-1X2+3X4一2X3 +…+ ”(w+l) — (w— 1)”]
= +?(n+l).
【探究应用】
观察规律:①
6 --------------- ------------ ------------------- ??
③3X4 = ?|■(3X4X5-2X3X4);…
猜想归纳：根据观察所得的规律直接写出：4X5=■|?(
1(1X2~0X1),2=Y(2X3-1X2),3=士 (3X4—2X3)，…，/2’=亏[>(；2+1) — (n —1)?],
2
+ *^*(3X4—2X3) + …+ ~|~[w(w+l〉— (n—l)n](2X3-1X2)
第五讲有理数的乘方及混合运算
【问题解决】
1X2+2X3 + 3X4 + 4X5H---- h(n~l)X 72
? =y(l X2X3-0X 1 X2) + y(2X3X4-lX2X3) + y (3X4X5-2X3X4) +
]
【拓展延伸】
根据上面的规律，请直接写出1 Y 2X3 + 2X3 X4 + 3X4 X5 +…+ (n—2)(rt—l) n
=
【探究应用】根据规律直接写出答案即可；【问题解决】根据给出的运
方法类比计算得出答案即可；【拓展延伸】根据前面得出的规律，把所求式子拆成4个连
续自然数的乘积得出答案即可.
【探究应用】
— (4X5X6 —3X4X5) ;(n—l) Xn=~^-[(w — l)n(n+l) —(n—2)(ti_1);*].4X5 =
【问题解决】
1X2 + 2X3+3X4+4X5H---- h(n-l)Xn= -J-(1X2X3-0X1X2) + -^(2X3X4-1X2
O o
+ y(3X4X5-2X3X4)H----h+[(n-l)n(n+l)-(n_2)(”—I)n] = +[1X 2X3 — 0 X 1
X2 + 2X3X4 — 1X2X3+3X4X5 — 2X3X4H----- h(n-l)n(n+l)-(n-2)(n-l)n] =
l)n(n+l).
【拓展延伸】
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5H-----Kn-2)(n-l)n = f(lX2X3X4 —0XlX2X3) + j
++[(?-2)(n-l)n(n + l)-
— 3)(n—2)(n—l)n] = f[lX2X3X4 — 0XlX2X3 + 2X3X4X5-lX2X3X4 + 3X 4X5X6
— 2X3X4X5 +…+ (n—2) (n — l)n(?z+l) —（r* 一 3)(n — 2)(n—l)?] =
X3)
Tu-
(2
X3X4X5-1X2X3X4)+T(3X4X5X6-2X3X4X5) + (n
2)(n — l)n(n +
1).
本题考查了有理数的混合运算，利用类比的思想与方法，得出运算的规律
是解决问题的关键.
算式比较复杂，要注意仔细比较，得出运算的规律.
走迅匯篇 S字 纽i:
@?@?
拓展训练
A组
1. (-3)4表示（ ）?
A. 4个（一3)相乘的积
C. 3个（一4)相乘的积
2. 比较（一4)3和一43,下列说法中正确的是（
A. 它们的底数相同，指数也相同
B. 它们的底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D. 虽然它们的底数不同，但运算结果相同
3. 若0B. —3乘4的积
D. 4个（一3)相加的和
A. x<.x'4.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均水平的四分之一，所以我们要节约用
水?若每人每天浪费水0. 32L，则100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为(
A. 3.2X107L B. 3. 2X106L C. 3. 2X105L D. 3. 2X104L
5.如图，数轴的单位长度为1,如果P，Q表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，哪一个点
表示的数的平方值最大（ ）.
P R Q T
(第5题)
A. P B. R C. Q D. T
6.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一
个分裂成（ ）.
A. 4个 B. 8个 C. 16个
7.近似数3.020X107有效数字的个数和精确度分别为（
D. 32个
A.三个，精确到万位
C.四个，精确到万位
B.三个，精确到十万位
D.四个，精确到十万位
9,则+
瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据Hff,…中，成功地发现了其规律，从而得到
了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门.请你根据这个规律写出第9个数:____.
10.计算：
8.现规定一种运箅“ *”4*6=/，如3*2 = 32 *3
9.
(-价(-1吾广(3) — 22X( — 3)2; (4)(2) —（一2)5(1) (-3)2,
第五讲有理数的乘方及混合适
11.计算:
19 2 (2) 4X(-3)2+6(1) 871-87. 21+53三一12. 79+43占 i21 21
(-i)3xi(3) -0. 52+t I 一32—9| ；
(+—Ux(6oxt_6oxt3 -60X + ).(4)
12.—次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A，B，C,D，?，F分别
藏在六张大纸牌的后面，如图，八,召，(：,0,?：,尸所持的纸牌的前面分别写有六个算式：66;63
+ 63；(63)3；(2X62)X(3X63);(22 X 32 )3 ；(64)3-h62.游戏规定：所持算式的值相等的两个
人是朋友.如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法.
(22x32)3 [-(-2)2x(-3)2f(63)5 (2x62)x(3x63)66 63 + 63
B CA D E F
(第12题）
i 走迅疆篇 fflX 戬字纽上l
B组
13.计算（一2)1M+( — 2)1。。的结果是(
A. 2
)?
100 100B. -2 C. 一2
14.为求 1 + 2 + 22+23 +…+ 22。15的值，可令 S=l+2 + 22 +23 +…+ 22015 ,则2S=2 + 22 + 23 +
+ 22。16,因此2S-S=22°16_1.仿照以上推理，计算出1 + 5 + 52 + 53 +…+ 52。15的值
为（ ）?
D. -1
5 20,5 -1 52016 —1A. 5?015-1 B. 520,6-1 C. D.4 4
15. 已知（工+之尸十丨3>—5丨=0,则：^ =
16. 计算：
(1) ；
2000 —1990+1980 —1970 H----h 20 — 10(2)
(1-y)X(1-T)X(1~T)X*-X(1~958)X(1~959)X(1-I^o)
17.将下列各数:9.99父109，1.01父101。，9.9父109,1.1父101°按从小到大排成一列.
18.比较8131，27",961 的大小.
第五讲有理数的乘方及混合运算
19.你能比较20162。17与20172。16的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与（《+1)"(?是自然数）的大小.
然后我们分析当《=1，《=2，；7==3，?时从中发现的规律，经归纳、猜想得出结论：
(1) 通过计算，比较下列各组中两个数的大小,在空格中填上“<”、“〉”或“=”.
①I2__21 必23___32 ;?34__ 43 ;?4S__ V ;?56__ 65 ；
(2) 将题（1)的结果经过归纳，可以猜想出当时，;1—和（《+1)”的大小关系是
(3) 经过上面的归纳猜想，试比较20162。17与20172°16的大小.
i
走进重高
1.下列各数:①一I2;②一（一I)2;③一I3;④一丨一（一i)2i，其中结果等于一1的是(
C.②③④
).
A.①②③ B.①②④ D.①②③④
2.遗爱湖有5400亩，15亩= 10000m2,用科学记数法表示遗爱湖的面积为(
A. 8. lX105m2
C. 8. IX 10s m2
B. 3. 6X106mz
D. 3. 6X10sm2
13. lm长的彩带，第一次剪去f，第二次剪去剩下的?，如此剪下去，剪7次后剩下的彩带长（不
计损耗)为（ ）.
(|)6 (吾)7(|) (|)A. B. C. D.3 3
4.在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌
(去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运
算结果为24或一24,其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，/，Q,K?分别代表11,
12,13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是:3,—4,_6，10.请你帮助他写出一个算式，使
其运算结果等于24或一24:_____________ ?
5.计算：一 12。17+24+( — 2)3 — 32 X( + )2.
走迅疆8 iflX 教字 tEEffiJ：
6.已知:13 = 1 = ^~X12X2M3+23=9 = ~^X 22 X32 ;13 +23 + 33 =36 = ~^X32 X42 ;13+23+33
+ 43=100 = 4~X42 X52 r"
4
(1) 请你猜想填空：13 +23+33 +…+ (n—1)3+t23
(2) 试计算：13 +23 +33 +…+ 993+1003.
;
高分夺冠
1.如果”是正整数，那么+[1 —( — 1)”](/22—1)的值( )?8
A. 一定是零
C.是整数但不一定是偶数
B.—定是偶数
D.不一定是整数
2.将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2
个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处 那么在第2017个拐角处的数
是
22— 21
10 — 9 8 一 7 20
11 2 6 19
12 3 4 — 5 18
13 一 14 一 15—16— 17
(第2题)
1X2X3+2X4X6 + 7X14X213. (1) ;1X3X5 + 2X6X10 + 7X21X35
第五讲有理数的乘方及混合运算
I2 22 k2 99+ 卜.(2) I2-100 + 50 0 0 22 — 200 + 50 00 是2 — 100々+5000 992-9900+5000*
4.阅读理解题：
试判断200019" + 19992°。°的末位数字.
Y20001999的末位数字是0,而19992的末位数字是1，
(19992)1。。。的末位数字是1.2000???1999
???200019" + 19992°°° 的末位数字是 1.
同学们，根据阅读材料，你能否说明20 002°°5 — 19992°°s的末位数字是多少？写出你的理由.
b abc5.已知a，6，c都不等于零，且+ 的最大值为m，最小值为m，求m+n的值.
%iBX走进匾B 教字 t?Ea上
平方根和立方根第六讲
、{用计算器求算术平方根I平方根 开平方 算术平方根
立方根一开立方^用汁算器求立方根
響會__鑛.
重点分析：
1. 平方根、算术平方根、立方根的概念?平方根：如果：C2=a，那么X叫做a的平方根.算术平
方根：正数的正的平方根和0的平方根统称算术平方根，一个数a(a>0)的算术平方根记作“V?，.
立方根：如果那么：c叫做a的立方根，记作
2. 算术平方根的双重非负性：被开方数是非负数，结果是非负数.
3. 一个正数有两个平方根且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
4. 任何数都有立方根，且立方根和被开方数具有同号性.
难点分析：
1. 平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的.
2. 算术平方根的双重非负性的应用.
求下列各式的值:
VIa) 士(2) -yi6 (4) 7(-4)2 ?(3)
fel.l料通】士 #表示81的平方根，故其结果是一对相反数；一 /I瓦表示16的c
表示1的算术平方根，故其结果是正数负平方根，故其结果是负数 ^/FlT^表
示（一4)2的算术平方根，故其结果是正数.
(1) V92=81,/.±^r=±9.
1第相和古古相一
(2) V4Z = 16,.*.- 716*=-4.
???(I" 9 3: (3) 25 5 .
(4) V42 = (-4)2,/. 7(-4)2=4.
弄清与平方根有关的三种符号±7^，石，一斤的意义是解决这类问题的关
键.士^表示?非负数a的平方根.7^表示非负数a的算术平方根，一斤表示非负数a的负平方根.
注意7^= 士7^.在具体解题时，符号“f”的前面是什么符号，其计算结果
也就是什么符号.
已知2fl—l的平方根为士3,3a+6 — 1的算术平方根为4,求a+26的平方根.
O
㈣撕先根据2a —1的平方根为士3,3a + 6-l的算术平方根为4求出a，6
的值，再求出a + 26的值，由平方根的定义进行解答即可..
???2a —1 = 9,解得 a = 5.
?：3a+b~l的算术平方根为4,
???3a+6—1 = 16,即 15+6—1 = 16,解得6=2.
???a+26=5 + 4 = 9. /.a+26的平方根为 ±3.
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知“一个数的平方根有两个,
这两个数互为相反数”是解答本题的关键.
题目求的是a+26的平方根，而不是求a + 26的值，一个数的平方根有两
个，注意不要漏解.
V2a-1的平方根为士3,
已知:y= y^=r2+ 73(6+1)，当a，6取不同的值时，:y也有不同的值.当:y取最小值
时，求V的非算术平方根（即负的平方根）.
O-如】y= J~a~l + 73(6+1)，要 最小，就是要 y/a~2和 v/3(6+1)最小，
而73(6+1)>0,显然是当v/^^0和73(6+1)=0时:y取最小值.
^1^51 ??? y/a—2^0，%/3(6+l)>0，y= \/a — 2+ v^3(6+l),
???当 和73(6+1) =0时，:y 最小.
由7^1=0和 /3(6+1)=0,可得 a=2,6= — l.
???ba的非算术平方根是一yr=-i.
fc料過m本题主要是考查算术平方根的非负性，一个数的算术平方根的最小值为o.
本题用的是算术平方根的非负性，而不是用被开方数的非负性.
走进_B ^ inx e字 tsa上
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
?/X"- 1 (4) y(x-3)2.(3)(1) >/2-x—\ ; (2) ; ;x-2-/2x—\
料漏霜，使代数式在实数范围内有意义，若有被开方数，则被开方数大于等于
0;若式子中含有分母?则分母不能为0.
(1) ???2—1>0，工一???当 1<工<2时，（1)式有意义.
:心? ?当x>+时，（2)式有意义.
(3) Vx-l>0,x-2^0,.*.x^l 且 x參2 . ?当 x彡 1 且 _r#2时，（3)式有意义.
(4) Y(x—3)2>0，/.x取任何实数时，（4)式都有意义.
有被开方数的代数式要有意义，被开方数必须大于等于0;有分母的代数式
要有意义，分母必须不等于0.
当被开方数在分母中出现时，被开方数必须大于o.
观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1) 72 = 1. 414, 7200 = 14. 14, 720000 = 141. 4,…
yo. 03=0. 1732,73 = 1. 732, 7300 = 17. 32,…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动
(2) ???2:r —1>0(分母2i—1#0)，
.位，其算术平方根的小数点向 .移
动 位 ；
(2) 已知W=2.236,y^=7.071,则 y^7F=____
(3) ^T=l, ^1000 = 10,夕1000000 = 100,…
小数点的变化规律是____ :______ _
(4) 已知 >yi^=2. 154, v^00 = 4. 642,则 >10000 =
i
；
，一 ^0.1:
fefef森h O)观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2)利用得出的规律?1
计算即可得到结果；（3)归纳总结得到规律，写出即可；（4)利用得出的规律计算即可
得到结果.
(1)被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动
一位.
(2) 7071，36.
(3) 小数点的变化规律是：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，其立方根的小数点
向右（或向左）移动一位.
(4) >10000 = 21. 54, — ^07T=—0. 4642.
dKDgtm本题考查了立方根以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键.
注意乎方根与立方根的区别，小数点移动位数的规律不同，不要混淆.
第六讲平方根和立方根
先阅读所给材料，再解答下列问题:若v/FT与同时成立，则0：的值应是多
少？有下面的解题过程：因为yF=T和都是算术平方根，所以两者的被开方数:T_1,1_X
都是非负数.又因为x_i和l—x互为相反数，而两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那
就是它们都等于0,即:c—l=0，l一工=0,故z=l.
问题：已知:y= ^/^1+2,求:e的值.
根据阅读材料中的信息，当两个被开方数互为相反数时，这两个被开""i
方数只能同时等于0,可先求得:r的值，再进一步得出：y的值. f
由阅读材料提供的信息，可得1一2工=0且2x—1 = 0,
???工=如进而可得:y=2. .
= (i)= 4 ?
fc綱漱竹首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解
决问题，本题由材料得出的结论是：如果互为相反数的两个数都在根号内，那么这两个数都为0.
算术平方根具有双重非负性：一是被开方数是非负数，二是它的运算结果
是非负数，本题主要应用了被开方数是非负数这一性质.
??
请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.
① \/16 = \/1 X 16 = X 42 =?J\ X \/42 = 1X 4 = 4
(1)/32= 72X16= %/2X4r=V2X ^=^2X4 = 4 72；
③ v^= 73X16= V/3X4r=V3X X4 = 4 V3.
;
_微通】要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应ei
认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是用序数乘
16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.
④ #= 74306= ViXA2 =74X v/4r=2X4 = 8
?780= 75X16= v/5X4r=^/5X 7^=75X4 = 4 75.
解这类题需注意观察题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子推广
得到一般的结论.
fell=^Eai^按规律找出被开方数后，要利用算术平方根的性质进行化简.
；
走诅匿居 i?X 教字 t0EI8Jt
翁霤⑩_
拓展训练
A组
1. 4的平方根是士2,那么v/肛的平方根是(
A?士 9
2. 下列各组数中互为相反数的是（ ）.
A. 一2与/( —2)2 B. 一2与
B. 9 C. 3 D. 土 3
C. -2与
3.已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（
D. | -2 | 与2
).
C. 76 dm
4.若2m—4与3m_l是同一个数的平方根，则m的值为（
C. — 3或 1
B. J2 dmA. 1 dm D. 3 dm
A. ― 3
5. —个数的立方根是它本身，则这个数是（ 〕
B. 1，0
6. 数n的平方根是:r，则n+1的算术平方根是(
b.
B. 1 D. -1
A. 0 C. 1，一 1 D. 1, 一1 或0
)?
A. 1 C. x~\~l D.不能确定
7.如果:那么:r：y的算术平方根是（
A. V2 B. #
B. (1)写一个比一斤小的整数：
D. 76C. 4
(2)已知a,6为两个连续的整数，且a< 则a + 6=_
9. 有一组按规律排列的数方,灰，沐,2,^■，…，则第n个数是
10. 若a的一个平方根是6,则它的另一个平方根是
平方根是_______ ?
若 ^0. 3670 = 0. 716, 37670 = 1. 542,则 1/^'
12.计算:
若a的一个平方根是6,则^的
，>—367011.
7( 一吾)⑴781-1-^27 + 9
13.求下列式子中工的值:
⑴（3工+1)2 = 16
I
(2)(工一2)3 — 1 = 一28.；
和立方枏—
B组
14.若 则 ws+y°16的值为（
A. 0 B. 1 C. 一 1 D. 2
15. 估计W+1的值的范围在（
A. 2到3之间
16. 下列语句中正确的是（
A. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B. 一个数的立方根不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 一个不为0的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
17. 在0?20的自然数中，立方根是有理数的共有( ).
A. 1个
18. 已知 y/2a一3 + ^/7~3
主编何继斌
华东师范大学出版社
全a百佳田书出版单位
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七年级上
主编何继斌
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(2)
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露 ^华东师范大学出版社#1tc?iu? H 全?百佳圈书出版单位
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上海市中山北路3663号邮编200062
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021-60821666行政传真021-62572105
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787x1092 16开
4
12.5
354千字
2016年8月第1版
2017年3月第4次
30001-60000
ISBN 978-7-5675-5600-3/G-9757
35.00元
出版人王焰
(如发现本版阁书将印订质M问题，请寄回本社客服中心调换或电话02卜62865537联系)
王 编
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图书在版编目（CIP )数据
走进重高培优讲义.数学七年级.上/何继斌主编.
-上海：华东师范大学出版社，2016
ISBN 978-7-5675-5600-3
i.①走…n.①何…in.①中学数学课一初中一教
学参考资料IV.①G634
中国版本图书馆CIP数据核字(2016)第193973号
走进重高培优讲义
数学七年级上
丨
行
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话
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者
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版出
社
网
电
客
地
网
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开
插
印
字
版
印
印
书
定
斌连敏茜
继成小
?
何储严屈
我们发现，有不少学生在学习上投入了大最的时间和精力，做了无数的习题，
但实际学习效果却并不理想，久而久之便出现了对学习的厌烦现象，甚至产生了对
学习的排斥心理。究其原因，就是没有掌握恰当的学习方法，没有找到解决问题的
规律，自然也就感受不到学习的乐趣。
《走进重高培优讲义》的编者都是长期从事课堂教学和竞赛辅导的一线高级教
师，具有多年丰富的教学实践经验。他们精心编著这套书的目的正是为了让更多的
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为将来进一步深化学习打下坚实的基础。
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基础知识、典型例题的引导下进行练习，同时在由易至难、层层深入的训练中加强
对基础知识的巩固和提升。全书力求体现以下特点：
一、 聚焦知识核心，概括重点难点。本书知识模块的编写适用于现行初中
使用的新课标教材，每讲的知识点都是新课标教材相应知识点的延伸与拓展；注重
指出所学知识的重点难点。
二、 选题精练，题型新颖。全书的例题和习题都具有较强的代表性，主要来
源于近几年的中考题和竞赛题。通过对例题的分析、演练以及知识点的延伸训练，
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学生对知识结构的理解和深化。对于学生拓宽解题思路，提高解题技能，培养良好
的学习习惯大有裨益。
本书在编写过程中力求完美，但由于时间仓促，难免出现纰漏，希望各位学生、
老师及家长对于书中出现的疏漏和错误，不吝批评指正。
最后，祝同学们充分发挥自身能力，积极面对各种挑战，成就自己的梦想！
《走进重高培优讲义》编写组
《走进重高培优讲义》
编写组
何继斌金宏江陈智峰吴国斌
华芳郑燕杨吉元林初龙
吴巧玲吴蓓孙磊蒋路
应安安洪鹏吴雪君周璇
学导
騣_导國
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讎究lift
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?激发学习兴趣 /
专顶ilH练
?分层练习由浅入深
?幵放作业自主学习
一、基础巩固篇
第一讲有理数...............
第二讲数轴和绝对值........
第三讲有理数的加减........
第四讲有理数的乘除........
第五讲有理数的乘方及混合运算
第八讲平方根和立方根......
第七讲实数及其运算........
第八讲代数式..............
第九讲整式................
第十讲整式的加减..........
第十一讲一元一次方程的解法?????■
第十一讲一兀一次方程的应用??…
第十三讲线段、射线和直线
10
20
31
41
52
60
69
80
90
100
110
123
翁翁
第十四讲角?……
第十五讲相交线
133
145
4
第十六讲数形结合思想
第十七讲分类讨论思想
155
162
第十八讲方程思想、转化思想
第十九讲整体思想...........
170
177
参考答案 183
0 m m
第一讲有理数
丨基础巩固篇
有理数第一讲
響?馨9sii A,
自然数的意义<自然数 自然数的作用
分数（小数）的意义<分数（小数）
分数（小数）的形式
正有理数
有理数的意义 具有相反意义的蛰 负有理数
正有理数有理数
零按正负性分
负有理数
有理数的分类 分数按整分性分 整数
重点分析：
1. 回顾以前学过的关于“数”的知识，进一步理解自然数、分数的产生和发展的实际背景，通
过学生身边的例子体验自然数与分数的意义以及它们在计数、测量、排序、编码等方面的应用.
2. 从相反意义的量的表示，理解正数、负数的概念，理解有理数产生的必然性、合理性.
3. 有理数的分类：按有理数的整分性可以分为整数和分数；按有理数的正负性可以分为正
有理数、负有理数和零.
难点分析：
1. 分数都可以化为小数，有些小数（有限小数和无限循环小数）可以化为分数.
2. 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量（必须是同一
类量，数量大小可以不相等）.
走进疆B i?x e字tsE纽上
_.?翁一
下列说法中，正确的是（
①0是整数;②0是有理数；③0是自然数;④0是正数;⑤0是负数；⑥0是非负数.
A.①②③? B.①②⑥ C.①②③ D.②③⑥
㈣纖隸I] 0是自然数，是整数，不是正龄也不是负数，但属于非负数，根据题意描
述进行判断即可.
①②③⑥正确，0不是正数也不是负数，所以④⑤错误，故选A.
本題考查了有理数的定义，注意掌握o这个特殊的数，它是自然数，也是整
数，它既不是正数也不是负数.
数扩大到有理数范围后，注意o的特殊性，特别注意o是整数，o既不是正
数，也不是负数，但它是非负数.
火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快，1?98次为特快列车，
101?198次为直快列车，301?398次为普快列车，401~498次为普客列车；二是单数与双数表
示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京.根据以上规定，龙岩开往北京
的普快列车“海西号”的车次号可能是（ ）.
A. 96 B. 118 C. 335 D. 336
湖念根据普快列车的车次号在301?398之间，开往北京的列车车次号为
双数作答.
D
本题是材料題，要仔细阅读所给信息才能得出正确的结论.
解题时要把火车票车次号的两个意义相结合.
O)已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不付钱，最
__ 瓶矿泉水；
(2)师生共52人外出春游，到达后，班主任把买矿泉水的钱给班长，要他给每人买一瓶矿泉
水.班长到商店后，发现商店正在进行促销活动，规定每5个空瓶，可换1瓶矿泉水.班长只要买
____ 瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
4^^
多可以喝
(1)肴15里面有几个4,再看余下的空瓶包含几个4,把个数相加即f
可；（2)因为5个空瓶=1个空瓶+】瓶的水，可知4个空瓶可以换1瓶的水，因此花4
瓶的钱可以喝到5瓶水，所以花40瓶的钱可以喝到50瓶水，还差2瓶单买.
第一讲_
(i) 15+4=3 3,可先换3瓶矿泉水，喝完后还剩3+3 = 6个空瓶，拿出
4个空瓶换一瓶矿泉水，还剩3个空瓶，找人借一个空瓶凑齐4个空瓶换一瓶矿泉水，喝完还剩一
个空瓶，再把这个空瓶还给那个人，故最多可以喝5瓶矿泉水.
(2) 52 + 5 = 10(组） 2(瓶）；4X10+2 = 42(瓶）.
故班长只要买42瓶矿泉水，就可以保证每人一瓶.
本題考查的知识点是推理与论证，关键要抓住“5个空瓶可换1瓶矿泉水”
这个条件，得出“4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水”这一结论，然后再列式计算.
换来的矿泉水喝完又是空瓶，可以继续换.
把下列各数填人相应的大括号里:
，一6. 5，17%, —2 -7T-3,0. 2,3. 14,8,0,-2,20,^-4
整数：{
分数
正数：{
负数
自然数
负有理数：{
8
fei?鑑有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数
和负分数，根据以上内容判断即可.
整数：{ — 3,8,0, 一2,20,…}
分数:{0.2,3. 14,士，一6.5,17%, — 2各，."}
4
正数：{0.2,3. 14,8,20，+，17%,“.}
;8
?
负数：{一3,一2,一6. 5,一2 7，“.};8
自然数：{8,0,20,".}
负有理数：{—3，一2，一6. 5,一2 f，".}.
本題考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解本題的关键.注意：有理
数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数.
本题数据比较多，大部分数据承担多种角色，所以要注意不重不漏.
分子为1、分母是等于2或大于2的自然数的分数叫做分数单位.早在三千多年前，
古埃及人就利用分数单位进行书写和计算.将一个分数拆分为几个不同的分数单位之和是一个
3 =1±^=丄+1=丄+丄.A==A=l±l=i+A=l+丄 - 4 4 丁4 4 2,3 6 6 6 6 6 2 *
；
古老且有意义的问题.例如：f
走扭匾B fflx 教字 t$a±：i
(1)仿照上例，分别把分数|■和拆分成两个不同的分数单位之和.
5_ = 3
；5
(2)在上例中，+ = + + +，又因为+ =音=1^ = + + + = + + +，所以| = + + | +
■|?，即|■可以写成三个不同的分数单位之和
的分数单位之和.根据这样的思路，探索分数f能写成哪些两个以上的不同的分数单位之和.
.按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同
_猫灞，(1)由分数单位的意义可知，将一个分数拆分为几个不同的分数单位c
之和，就是利用同分母分数的加法或约分的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使、
其中一个分子是1，另一个分数的分子能整除分母；（2)只要根据分数单位的转化方法，
把其中一个分数单位利用分数的性质继续拆分即可.
5 1 + 4 1.13 6 1 + 5 = ^_ , J_
一 15十？(1) + = =--- ---= —8 8 8 5 10 10
(2) T= 8_ + "6~ + T, 8" = 24 + l2"*"2',T = T + T"，"T2"f"T，(答案不唯一)
1
fc糊;:本题考查了分数性质的灵活应用、同分母分数的相加以及约分方法，也考
查了学生的观察能力.
分子为1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，最大的分数
单位是f
存J翁
4^ 请根据各数之间的关系，找规律填空.
CD
(2)
A| 3[ Q::
61
6 32 12 3 4 5 5 ?
28 81 41
(3)
17 28 33 92 45 37 18 61
297 953 ?3115
㈣嫌m (1)观察图形中的数可知：（9 + 6)Xl = 15;(6 + 7)X4 = 52;(5 + 8)X3t_n
= 39;由此可得，每个三角形中：（上面的数+左下的数）X右下的数=中间的数；（2)根|
据图形中的数可知：中间的数=上下数之差；左边的数=中间的数X右边的数；由此即可、/
解答；（3)观察每组图形中三个数的特点可知：下边的数由三部分组成：最左边的数字是
右上功?的数的十位上的数字；最右边的数字是左上方的数的个位上的数字；中间的数字
是左上方的数的十位上的数字与右上方的数的个位上的数字之和，由此即可解答.?
(1) (11 + 3)X2 28.故？ =28.
(2) 61 — 56 = 5,5X3 = 15.故A = 5，？ =15.
(3) 最左边的数字是6,最右边的数字是8,中间的数字是1 + 1 = 2,所以这个数是628.
故? =628.
本题主要考查了学生通过对特例进行分析从而归纳总结出一般规律的能
力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到
各部分的变化规律后直接利用规律求解.
规律的确定通常至少要三个特例，从一个或两个特例中总结出的结论不一
定正确，所以归纳出的一般规律要进行检验，使每一个特例都满足规律.氣馨_參
拓展训练
A组
1. 小军家的门牌号是256号，其中自然数的应用属于（
A.计数
2. 下列说法中，错误的有（
).
B.测量 C.标号 D.排序
4①一2 f是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0;④正整数、负整数统称为有理
数;⑤0是最小的有理数；⑥3. 14不是有理数.
A. 1个
3.用一a表示的数一定是（
A.负数
B. 2个 C. 3个 D. 4个
B.正数 C.正数或负数 D.都不对
4.蜗牛爬井，井高12m,蜗牛白天爬3m，晚上掉下2m，问蜗牛几天可以爬出去？（
B. 12天A. 20天 C. 10天 D. 5天
5. 一个纸环链，按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截
去部分纸环的个数可能是（ ）.
A. 2015 C. 2017B. 2016 D. 2018
红黄绿蓝紫红黄绿
(第5题)
黄绿蓝紫
走进SB fflX e字t年级上
6. 在体育课的跳远比赛中，以5.00m为标准，若小东跳出了 5. 22m，可记作+ 0. 22m,则小东跳
出了 4. 85m,可记作
7. 气象台记录了某地本周七天的气温变化情况（如下表），其中正号表示的数据是比前一天上升
的温度，负号表示的数据是比前一天下降的温度.已知上周日气温为3X：，根据表中数据，请
你判断该地本周最低气温是
；
m.
?c.
星期 六 曰三 四 五
气温变化(D +2 +3一 1 -2 _5 -3-4
8.在下表适当的空格里面画上“V”:
整数有理数 分数 正整数 负分数 自然数
-7
—3.14
0
2
3
9.将一列数排成如图所示的形式，按此规律排下去，那么第10行从左边数第9个数
是
2-3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
(第9题)
10.在奥运五环图案内，分别填写五个数 ，其中a,6,c是三个
连续偶数U<6
内:
11.把下列8个数填入表示它所在的数集的圈里：
吾,— 0. 01，— 95%.22一 18，y，3. 14,0,2015，一
非负数集 负分数集负整数集 整数集
(第11题)
I：
第一讲有理数
B组
12. 下列说法中，正确的有（ ）.
①整数就是正整数和负整数;②零是整数，但不是自然数；③分数包括正分数、负分数；④正
数和负数统称为有理数;⑤一个有理数，它不是整数就是分数.
C. 3个
13. —种“拍7”的游戏规定:把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，
那么在1?100的自然数中，“明7”和“暗7”共有(
A. 22个
A. 1个 B. 2个 D. 4个
).
B. 29个 C. 30个 D. 31 个
514.已知下列各数：一3.14,24, + 17,_7 f,合，_0.,01，0,其中整数有 ，个，负分数有
.个，非负数有 ■个.
b 6 215.若a，6，c，d为有理数，现规定一种新的运算为: 则 = .
c d 2 1
16.分子是1、分母是等于或大于2的自然数的分数叫做分数单位，如+ , + , + ,…，某些分数单
位可以拆分成两个分母是相邻自然数的分数单位的差，如f = i -丄 = 1.^=1T,l2-T_T,2o~T
一含，则在分数单位中，不能按上述要求拆分的有 个.
17.如图，一只甲虫在5X5的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿着网格线运动，它从A处
出发去看望B，C，D处的其他甲虫.规定：向上向右走为正，向下向左走为负.如果从A到B
记为:A—5( + 1,+4)，从D到C记为：D—C( —1,+2),其中第一个数表示左右方向，第二
个数表示上下方向.
(1)图中从A到C可以记为A —C( )，从B到C可以记为B —C
(2) 从D到
(3) 若这只甲虫的行走路线为则该甲虫走过的路程长度为
.可以记为. (-4,-2) ；
.个单位
长度
(4)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（ + 1,+3),( + 3, — 2),( —2,+ 1)，请在
图中标出P的位置.
T
,D
A'
(第17题）
走迅醒篇 教字 上
18.把几个数用大括号括起来?相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4,7},”*,我们称之为
集合，其中的每一个数称为该集合的元素.如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有
理数是集合的一个元素时，2016—x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金
集合.例如《0,2016丨就是一个黄金集合.
(1) 集合{2016}
“不是”）
(2) 若一个黄金集合中最大的一个元素为4016,则该集合是否存在最小的元素？如果存在，
请直接写出答案，如果不存在，请说明理由；
(3) 若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190
黄金集合；（两空均填“是”或黄金集合.集合{ —1，2017}
走进重高
1. 【咸宁】冰箱冷藏室的温度零上5eC，记作+ 51，冷冻室的温度零下7°C，记作（
A. 7 X：
2. 如图，检测4个足球，其中超过标准质盘的克数记为正数，不足标准质逛的克数记为负数.从
轻重的角度看，最接近标准的是（ ）.
)。
D. -12 X：B. -7V C. 2°C
-3.5 +2.5 +0.7
A. B. D.
3.下表是部分国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻该城市比北京时间早的小
时数).
城市 纽约 巴黎 东京 多伦多
时差（时) + 1-7-13 -12
..(以上均为24小时制）如果邱在东京时间是16:00,那么纽约时间是
4.把下面的有理数填入它厲于的集合内（将各数用逗号分开）:
l，f， 33. 1415,0,-2,80, — 2. 一 130,——5 .
负数集合{
5.某公交车上原有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（ + 4, — 8)，
(―5,+6)，( —3,+2),( + 1, — 7)，则车上还有
…};整数集合{ }.
人.
6.某自行车厂一周计划生产1400辆自行车,平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产
盘与计划蛩相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：
星期 六 曰五三 四
增减（辆) + 5 + 13-2 -2 + 6-10 -9
(1) 根据记录可知前三天共生产
(2) 产蛩最多的一天比产量最少的一天多生产
(3) 该厂实行计件工资制，每辆车60元,超额完成任务每辆奖15元，少生产一辆扣15元，那
么该厂工人这一周的工资总额是多少？
.辆
.辆
高分夺冠
1. 10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的
真分数)”，则这10个有理数的和为（ ）.
11 7 5A. 7 B* 15 C t D* f
2.观察按下列规律排成的一列数 1213214321543216
?，在这一列数中，从左起第m个数记为G(m),当G(m) 2 时，m的值为2016
___________ ，这m个数的积为_____ ■
3.已知a<6,且a，6均为质数，n为奇数，若a，6，ri满足等式a+如= 487,则a,6, n分别等
于
4.找规律，在空格里填上合适的数.
(第4题）
5.某路公交车从起点出发经过A，B,C，D四站到达终点，途中上下乘客妒下表所示.（正数表示
上车的人数，负数表示下车的人数）
起点 终点A B C D
上车的人数 1218 15 7 5 0
下车的人数 一 5 -120 一 4 一 9
(1) 到终点站下车的有多少人？填在表格中相应位置
(2) 车行驶在哪两站之间时，车上的乘客最多？ ___
(3) 若每人乘坐一站需买票0.5元，问该车出车一次能收人多少钱？要求写出算式.
站和 站；
走进SB BIX 教字t:年埋上
第二讲 数轴和绝对值
；
数轴
相反数
有理数大小的比较 绝对值
有理数 倒数
有理数的有关概念
讎馨泰
重点分析：
1. 数轴的三要素：原点、单位长度、正方向.
2. 理解有理数可以用数轴上的点表示，数轴上的点不一定表示有理数.
3. 相反数：实数a与_a互为相反数，零的相反数仍是零.若a,6互为相反数，则a+6=0.
4. 倒数：若两个实数的乘积为1，就称这两个实数互为倒数，零没有倒数.
5. 绝对值的几何意义：表示这个数所对应的点到原点的距离.
6. 比较有理数大小的两种基本方法：利用数轴比较大小；利用法则比较大小.
难点分析：
1. 数轴涉及数和形两个方面，是解决许多数学问题的重要工具.
2. 绝对值具有非负性，去绝对值问题往往会涉及较复杂的符号问题.
0##
4^ 下列所画的数轴中正确的有（）.
-1-2-3 0 1 2 3 -15 -10 -5 0 5 10 15.；；
-6-4 -2 0 2 4 6
B. 2条
-5-3-10 1 3 5
C. 3条
?:‘
A. 1条 D. 4条
第二讲数轴和绝对值
利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误.
■i;V*逝Kiia】第一条数据顺序不对，错误；第二条正确；第三条没有正方向，错误；第四条
刻度不均匀，错误.所以正确的只有1条.故选A.
本题主要考查数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.三个要素缺一
不可.
feT編dll数轴的单位长度可以根据实际需要选取.
若有理数 在数轴上对应的点为M,且满足|m|>l且m<0,则下列数轴表示正确
的是(
M M
0 0A. B.
M M
0 0
C. D.
根据绝对值的意义得到m在原点的左侧，且离原点的距离大于1,然
后利用数轴表示数的方法对各选项进行判断.
論:淑;販??? |讲|>l，m<0，???》!<— 1.故选 D.
縣mi，本題考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的
三要素：原点、单位长度、正方向.
辟漏成，注意绝对值的几何意义是指数轴上的点与原点的距离，或点与点之间的距离.
如图，数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示一4,点G
8.表示
(1) 点B表示的有理数是
(2) 图中的数轴上另有点M到点A、点G的距离之和为13,则这样的点M表示的有迤数
，表示原点的是点
是
(3)若相邻两点之间的距离不变，将原点取在点D，则点C表示的有理数是
表示的有理数互为相反数.
C D
，此时
点B与点
E F GA B
8
驟挪‘欐，(1)先根据数轴上两点之间的距离公式求出点A到点G的距离，再求C-
出相邻两点之间的距离即可解答；（2)设点iW表示的有理数是m，根据数轴上两点之
间距离的定义即可求出川的值；（3)根据相邻两点间的距离是2可求出点C的坐标，
再根据相反数的定义即可求出结论.
走进匿s 祕wx 教字
(i) ? ?数轴上标出了 7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点a表示
一4,点G表示8，
??? AG= 18 + 4丨=12. ???相邻两点之间的距离=# = 2.
0
? ?点B表示的有理数是一4+2= —2,点C表示的有理数是一2 + 2 = 0.
故答案为：一2，C.
(2) 设点M表示的有理数是tw，则|/?+4丨+ |m—8| =13, —4. 5或
故答案为：一4.5或8.5.
(3) 若将原点取在点！)，? ?每两点之间的距离为2，/?点C表示的有理数是一2.
???点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等，
? ?此时点B与点F表示的有理数互为相反数.
故答案为：一2，F.
本题考查的是数轴的特点及数轴上两点之间距离的定义，熟知数轴上两点
之间的距离公式是解答本题的关键.
8.5.m
第（2)题中A,G两点间的距离为12，所以数轴上到点A、点G距离之和为
13的点M在线段AG外，这样的点有两个.
已知 |a+3. 5丨 + 丨6—9| + |c—13. 5丨= 0,求 a6+c 的值.
根据非负数的性质求出a，b，c的值，再将它们代入a6+c中求解即可.
VU+3.5| + |6-9| + |c-13.5|=0,
/.a+3. 5 = 0,6—9 = 0,c—13. 5 = 0.
???a = — 3. 5,6=9,c=13. 5.
/.^+c=-3. 5X9 + 13. 5 = -18.
ft趟非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.
只有当若干个非负数相加等于零时，才能得出每个非负数都同时为零.
(1)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B
重合?
若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数
为20;若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的
数为5(单位:cm)，由此可得木棒的长为
(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题:一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说:“我若是你现在
这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大，我就116岁了，是老寿星了，哈哈丨”请求出爷
爷现在多少岁了.
cm；
0 5 B 20
第二讲数轴和绝对值
(1)本题关鍵是正确识图，由数轴观察知木棒的3倍长是20 —5 = 15c_.|
(cm),则此木棒长为5cm;(2)在求爷爷的年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差
看作木棒AB,类似地，爷爷是小红那么大时看作当点B移动到点A时，此时点A所对
应的数为一34,小红是爷爷这么大时看作当点A移动到点石时，此时点S所对应的数
为116,所以可知爷爷比小红大[116 — ( — 34)] + 3 = 50,从而可求得爷爷的年龄?
V/
(1)如图1，观察数轴可知木棒的3倍长是20_5 = 15(cm)，则此木棒长为
5 cm.
故答案为：5.
(A) {B)___ (//) (B)(A) {B) (A) (B)
0 5 B 20 -34 A B 116//
图1 图2
(2)如图2,借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似地爷爷是小红那么大时看
作当点B移动到点A时，此时点A所对应的数为一34;小红是爷爷那么大时看作当点A移动到
点B时，此时点jB所对应的数为116.
???爷爷比小红大[116 — ( —34)] + 3 = 50(岁），
则爷爷的年龄为116 —50 = 66(岁）.
故爷爷现在66岁.
龄差看作一个整体（木棒AB).
f
本题考查了数轴的应用和数形结合思想.解题的关键是把爷爷与小红的年
解题时要用好数轴，在数轴上准确地画图，注意所使用的线段AB的实际
意义.
#
观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离:4与一2,3与5,—2与一6,_4与3,回
答下列各题：
(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：
(2) 若数轴上的点A表示的数为:c，点B表示的数为一 1，则点A与点B两点间的距离可以
；
表示为 ；
(3)结合数轴求得k_2| + k+3|的最小值为 ，取得最小值时:c的取值范围为
5
(4)满足丨^+1| +丨工+4丨>3的工的取值范围为
_娜，_，(1)通过观察容易得出结论；（2)在数轴上找到点B所在的位置，点e f
A可以位于数轴上的任意位置，分三种情况进行分类讨论；（3) (4)根据（2)中的结论，
利用数轴分析.
走进齷B MX e字 t$a±：
o> 相等.
(2)结合数轴，分以下三种情况：
0 0 0X X X
当工< —1时，距离为一x-l 当一10<0时，距离为：c+1 当：c>0时，距离为工+1
综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|:r+ll.
(3) |工一2丨，即：r与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离.丨工+ 3丨=丨工一
(―3)丨，即I与一3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与一3之间的距离.
如图，x在数轴上的位置有三种可能：
-3 2 -3 -32 2x x X
图1 图2 图3
1 图2符合題意，八丨x—2| + |x+3丨的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为一3
? ?本題即求当：C在什么范围内时0：与一1之间的距离加上I与一4之间的距离会大于3.
借助数轴，我们可以得到正确答案：:c< —4或：r>_l.
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上的距离问题，反之，有关
數轴上的距离问題也可以转化为绝对值问题.这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便?事
实上，U—6丨表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数6的两点之间的距离.这是一个很有用
的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3)(4)这两道难題.
k—6|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数6这两点之间的距离，
|fl+6|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数一6这两点之间的距离.豕廣麵?-1
拓展训练
A组
1.数轴上表示一f的点到原点的距离是（ ).
一 + C. -2 D. 2A. B.2
2.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中到原点距离相等的两个点是(
CB DA
0 2-2
(第2题)
C.点A与点D
—a,l的大小顺序为（ ）.
D.点B与点C人点B与点D B?点A与点C
3.如图，点A表示的有理数是a，则
A
0a
(第3题)
D. l<—a
4. (1) 一个点从数轴上的原点出发，先向左移动4个单位长度（1个单位长度为1)，再向右移动
3个单位长度到达A点，则A点表示的数是
(2) —只蚂蚱在数轴上跳动，先从A点向左跳1个单位到B点，然后由B点向右跳2个单位
到C点.若C点表示的数是一3,则A点表示的数是____ .
5. 纸上画有一数轴，将纸对折后，表示7的点与表示一 1的点恰好重合，则此时与表示一3的点
重合的点所表示的数是____ .
6. 推理题：
i
，m + +(1) 5的相反数是一5, — 5的相反数是 ，那么一:r的相反数是 的
相反数是 J
(2) 数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4,有这样的关系4
100和到点999距离相等的点表示的数是
的数是____ ;
(3) 数轴上点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系5 = 9 — 4,那么点10和点一3之
，点m和点n之间的距离是____ .
7.阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数,所以当a>0时,
Ul =a;当 a<0时，|a|
(1) |3.14-tc|=_____
f (2 + 6)，那么到点
，到点m和点一n距离相等的点表示
间的距离是
根据以上阅读完成:~a.
9
(2)计算：1一 + J~T十…十 99~l00 -2 3
8.如图，已知数轴上有A，B,C三个点，它们表示的数分别是一24*-10,10.
(1) 填空:AS
(2) 若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长
度和7个单位长度的速度向右运动.试探索:BC_AS的值是否随着时间的变化而改变？
请说明理由.
;
A B C
24 -10 0 10(第8题)
Vi
走进薩a ^ fflx 教字tsa上
9.若k丨=3，|7-1丨=2，并且^异号，求0；+7的值.
10.已知|3x+12|的值与|4：y_8丨的值互为相反数，则：r+：y_ar：y的值是多少？
11.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 表示一3和2的两点之间的距离是
;一般地，数轴上表示数m和数W的两点之间的距离等于|m—….如果表示数
；
a和一2的两点之间的距离是3,那么a =
(2)若数轴上表示数a的点位于一4与2之间，求k+4| + U— 2丨的值.
5
12.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且a，b，c满足条件10UI =5|6丨=2|c|=10.
(1) 求a，b，c的值；
(2) 求丨a—26| + 丨6— 2c| + —2a| 的值.
0 bc
(第12题)
i
第二讲数轴和绝对值
B组
13. 对于任何有理数a，下列一定为负数的是（
A. —(一3+a)
14. 对于实数a,6,给出以下三个判断:①若|a| = |6|,则a = ②若|a|<|6|，则③若a
C. 一 | <2,+ 1 |B. D. — | a | — 1一a
一6,则|a| = |6| .其中正确的判断个数是(
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
15. 如图，圆的周长为4个单位长度.在该圆的4等分点
处分别标上数字0，1，2,3,先让圆周上表示数字0的
点与数轴上表示数一 1的点重合，再将数轴按逆时针
方向环绕在该圆上，则数轴上表示数一2016的点与
圆周上表示数字（ ）的点重合.
A. 0
16. 根据给出的数轴，解答下面的问题：
0
0
31
2
(第15题)
B. 1 C. 2 D. 3
B A
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(第16题)
(1)请你根据图中A，B(在一2，一3的正中间）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数
A： ,B： ;
(2) 在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A,B，M，N的其他字母表示），并写出
这些点所表示的数：
(3) 若经过折叠，A点与一3表示的点重合，则B点与数
;
表示的点重合；
(4)若数轴上两点之间的距离为9(M在N的左侧），且两点经过（3)中的折叠
后重合，那么M,N两点表示的数分别是:M ，N
17.有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，求|6+a| + U+cr| + 的值.
b 0c
(第17题)
18.当:r为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值.
(1) 丨工+1丨+丨工一2丨+丨工一3丨；
(2) 丨工+11 + |x—2丨+丨工一3丨+丨工一1丨；
(3) U—2| + |x—4| + |x—6|+…+k—20|.
走进_s i?x e字t茳雄上
走进重高
1.如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为JVf，P，iV，Q，若原点在点N与点P之间，则绝对
值最大的数表示的点是（ ）.
A.点M B.点P C.点Q D.点N
C DA B
M N P Q
(第1题〉
60-5
(第2题）
2. 【铁岭】如图，数轴上有A，B，C，D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB = BC=3CD.若
A，D两点所表示的数分别是_5和6,则线段J3D的中点所表示的数是（ ）.
A. 6
3. 点A，B，C在同一条数轴上，其中A，B表示的数分别为一5,2,若BC=3,则AC=_____ .
4. 现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12
与乙温度计的度数一 6对齐，那么此时乙温度计与甲温度计的度数一 4对齐的度数
B. 5 C. 3 D. 2
是
甲总
"o~10 20~30 40 50 ji
A
◎乙-20 -10 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(第5题〉(第4题）
5. 如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动:第一次点A向左移动3个单位长度
到达点A,，第二次#点向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单
位长度到达点A3……按照这种规律移动下去，则线段八^八,.，的长度是_____ .
6. 已知 |a|=5，|6j=3，|c| = |36|，且 |a+6|=a+6，|a+ci| = — (a+c)，求2a—36+c 的值.
第二讲数轴和绝对
高分夺冠
1.设：y=lx—l丨 + 丨x+l丨，则下列四个结论中正确的是(
A. :y没有最小值 B.只有一个:r使:y取得最小值
C.存在有限个:c(不止一个)使:y取得最小值D.有无穷多个I使:y取得最小值
U+112.已知a在数轴上的位置如图所示，则 的值为UI ~1
-3 -2 0 2 3
06
240
(第2题) (第3题)
3.如图，正方形的周长为8个单位.在该正方形的4个顶点处分别标上0,2,4,6，先让正方形上
表示数字6的点与数轴上表示一3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则
数轴上表示2017的点与正方形上表示数字 的点重合.
4.若2a+ |4 — 5a| +丨l~3a|的值是一个定值，求a的取值范围.
5.已知0：1,工2, —，：1：2。12都是不等于0的有理数，请你探究以'下问题:
l:i I⑴若:yi ，则:y!
工1
Ul I , I 工2 I(2)若:y2 ，则力
工1 工2
_ Ui I | Uz I | U31(3)若:y3 ，求％的值
1 I I I XZ I + …|_ I J2016 I
工 1 x2 -
些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于
绝对值的和等于____ .
;
工1 工2 工3
(4)由以上探究可知，:y2(m ，共有 .个不同的值；在:^。,《这
工2016
，力。16的这些所有的不同的值的
走进匾篇 i?x e字t圧级j：
有理数的加减第三讲
加法法则〈: 交换律加 法
加法运算律 结合律
转化为加法Y减法法则
减 法
统一成加法加减混合运算
4 _義議馨⑩.
重点分析： ’
1. 有理数加法法则：（1)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；（2)绝对值不等的异号
加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值、咸#较小的绝对值，互为相反数的两个数相
加得0;(3) —个数同0相加，仍得这个数.
2. 加法交换律:a+6=6+a，两个数相加，交换加数的位置，和不变.加法结合律：a + 6+c=
(a+6)+c==a + (6+c)，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
3. 有理数减法法则：减去一个非零的数，等于加上这个数的相反数.其中，两变：减法运算变
加法运算，减数变成它的相反数；一不变：被减数不变.可以表示成：— 6).
难点分析：
1. 在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0,从而
确定用哪一条法则.在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了.
2. 在进行有理数加法运算时，一般采取：（1)互为相反数的先加（抵消）；（2)同.号的先加
(3)同分母的先加；（4)能凑整数的先加；（5)异分母分数相加，先通分，再计算.
?
參ji.讎
钟面上有
(1) 试在某5个数的前面添加负号，使这5个负数与其余7个正数的和为0;
(2) 在解题过程中你能总结出一些什么规律？
1,2,3,4,5,…，12共 12个数.
fefH邏】先求出1，2,3,4,5,…，12这12个数的和为78,将78 + 2得出5个负数c I
的绝对值的和为39,找到12个数中绝对值的和等于39的5个数，在它们的前面添加负
号即可.
有理数的运算
第三讲有理数的加
(1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + -+ 12 = 78,78-^2 = 39.
???1+6 + 9 + 11 + 12 = 39，
???5个数为1,6,9,11,12(答案不唯一）.
(2)规律：5个负数的绝对值的和等于1,2,3,4,5，
?為挪咖】认真审题，找出“5个负数的绝对值的和等于1，2,3,4,5,…，12这12个数
的和的一半”这一规律是解答本题的关键所在：
■如或】要利用互为相反数的两个数相加的和为0,从而找到规律，不能盲目乱凑.
计算：
,12这12个数的和的一半.
(1) 一6 —8-2 + 3.54-4.72 + 16.46-5.28;
(2)
秘猫壩，(1)注意运算过程中的简便方法，让能够凑成整十的两个数相结合
(2)首先化简，然后利用有理数的加法法则和加法的交换律进行计算.
(1)原式=(一6 — 8 — 2-4. 72 — 5.28) + (3. 54 + 16. 46) =-26 + 20=-6.
-1t=(-3t+1t)+(2t-1t)=-2+1=
C^IE^D在计算时要灵活运用运算定律使运算更加简便.
当使用运算定律后不能使运算更简便的，就按一般运算顺序计算?
已知kl =
2 3 2(2)原式= -3T+2T+1T -1.
2,丨6丨=2，|^=3,且有理数^6《在数轴上的位置如图所示，计算^ + 6
+ c的值.
b
C.娜翻塌，根据数轴上的位置，判断出原点的位置及三个数的取值，然后代+
入求解即可.
■激街拆1雜】U|=2,|6|=2,而a在6的右側，
???a>0,6<0,即 a = 2,6= —2.
又??? |c|=3,且c在a的右側，人(：=3.
.*.a+6+c=2-2+3 = 3.
数轴上点的符号规律：原点的左侧是负数，原点的右侧是正数，原点表示o.
根据符号规律及点到原点的距离可以确定数.
能够正确判断出的符号是解答本题的关键.
小张上周五买进股票1000股，每股60元，下表为本周每日股票的涨跌情况：
星 期 四? 五
每股涨跌（元）+4 + 5 1 — 3 -6
(1)到本周三，小张所持股票每股是多少元？
走进匾B ?y iffX 5字 t圧Si:
(2) 本周内，股票最高价出现在星期几？是多少元？
(3) 已知小张买进股票时付了 1.5%。的手续费，卖出时需付成交额1.5%。的手续费和1%0的
交易税.如果小张在本周末卖出全部股票，他的收益如何？
(1)由表中数据可以算出股票每天每股的价格；（2)比较五天涨跌可c.
知.星期一和星期二都是涨?而后三天都是跌，则该股票最高价出现在星期二，进而求出
当天毎股的价格；（3)收益=卖股票收入一买股票_出_卖股票手续费和交易税一买
殷票手续费?代入求值即可.
V"
⑴6G + 4 + 5-l = 68(元）.
? ?到本周三，小张所持股票每股68元.
(2) 60 + 4 + 5 = 69(元）.
? ?本周内，股票最高价出现在星期二，是69元.
(3) 69 —1 — 3 — 6 = 59(元），1000X59 = 59000(元），1000X60 = 60000(元），
59000-60000-60000X1. 5%0-59OOOX (1. 5%0 + l%o)
= 59000—60000-90-147.5
= — 1237.5(元〉.
???小张亏了 1237.5元.
本题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用.学生在学这一
部分内容时一定要联系实际，活学活用.
股票的涨跌是以前一天股票的价格为基准的.
用简便方法计算：
(1) 111.1 + (-12)4-0.9 (2) ( + 13) + ( —21) + ( + 28) + ( — 10) ；；
(4) |+(-y) + (-y) + (-y).(3) 4. 33+(—7. 52) + (—4. 33) ?
(1)能凑整的先凑整，简称凑整结合法；（2)把正数与负数分别结合^了
在一起再相加，简称同号结合法；（3)有相反数的先把相反数相加，简称相反数结合法
(4)遇到分数，先把同分母的数相加，简称同分母结合法?
(1)原式= 111. 1+0. 9 + ( — 12) = 112 + ( —12) = 100.
(2) 原式=[(+ 13) + ( + 28)] +[( —21) + ( —10)] = (+41) + ( — 31) = 10.
(3) 原式= ( — 7. 52)+[(+4. 33) + ( — 4. 33)] = ( — 7. 52) + 0 =
; + ( —1)
— 7.52.
舍+( -1)]+[㈠) + (- + )]H(4)原式
认真观察算式的特点，合理利用简便计算规则：①凑整结合法；②同号结合
法；③相反数结合法I④同分母结合法.
不是所有的计算都有简便方法的.
3 .
第三讲有理数的加减
2 *2X3- 2 3,3X4 f — t，将以上三个等式两边观察下列等式: 1----r-1X2
31__2
3"_T卜+十音分别相加得: 4 4 '1X2 2X3 3X4
(1)猜想并写出： n(?+1) --------
(2)直接写出下列各式的计算结果:
+…+① 2016X20171X2 2X3 3X4
+② ;X(? + l)1X2 2X3 3X4 ii
(3)探究并计算: + 2016X2018*2X4 4X6 6X8
(4)计算:士 +舍+ ; +忐+…— 180.
_挪D (1)观察可得分子为1、分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整1
;(2)根据此规律把各分数转化，再进行分数的数的倒数之差?即 V，K"+1)
加减运算；（3)先提出+，然后按照前面的运算方法计算即可；（4)先提出含，然后按
照前面的方法计算即可.
?+1n
??存較拥aa】 ⑴—-?+in
2016(2)① ② + 12017 TI
1(1X2— 2X3 ' 3X4|4(3)原式 1008X1009
1 1008
TX 1009
252
1009.
hyxi+ix1(4)原式
+ + j + n +盖 + …+ F )90
+ 9X1022X3 3X4 4X5
2 10 20.
錄3)服本題考查了关于数的变化规律：通过观察数之间的变化规律，得到一般性
的结论，再利用此结论解决问题.
fet'-nyi'dra (3)(4)要注意观察算式的特点，转化为第（2)題中的运算方法.
走进疆篇 iffX 教字t圧级上
mm
\a~b~c
在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a # 6 # c
{ +Q + 6+C=
2
_丨-1一2-3丨+(-1)+2 + 3 ：如：（一 1)#2#3
(1)计算:4共（一2)#( —5)=
(?) =(2)计算：3#( —7)共 ;
^ 6 5
在一了，一下，… 1 2 8(3) ，…，~^~这15个数中：
① 任取三个不同的数作为a,6，C的值，进行运算，求所有计算结果的最小值；
② 若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#6#c”运算，得到五个不同的结果，由
于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是 .
，07 9 ? 9
fefe細■】(1)(2)根据题中所给出的运算法则列式计算即可；（3)分a<6+c?与C
②将+，吾，???
蒙予a四个负数，最后一组a = 0,6,c?赋予两个负数即可.
8>b+c两种情况把原式化简，即可得出最小值 V/，1分别赋予6，c，同时a *
_ |4 — ( —2) — (— 5) 1+4 + ( —2) + ( —5)诚司：^ (1)原式 = 4,故答案为：4.2
11 113-(-7)-y +3+( —7)+^
(2)原式= = 3,故答案为：3.2
6(3)①当a<6+c时，原式= 6+c,此时若要使计算结果最小，则a=- ~Y yb~\-c的最小值为
5
7 ?
6 6.当时，原式=a，此时若要使计算结果最小，则a=—
y，6= 吾时，原式 +
= *|*时，原式=吾+ + =如
?|■时，原式= y + y = y;
=|?时，房?式=j+T=f,
=一"|~时，原式=0，
y.二计算结果的最小值为一
②V当
A a=2 7 yb 9
4 h- 5
可，b 9"
1 .7_
7 lb~~ 9
= 0,6= —y,c
当a = ，c
当a= 一 ,c=
当a = yC
当a
:
_l mwrn f数的加减^
i
?? 五个结果之和的最大值为|? + |? + 呈 +导= 4.I
GSIEO本题考查的是有理数的加减混合运算，根据題意列出有理数相加减的式子
是解答本题的关键.
feititaaiQ本題是新定义运算题，阅读量较大，不易理解，要综合文字和算式准确理解
题意.
拓展训练
A组
1.下面的数中，与一3的和为0的是（ )?
A. 3 B. -3 C. T D. 3
2.下列结论中，不正确的是（ ）.
A.若 a>0,6<0,且 a> 丨6| ,则 a + 6<0
C.若 a〉0,6〉0,则 a+6〉0
B.若 a<0,6>0,且 U|>6,则 a+6<0
D.若 a<0,6<0,则 a+6<0
3.把（+ 5) —（ + 3) —（一1) + ( — 5)写成省略括号的和的形式是(
A. -5-3 + 1-5 B. 5 一 3 —1 —5
D. 5 — 3 + 1 — 5
4-某电视栏目中，主持人出了这样一道题目：a是最小的正整数，6是最大的负整数，c是绝对值
最小的有理数，请问：a,6,c三数之和是（ ）.
C. 5 + 3 + 1 — 5
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 一天早晨的气温为一3*0,中午上升了 6C,半夜又下降了 7*0,则半夜的气温是(
A. — 5 *C B. -4°C C. 4°C D. -16^C
6. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题:规定一种新运算“☆”，对于任意有理数a和6,有
^☆6=2^—6+1?请你根据新运算，计算1六[3☆( —2)]的值是（ ）.
A. 6
7. 若在1，2,3,…，2018前任意添加一个正号或者负号，则（ ）.
A. 它们的和是奇数
B. 它们的和是偶数
C. 若有奇数个负号，则它们的和是奇数;若有偶数个负号，则它们的和是偶数
D. 若有奇数个负号，则它们的和是偶数;若有偶数个负号，则它们的和是奇数
B. -2 C. —6 D. 2
8. 计算 T—i + y-y
9. 解答下列各题：
(1) (一3.6) + ( + 2.5);
T"T +…+ 的结果为l00~99
3 (— 3+) 4(2) 2 T^~~2 ;7
走迅81篇 '7> fflX 教字t圧级上
("I)(4) —5 —( — 11)+2— —(3) (—49) 一（ + 91) —（一5) + ( —9) ;
2(5) 3+-(-1) + 2吾+(_|) -1士 - ( + 2 士)-(-2. 75)(6) y ；
(-4+) - (+5i)-(-4 士).(7) (一7) —（一 11) + ( —9) —（ + 2) (8);
10.阅读下面的计算方法.
一5普+(一9吾)+ 17 (―3+)
(-音)]+ [(-9)+(-吾)]+ [(+17) + (+1)] +[(-3)+(-9
=[(-5) + (-9) + ( + 17) + (-3)]+[(-1) +(-!?) + ( + ■!?) + (-+ )
(-A
=(-5) +
= 0+
—T.
上面这种方法叫拆项法.仿照上述方法计算：
(-2017 |-)+(-2016 y)+4035 y+(-ly).
26
第三讲有理数的加减
H.已知U6 — 2丨与U_l|互为相互数，试求下式的值:
fab (a+l)(6+l)T(a + 2)(6+2) (a+2015)(6+2015)*
在班级元旦联欢会上，主持人邀请李强、张华两位同学参加一个游戏，游戏规则是每人每次
抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数；如果抽到黑色卡片，那么减去卡片
上的数，比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为同学们唱歌.李强抽到如图1的四
张卡片，张华抽到如图2的四张卡片.
12.
4 4
图1
(第12题)
李强、张华谁会为同学们唱歌？
B组
?例如，2?3= ++士 = *|■，那么3?(一4)13.定义新运算:对任意有理数a，6,都有
的值是（ ）.
7 7_A. C.B. D.1212 12 12
14. 1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中（
B.至少有998个正数
D.至多有1995个是负数
15. 对于实数?6，如果《〉0,6<0且|?|<丨6丨，那么下列等式中成立的是（
A. a~hd— |a| + |6|.
C. a+6= — ( |a| — |6| )
).
A.至少有一个是零
C.至少有一个是负数
)?
B. a+6= — ( |a| + |6| )
D. a'-hb (|6| — |a| )
走进匾s iflX 教字tS纽上
*
16.按照如图所示的程序运算（完成一个方框的运算后，把结果输入下一方框继续进行计算），当
输入的数是一 1时，输出的结果是_____ . I
否
是>2(-3) -5输入 输出+4 ?
(第16题）
17. 规定一种新运算:a※6=U+l) —(6_1)，右边的运算是正常的加减运算.例如：（_5)※（一2)
=(一5 + 1) —（一2—1) = ( —4) —(―3) = —4 + 3=_1，由以上规定计算 +
+ (2※3) + (3※4)^---h (2015※2016)=______ .
18. 小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加“ * ”键，再输人数6,就可以得到
运算:a * 6= (a—6)—丨6—?
(1) 求（一3) *2的值；
(2) 求（3*4) * ( — 5)的值.
I
19.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表:
加数的个数 连续偶数的和Sn
2=1X2
2+4 = 6 = 2X3*Z
2+4+6 = 12 = 3X43
2+4 + 6+8=20 = 4X54
5 2+4+6+8+10 = 30 = 5X6
(1) 如果1=8,那么S的值为_____ ；
(2) 根据表中的规律猜想：用含7i的代数式表示S的公式为S = 2 + 4 + 6 + 8 +…+2? =
；
(3)根据上面的规律计算102+104 + 106 +…+2016的值（写出计算过程）.
第三讲有理数的加减
走进重高
1.【南京】计算丨一5 + 3丨的结果是(
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
2.已知|工丨===3,丨3>丨=2,且ar>：y，则的值为（
A. 5 B. -1 C. —5或 一1 D. 5或 1
? 3.【柳州】如图，这是某用户银行存折中2012年11月到2013年5月间代扣电费的相关数据，从
中可以看出扣缴电费最多的一次达到（ ）.
.币种
RMB钞
RMB钞
RMB钞
RMB钞
存/取款金额
-147.40
-143.17
-144.23
-136.83
(第3题）
摘要 余额曰期 操作员
000602K91
000602Y02
000602D39
000602D38
备注柳州电费
柳州电费
柳州电费
柳州电费
550.75
407.58
263.35
126.52
折121105
130108
130305
130508
折折折
A. 147.40元 B. 143. 17元 C. 144. 23元 D. 136. 83元
4.计算各+(冬+冬）+ (J_+A+_L) + (丄+A+A+土）_j—I- f-L+—+—h—h—
h>^2 \3 3/ U 4 4/ V5 5 5 5 / 卞、50卞50 50 卞50
结果为（ ）.
A. 612
?5.【上海】计算：丨 一2丨+2
6.【常德】如图，一个数表有7行7列，设化表示第?行第y列上的数（其中i
= l，2,3，一，y = l，2,3r").
例如：第5行第3列上的数知= 7,则：
)的
B. 612.5 C. 613 D. 613.5
1 2 3 4 3 2 1
2 3 4 5 4 3 2
3 4 5 6 5 4 3
4 5 6 7 6 5 4
5 6 7 8 7 6 5
6 7 8 9 8 7 6
7 8 9 10 9 8 7
(1) (a25 —a22) + (a52 -^53) ;
(2)此数表中的四个数 ，a*，，满足一 a* ) + — a坤）a, (第6题)
高分夺冠
1.简便计算：
(1) 4. 5 + 6. 8 + 3. 2+5. 5 (2) 3. 63 —1.25 + 17. 37 — 8. 75； ?
(4) 10T(3) 1927-528-472 一0. 35 —0. 65.;
.i
BIX教宇级上走迅_惡
2数学上，为了简便，把从1到w的连续”个自然数的乘积记作77!，即”！ =1X2X3X…X(w—
个自然数的和记作4吝户，即名户=：：1 + 2 + 3~1-- Hn,则 2017! 2017 2018h Ez— E i的值为l)X;i，将上述 2016! i-1 ? _1
3.如图的号码是由I4个数字组成的，把每一个数字写在下面的方格中，若任意相邻的三个数字
之和都等于14，则J：的值等于____ ■
9 2x
(第3题)
41195 30-6ii + 7^_87l + 9 90 =1 -一 4 TT + 54. 计算+
5. 对于任意有理数定义运算如下:a * 6=a+6—？* 6 * c=a+6+c-^17
* 2016 * 2017的值.
20
，计X2 ，…
算 1*2*3*4*
6-将九个数填在3X3(3行3列）的方格中，如果满足每一横行、每一竖列和每条对角线上的三
个数之和都相等，这样的图称为“广义的三阶幻方”.如图1就是一个满足条件的广义三阶幻
方?图2、图3的广义三阶幻方中分别给出了三个数.
(1) 请直接将图2、图3的其余6个数全填上；
(2) 就图3加以说明这样填写的理由.
5 12 4 8-2 -6 -6 -5
6 8 -II
10 2 9
图1 图2 图3
(第6题)
i：
有理数的乘除第四讲
⑩參__
乘法法则
交换律乘 法 倒 数
结合律乘法运算律
有理数的运算 分配律
除法法则
除 法
除法与乘法间的关系
_ 謙霤翁_
重点分析：
1. 有理数乘法法则：
(1) 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘
(2) 任何数同0相乘，都得0.
2. 有理数乘法运算律：
(1) 乘法交换律:aX6=6Xa;
(2) 乘法结合律：（aX6)Xc=aX(6Xc)
(3) 分配律：aX(6+c)=flX6+aXc.
3. 有理数除法法则：
(1) 除以一个数等于乘这个数的倒数（注意：0没有倒数）；
(2) 两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除.
难点分析：
1. 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数为奇数时，积为
负；当负因数的个数为偶数时，积为正.
2. 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.
3. 乘积为1的两个有理数互为倒数.
?
走进匾篇货、 ^ iBX 教字t:圧埋上
__?翁
下列计算中，正确的是（
A. ( —7)X( —6) = _42
C. (~2)X0 = 0
)?
B. (一3)X( + 5) = 15
7yX4=(-7 + y)x4 = -D. 26
灞:J根据有理数乘法法则进行计算.
C
CS^IEX>本题考查了有理数乘法法则：（i)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝
对值相乘；（2)任何数同0相乘，都得0.
注意_7 "I■可以拆成一7- +，而不是一7 + +
对于有理数定义运算“※”:a※6=a ? 6—
(1) 计算（T?)※3的值；
(2) 填空：4※（一2)
，不要混淆.
a—b—2.
(一之）※“填“ >，’、“=，，或“<，，）
(3)我们知道??有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么，由（2)的计算结果，你认为
这种运算“※”是否满足交换律？请说明理由.
(1)将 a = -2,6=3代入运算公式? 6—a —6 — 2,即可得到C
(一2^X3的值；（2)运用运算公式分别计算出4※（一2)和（一2)※彳的值即可比较大
小；（3)是否满足交换律关鍵是利用公式分别计算出和的结果，再利用乘法
交换律和加法交换律看看是否相等.
(1) (一2)※3 = ( —2)X3 —（一2)—3 — 2=—9.
(2) 4※（一2)=4X( — 2)—4一（一2)_2=_12
(一 2)※4 = ( —2)X4 — (—2) —4 —2 = —12.
故答案为：=.
(3) 这种运算“※”满足交换律.
理由是：? b—a — b— 2,
bla = b ? a — b—a — 2 = a ? b—a — b—%，
???fl※6=6※a. ? ?这种运算“※”满足交换律.
錄郷本题主要考查了有理数的运算，还考查了运用乘法交换律和加法交换律证
明公式的性质.
fer縻jgi，第（3)题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法，这样证明不全面.
;
i-
-
第四讲有理数的乘除
<2 + 6若 ，6互为相反数，c,c/互为倒数，m的绝对值是2,求 ■\-m-cd 的值?a m
O-
由a，6互为相反数
cc/=l，w=±2,然后代入求解即可.
d互为倒数，m的绝对值是2可以得到a + 6 = 0,?c,
Ya,6互为相反数，互为倒数，m的绝对值是2,
+ ,772.= 士2.
.a-\~b ? a~\~b+ m —±2 —1. ??? \-m—cd的值为1或一3.m m
縣取㈣，本题分别考查了相反数、绝对值、倒数的定义等，解题的关键是熟练掌握相关的
定义及其性质.
绝对值等于2的数是+ 2和一2,注意不要漏解■
?强1计算：
(1) (~3)X (-y)x(-i)x'4 x(1_y+i~^)(2) (-36)
18 (4) -3. 14X35. 2 + 3. 14X(-46. 4)-3. 14X18. 4.(3) 9 ^X(-15)19
驟撕壩，(l)原式第一、三项结合，第二、四项结合，约分即可得到结果；（2)原c i
式利用乘法分配律计算即可得到结果；（3)原式第一项因式变形后，利用乘法分配律计
算即可得到结果；（4)原式逆用乘法分配律即可得到结果.
(-i)x(-i) 4 4(1)原式=
(2) 原式= — 36 + 16 —30 + 21 = —29.
(3) 原式=(10—占)X( — 15) = —150 + 諄=
(4) 原式= 一3. 14X(35. 2+46. 4 + 18. 4) = —3. 14X100=—314.
踩取财，本题考查了有理数的乘法法则和简便运算，熟练掌握运算法则是解本题的
-3X X + =
7 5 ?
4-149 士19.
关键.
腐-漏题（4)是逆用乘法分配律，特别要注意添加括号时各项符号的变化.
如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题.
3计箅:(-15)+|j
解：原式=(-15)+〔-警
=(-15)+(_25)
-3-- x6
2
ix6 ?第一步
第二步
第三步35
走m■建 教字t圧组上：
(1)解题过程中有两处错误：
.步，错误原因是^
.步，错误原因是
第1处是第
第2处是第
(2)请写出正确的解答过程.
；
；
(1)首先根据有理数四则混合运算的运算顺序，从第一步到第二步，C j：
先计算除法?再计算乘法，所以第I处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有
理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误；（2)根据有理数除
法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可.
(1)根据分析，可得：
第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；
第2处是第三步，错误原因是符号错误.
(2) ( — 15)+( + -
=(-15)+(-莩）
f) X6
X6
18
TX6
108
5 ?
取1】本题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答本题的关键是
要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
辟猶aa运算顺序和符号是有理数运算中最常见的两类错误，尤其是符号，运算时
一定要先确定符号.
请阅读下列材料：
计算:(一忐)+(f—.忐++—！)?
(-忐)+(-忐)士(-盍)壶卜2 1 1 1解法一:原式= 20 3 55
12 6
解法二:原式=(-点)+[(!?++)-(古+吾)]j)=-盖
解法三:原式的倒数为(吾一士+j—一盖）=(1■一舍+H)
X3 10
2X(二*30) = Tx
2 一 20 + 3 — 5 + 12 = —10一 X(-30) = 5(-30)( — 30)— 士 X( — 30)10
故原式
上述解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法
10*
是错误的，
第四讲有理数的乘
T~Ti'tY~T r然后请计算：(一去)+ (
C
根据有理数除法的运算法则可以判断出上述解法的对错.
歡#偷辣】解法一是错误的.
=(—忐)+[(++音)—(吾++)]=(—去 H+—i*)=(—忐)X3=—A.解法一:原式
解法二:原式的倒数为(+—吝+吾一+ )+(—忐)=(+ —各+ | —+ )X(-42) = + X
3 2 2( — 42) — jjX(-42) + yX(-42)-yX(-42) =
在计算时先对整式进行观察，选择合适的方法有利于提高解题效率.
在除法运算中，当除数是多个数时，不能应用分配律.
— 7 + 9 —28 + 12=— 14,故原式=一 14.
已知a,6，C为有理数.
(1) 如果a6>0，a+6>0,试确定的正负；
(2) 如果M〉0,a6c>0,6c<0,试确定a，b，c的正负.
fete?■淨3由有理数的运算法则即可判断所求字母的正负性..
j (1) ???
(2) ?:ab>Q，：.a，b 同号.又???a6c>0, _?_:>().
又??? bc<0，??? 6,c 异号，即6<0，故 a<0.
???a，6为负数，c■为正数.
GSEE3D积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有
偶数个时，积为正.
解决此类判断正负的问题，单个条件无法判断时,要综合几个所给条件考虑.
氣肩麵⑩
拓展训练
A组
1.下列说法中，错误的是（ ）.
A.任何有理数都有倒数 B.互为倒数的两个数积为1
和士互为倒数C.互为倒数的两个数同号 D. 2
Sffi** ^ iiix 数字 t年纽
(一+)的结果是(2.计算（一l) + (-5)X ).
A. ~1 B. 1 C. D. -2525
3. —个有理数与其相反数的积（ ）.
A.符号必定为正 B.符号必定为负 C. 一定不大于零
4. 下列说法中，不正确的是（ ）.
A. —个数（不为0)与它的倒数之积是1
B. 一个数与它的相反数之和为0
C. 两个数的商为一 1，这两个数互为相反数
D. 两个数的积为1，这两个数互为相反数
5. 下列算式中，正确的是（ ）.
A. (24X + )
D. —定不小于零
ix(-|) = -3
-苔+(-音)X( -1)=-音
+ ( — 6)= B. 一 3. 5 +~4y
6.在数3,一 1，4,一6中，任取3个不同的数相乘，其中积最大的是(
C. (一6) + ( — 4)— D.
A. 18 B. -72 C. 6 D. 24
3a+36_ 187.已知a,6互为相反数，互为倒数，那么式子 的值是6cd~\~3
a ~~ b b—c c—a
b —c *c~a *a—b8.三个有理数两两不等，则 中有 _个是负数.
9.学习了有理数的运算后，薛老师给同学们出了这样一道题.
15计算：71 gX( — 8)，看谁算得又对又快，下面是前两名同学给出的解法:16
1151 9208小强：原式=一 X8= —
= (71 + 1|)x(-8) =
= -575 T16 16
小莉:原式 71X(-8) X(-8) = - 575 T.
(1) 对于以上两种解法，你认为谁的解法比较好？其理由是什么？对你有何启发？
(2) 此题还有其他解法吗？如果有，用另外的方法把它解出来.
10.计算:
(2) 1ixy-(-y)X2i-,-(~i)xT(- + )X(-6)(1) 一 1 + 5 + ;
-3a+611.对于有理数a，6,定义运算: ?计算：（一2)A[( — 3)A4].a-3b
12.某公司去年1?3月份平均每月盈利2万元，4?6月份平均每月亏损1.6万元,7?10月份
平均每月亏损1.4万元，11?12月份平均每月盈利3. 4万元(假设盈利为正，亏损为负）.
(1) 去年该公司是盈利还是亏损？
(2) 去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元？
B组
a—5)^要使丄 为整数，a只需为（13. )?
A.奇数 B.偶数 C. 5的倍数 D.个位是5的数
14.某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100
元但不超过2Q0元一律打九折;③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明一次性购书
付款162元，那么王明所购书的原价一定为（
A. 180元 B. 202. 5元 C. 180元或202. 5元D. 180元或200元
b ab.a15.已知《义6为任意非零有理数，则 的可能取值是(\ar\br\ab\
A. _3或 1 B. 3或1或一 1 C. 1 或3
16.已知整数 a，b，c，d 满足 = 且 a>6>c〉c/，则 a+6+c+d
D. — 1 或3
17.若a,为相反数，cd互为倒数，m的绝对值是1，求(a+6)W — 2016m的值.
走进匾B ^ fflx 教字 t$aj：
18.教室里一般都装日光灯来照明，已知每根灯管每小时的平均耗电世约为0.04千瓦时（俗称
为度），而1千瓦时电的价格是0. 75元.设教室每天平均开灯10小时，请计算并回答以下
问题:
(1) 若每所中小学平均有30间教室，每间教室配有12根灯管，则一所中小学所有教室一天
的耗电量是多少千瓦时？
(2) 某市约有500所中小学，一年若按210个工作日（即上学时间）计，则每年该市中小学所
有教室的照明电费约为多少元？
19.若“!”是一种数学运算符号，并且 1! = 1,2!=2X1 = 2,3! = 3X2X1 = 6,4! 4X3X2X1
24,…，求^的值.
走进重高
1. 【六盘水】下列运算结果中，正确的是（ ）.
A. -87X(-83) = 7221
C. 3. 77-7.11 = -4. 66
2. 【台湾】计算(一 1000 +)X(5 —10)的值为（
A. 1000 B. 1001 C. 4999
3. 若2a+6=0(a^0)，则一 1 + — 2的值为（ ）?
A. 一 1 或一2 B. 一2或一3 C?—3
B. -2. 68-7. 42=-10
一 101 .-102D. <102 103
).
D. 5001
D?—4
第四讲有理数的乘除
4. a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数.如：2的差倒数是 ~2 = -U-l的差倒
_f，a2是a,的差倒数，a3是a2的差倒数，?是A的差倒数
l~a 1-
数是 1 一彳一 ry_7.已知 o-x
.....依次类推，则a2(m=_____ .
5.读一读:式子“1X2X3X4X5X…X100”表示从1开始的100个连续自然数的积，由于上述
式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1X2X3X4X5X…X100”表示为
在《，这里“n”是求积符号?例如：1X3X5X7X9X…X99(即从1开始的100以内的连续奇数
_ 50 ? ,0
的积），可表示为 g 1)，又如 13 X23 X33 X43 X53 X 63 X 73 X83 X 93 X 103可表示为 n；i3.
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题；
(1) 2X4X6X8X10X…X100(即从2开始的100以内的连续偶数的积），用求积符号可表
'示为
100
;
(2) lXf X含X… 用求积符号可表示为
计算：S (1 —矣).
it-2 ^ 71 I(3)
高分夺冠
1.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用这种药品的剂蛩范围是(
用法用世：口服，每天60~120mg,分3?4次服用
规格：□□□□□
1C藏：□□□□□
(第1题)
A. 15 mg ?30 mg
C. 15 mg?40 mg
B. 20 mg?30 mg
D. 20 mg?40 mg
2 3 42.已知a, 依据上述规~ir，a2 2X3X4 ' y_T，G3 3X4X5 1 T —!§，???，1X2X3 2 3
律，则a99
走进疆B iffX s字 taESi上
3.如图，一个啤酒瓶的高度为30cm,瓶中装有高度为12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中
水面高度是20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 (瓶底的厚度不计).
30 cm
20 cm
12 cm
(第3题）
4-—本书的页码是连续的自然数：1，2,3,4,…，当将这些页码加起来的时候，某个页码加了两
次，得到不正确的结果2009,则这个被加了两次的页码是____ .
5.分析判断：
(1) 如果fl6<0，a<6,试确定a，6的正负；
(2) 如果 a6<0,a+6<0,|a|>|6|，试确定 fl,6的正负
(3) 如果 fl6<0,a6c<0,6c<0,试确定 a，b，c 的正负.
;
第五讲有理数的乘方及混合it
第五讲 有理数的乘方及混合运算
⑩_馨_-
乘方的意义
乘方运算乘 方
科学记数法
有理数的运箅 加、减、乘、除、乘方混合运算的法则有理数的混合运算
准确数和近似数的槪念
准确数和近似数 有效数字
H —— ........... ..............
重点分析：
1. 乘方可以看作乘法的特殊情况.规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数.互为相反数的两数的奇次幂仍互为相反数，它们的偶次幂则相等.
2. 有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号的，则先算括号里
面的.
3. 准确数和近似数是应用有理数解决实际问题所必需的.
4. 科学记数法：把一个实数表示成士aX10”（l
有理数的混合运算需要运用多种法则，较复杂的符号判别和运算顺序是本讲的难点.
223、(-+ )， ，一丨一 3丨，一（+ 2)，其中是负数的给出下列各数：一 0
有 个.
、正确运用乘方法则进行乘方运算并化简有关绝对值的计算，得出结果1
后就可以知道负数的个数. ll
走进薩篇 i?x 教字上
(-IB，5
，一丨一3丨，一（ + 2).
22 4... —32=
一2，.??负数有:_3Z，一言
2001 _ 1，一丨一 3| = —3,一9, 十，-(-1)
0
==
22—(+ 2)=
故答案是4.
，果解本題的关键是正确利用乘方和绝对值的有关运算法则进行化简，然后再
确定答案.
22一32是表示3的平方的相反数；一y是表示2的平方与5的商的相反数；当底
数是负数或分数时，要加括号.
计算：（1) (―|-)X(3-1 j-0.16)
(2) 25X + -(-25)X+ + 25X(- + )
(3) — 22 —（一2)2X0.25 + 4~.
v ?、 u
i
9
(1)先算括号内再计算或者直接运用乘法分配律来计算都可以；(2)先相、
乘?再加减或者直接逆用乘法分配律来计算;(3)先算乘方，再算乘除，最后相加减.
原式=(—|)X(3_+ 一垚 M 一 1)
方法二:原式=(-|)X3-(-|)X(l+)-(—|~)
(2)方法一：原式
113 113(1)方法一： X^ =75 100.
3 +ixy+iX0. 16=- TX3 x
+h= 113100*
_75丄25 25 _
_T+了一丁-
方法二：原式= 25X~|" + 25X++25X (-j)=25X (j + y--|-) =25.
25.
(3)原式= —4_4X0. 25+ 了=一4一2=—6.
踩财沉，对于有理数的混合运算首先要仔细观察所求式子，看是否能运用运算律使
运算間便，然后按照有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算
括号里面的.
fel-漏对于（1)(2)小题运用乘法分配律时要注意运算符号；（3)注意一22表示2
个2相乘的相反数，其结果为一4.
4^ 比较61"，3m ,2333的大小,[提示
由于3个幂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公e f
约数n】，所以可将3个幂都转化为指数是111的幂的形式，然后只需比较它们的底数
即可.
第五讲有理数的乘方及混合运算
9m，2
又??? 91U >8n, >61U，??? 3222 > 2333 >6,n.
V32Z2 = (32) 8,u ,333 (23)
錄通】，本题主要考查了幂的大小的比较方法.一般说来，比较几个幂的大小，或者
把它们的底数变为相同，或者把它们的指数变为相同，再分别比较它们的指数或底数.
当幂的底数和指数都不同时，不能直接比较出大小.
阅读理解
已知：（a6)2 = a2 62，（ab)3 =a3b3 AabY =aAb*.
(1) 用特例验证上述等式是否成立
(2) 通过上述验证，猜一猜：（以)1^
(3) 上述性质可以用来进行运算，反之仍然成立，即：Y6” = (a6)”.
；
，归纳得出 7
)应用上述等式计算: X420*6.4
财十■渊:^ (1)任取一组“，6的值代入进行计算即可；（2)根据（1)中的各数的值
找出规律即可解答；（3)运用（2)中的规律计算即可.
则（2父3)2 = 22父32 = 36.,(2父3)3=23><33=216，（2父3)<=2<父3< = 1296,故(<16)"
(2)答案为：
原式=(-+ )
(1)令 fl = 2,6=3.
anb\
(_ + X4)X 420,5 X4 X4 = (-1)20,sX4(3) -4.
本題考查的是有理数的乘方及规律的归纳总结.解答本题的关键是根据
(1)中各数的特点找出规律，再根据此规律进行解答.
幂的运算要特别注意概念，弄清底数、指数和运算法则，还要注意结果的
符号.
我们常用的数是十进制数，如wsysAxu^+Gxioz+sxio'+yxio。，十进制数
要用10个数码（又叫数字）：0,1，2,3,4,5,6,7,8,9.在电子计算机中用的是二进制数，只要2个
数码:0和1,如二进制数110 = 1 X22 + 1X21+0X2°,相当于十进制数中的6;110101. = 1X2S+1
X2<+0X23 + 1X22+0X2I+1X2°,相当于十进制数中的53.那么二进制中的数101011等于十
进制数中的哪个数？（提示:非零有理数的零次幂都为1)
认真观察给出的两个式子+ 和110101=1
X2S + 1 X24 +0X23 + 1 X22+0X21+]X2°,得出规律再计算即可.
織舶㈣，101011 = 1X2s+0X2<+1 X23 +0X22 + 1 X21+1 X2o =32 + 0 + 8 + 0 + 2
+ 1 = 43.
解答本题的关键是找出规律，按照规律进行计算.
最右边的数字乘2°,不是乘21，2° = 1.
走迅齷篇 ly fflx e字 t$9i±；
若a ，6，c均为整数，且丨a — ftrw + lc —a|2°°a = l,则丨^一(：丨+丨<；一6丨+丨6 — <1丨的值
为（ ）?
A. 1 ? B. 2 C. 3 D. 2001
C-
^本題可分类讨论，分别计算|a — 6| = 1，|c—a| —0和— 6丨=0，丨c~a\
=1这两种情况下所求代数式的值，然后得到结果.
???a，6，c 均为整数，且丨a-6|2°°丨+ k-a|2°°° = l，.
|a一6| = 1, | r_= 0或丨 a_6|=0, 一a \ =1.
当 |a—6| =1, |c—a| =0时，可得 c=
\a — c| + |c—b\ 4- |b~a \ — \a一a\-\-\a一b\ + |b~a\ =0+1 + 1 = 2;
当 |a —6丨= 0, |c—a| =1 时，可得 lr=a，
??? \a~c\ + | c~b\ + \b~a\ = |a—c| + Jc—a| + |a —a|=l + l + 0 = 2
综上可知：丨a — c| + |c?—6丨+丨6—a|的值为2.
故选B.
本题主要考查了绝对值和非负数的性质，关键是要分类讨论.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即U_6| = |6—
；
【问题提出】怎样计算1X2+2X3 + 3X4 +…l)n呢？
【材料学习】计算：1+2+3 +…+n.
???l+2+3+".+w
= j(lX2-0Xl) + +
=*2~Cl X2-0X1 + 2X3-1X2+3X4一2X3 +…+ ”(w+l) — (w— 1)”]
= +?(n+l).
【探究应用】
观察规律:①
6 --------------- ------------ ------------------- ??
③3X4 = ?|■(3X4X5-2X3X4);…
猜想归纳：根据观察所得的规律直接写出：4X5=■|?(
1(1X2~0X1),2=Y(2X3-1X2),3=士 (3X4—2X3)，…，/2’=亏[>(；2+1) — (n —1)?],
2
+ *^*(3X4—2X3) + …+ ~|~[w(w+l〉— (n—l)n](2X3-1X2)
第五讲有理数的乘方及混合运算
【问题解决】
1X2+2X3 + 3X4 + 4X5H---- h(n~l)X 72
? =y(l X2X3-0X 1 X2) + y(2X3X4-lX2X3) + y (3X4X5-2X3X4) +
]
【拓展延伸】
根据上面的规律，请直接写出1 Y 2X3 + 2X3 X4 + 3X4 X5 +…+ (n—2)(rt—l) n
=
【探究应用】根据规律直接写出答案即可；【问题解决】根据给出的运
方法类比计算得出答案即可；【拓展延伸】根据前面得出的规律，把所求式子拆成4个连
续自然数的乘积得出答案即可.
【探究应用】
— (4X5X6 —3X4X5) ;(n—l) Xn=~^-[(w — l)n(n+l) —(n—2)(ti_1);*].4X5 =
【问题解决】
1X2 + 2X3+3X4+4X5H---- h(n-l)Xn= -J-(1X2X3-0X1X2) + -^(2X3X4-1X2
O o
+ y(3X4X5-2X3X4)H----h+[(n-l)n(n+l)-(n_2)(”—I)n] = +[1X 2X3 — 0 X 1
X2 + 2X3X4 — 1X2X3+3X4X5 — 2X3X4H----- h(n-l)n(n+l)-(n-2)(n-l)n] =
l)n(n+l).
【拓展延伸】
1X2X3 + 2X3X4 + 3X4X5H-----Kn-2)(n-l)n = f(lX2X3X4 —0XlX2X3) + j
++[(?-2)(n-l)n(n + l)-
— 3)(n—2)(n—l)n] = f[lX2X3X4 — 0XlX2X3 + 2X3X4X5-lX2X3X4 + 3X 4X5X6
— 2X3X4X5 +…+ (n—2) (n — l)n(?z+l) —（r* 一 3)(n — 2)(n—l)?] =
X3)
Tu-
(2
X3X4X5-1X2X3X4)+T(3X4X5X6-2X3X4X5) + (n
2)(n — l)n(n +
1).
本题考查了有理数的混合运算，利用类比的思想与方法，得出运算的规律
是解决问题的关键.
算式比较复杂，要注意仔细比较，得出运算的规律.
走迅匯篇 S字 纽i:
@?@?
拓展训练
A组
1. (-3)4表示（ ）?
A. 4个（一3)相乘的积
C. 3个（一4)相乘的积
2. 比较（一4)3和一43,下列说法中正确的是（
A. 它们的底数相同，指数也相同
B. 它们的底数相同，但指数不相同
C. 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D. 虽然它们的底数不同，但运算结果相同
3. 若0
D. 4个（一3)相加的和
A. x<.x'
水?若每人每天浪费水0. 32L，则100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为(
A. 3.2X107L B. 3. 2X106L C. 3. 2X105L D. 3. 2X104L
5.如图，数轴的单位长度为1,如果P，Q表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，哪一个点
表示的数的平方值最大（ ）.
P R Q T
(第5题)
A. P B. R C. Q D. T
6.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由一
个分裂成（ ）.
A. 4个 B. 8个 C. 16个
7.近似数3.020X107有效数字的个数和精确度分别为（
D. 32个
A.三个，精确到万位
C.四个，精确到万位
B.三个，精确到十万位
D.四个，精确到十万位
9,则+
瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据Hff,…中，成功地发现了其规律，从而得到
了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门.请你根据这个规律写出第9个数:____.
10.计算：
8.现规定一种运箅“ *”4*6=/，如3*2 = 32 *3
9.
(-价(-1吾广(3) — 22X( — 3)2; (4)(2) —（一2)5(1) (-3)2,
第五讲有理数的乘方及混合适
11.计算:
19 2 (2) 4X(-3)2+6(1) 871-87. 21+53三一12. 79+43占 i21 21
(-i)3xi(3) -0. 52+t I 一32—9| ；
(+—Ux(6oxt_6oxt3 -60X + ).(4)
12.—次数学兴趣小组活动中，同学们做了一个找朋友的游戏：有六个同学A，B，C,D，?，F分别
藏在六张大纸牌的后面，如图，八,召，(：,0,?：,尸所持的纸牌的前面分别写有六个算式：66;63
+ 63；(63)3；(2X62)X(3X63);(22 X 32 )3 ；(64)3-h62.游戏规定：所持算式的值相等的两个
人是朋友.如果现在由同学A来找他的朋友，他可以找谁呢？说说你的看法.
(22x32)3 [-(-2)2x(-3)2f(63)5 (2x62)x(3x63)66 63 + 63
B CA D E F
(第12题）
i 走迅疆篇 fflX 戬字纽上l
B组
13.计算（一2)1M+( — 2)1。。的结果是(
A. 2
)?
100 100B. -2 C. 一2
14.为求 1 + 2 + 22+23 +…+ 22。15的值，可令 S=l+2 + 22 +23 +…+ 22015 ,则2S=2 + 22 + 23 +
+ 22。16,因此2S-S=22°16_1.仿照以上推理，计算出1 + 5 + 52 + 53 +…+ 52。15的值
为（ ）?
D. -1
5 20,5 -1 52016 —1A. 5?015-1 B. 520,6-1 C. D.4 4
15. 已知（工+之尸十丨3>—5丨=0,则：^ =
16. 计算：
(1) ；
2000 —1990+1980 —1970 H----h 20 — 10(2)
(1-y)X(1-T)X(1~T)X*-X(1~958)X(1~959)X(1-I^o)
17.将下列各数:9.99父109，1.01父101。，9.9父109,1.1父101°按从小到大排成一列.
18.比较8131，27",961 的大小.
第五讲有理数的乘方及混合运算
19.你能比较20162。17与20172。16的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与（《+1)"(?是自然数）的大小.
然后我们分析当《=1，《=2，；7==3，?时从中发现的规律，经归纳、猜想得出结论：
(1) 通过计算，比较下列各组中两个数的大小,在空格中填上“<”、“〉”或“=”.
①I2__21 必23___32 ;?34__ 43 ;?4S__ V ;?56__ 65 ；
(2) 将题（1)的结果经过归纳，可以猜想出当时，;1—和（《+1)”的大小关系是
(3) 经过上面的归纳猜想，试比较20162。17与20172°16的大小.
i
走进重高
1.下列各数:①一I2;②一（一I)2;③一I3;④一丨一（一i)2i，其中结果等于一1的是(
C.②③④
).
A.①②③ B.①②④ D.①②③④
2.遗爱湖有5400亩，15亩= 10000m2,用科学记数法表示遗爱湖的面积为(
A. 8. lX105m2
C. 8. IX 10s m2
B. 3. 6X106mz
D. 3. 6X10sm2
13. lm长的彩带，第一次剪去f，第二次剪去剩下的?，如此剪下去，剪7次后剩下的彩带长（不
计损耗)为（ ）.
(|)6 (吾)7(|) (|)A. B. C. D.3 3
4.在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌
(去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运
算结果为24或一24,其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，/，Q,K?分别代表11,
12,13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是:3,—4,_6，10.请你帮助他写出一个算式，使
其运算结果等于24或一24:_____________ ?
5.计算：一 12。17+24+( — 2)3 — 32 X( + )2.
走迅疆8 iflX 教字 tEEffiJ：
6.已知:13 = 1 = ^~X12X2M3+23=9 = ~^X 22 X32 ;13 +23 + 33 =36 = ~^X32 X42 ;13+23+33
+ 43=100 = 4~X42 X52 r"
4
(1) 请你猜想填空：13 +23+33 +…+ (n—1)3+t23
(2) 试计算：13 +23 +33 +…+ 993+1003.
;
高分夺冠
1.如果”是正整数，那么+[1 —( — 1)”](/22—1)的值( )?8
A. 一定是零
C.是整数但不一定是偶数
B.—定是偶数
D.不一定是整数
2.将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2
个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处 那么在第2017个拐角处的数
是
22— 21
10 — 9 8 一 7 20
11 2 6 19
12 3 4 — 5 18
13 一 14 一 15—16— 17
(第2题)
1X2X3+2X4X6 + 7X14X213. (1) ;1X3X5 + 2X6X10 + 7X21X35
第五讲有理数的乘方及混合运算
I2 22 k2 99+ 卜.(2) I2-100 + 50 0 0 22 — 200 + 50 00 是2 — 100々+5000 992-9900+5000*
4.阅读理解题：
试判断200019" + 19992°。°的末位数字.
Y20001999的末位数字是0,而19992的末位数字是1，
(19992)1。。。的末位数字是1.2000???1999
???200019" + 19992°°° 的末位数字是 1.
同学们，根据阅读材料，你能否说明20 002°°5 — 19992°°s的末位数字是多少？写出你的理由.
b abc5.已知a，6，c都不等于零，且+ 的最大值为m，最小值为m，求m+n的值.
%iBX走进匾B 教字 t?Ea上
平方根和立方根第六讲
、{用计算器求算术平方根I平方根 开平方 算术平方根
立方根一开立方^用汁算器求立方根
響會__鑛.
重点分析：
1. 平方根、算术平方根、立方根的概念?平方根：如果：C2=a，那么X叫做a的平方根.算术平
方根：正数的正的平方根和0的平方根统称算术平方根，一个数a(a>0)的算术平方根记作“V?，.
立方根：如果那么：c叫做a的立方根，记作
2. 算术平方根的双重非负性：被开方数是非负数，结果是非负数.
3. 一个正数有两个平方根且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
4. 任何数都有立方根，且立方根和被开方数具有同号性.
难点分析：
1. 平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的.
2. 算术平方根的双重非负性的应用.
求下列各式的值:
VIa) 士(2) -yi6 (4) 7(-4)2 ?(3)
fel.l料通】士 #表示81的平方根，故其结果是一对相反数；一 /I瓦表示16的c
表示1的算术平方根，故其结果是正数负平方根，故其结果是负数 ^/FlT^表
示（一4)2的算术平方根，故其结果是正数.
(1) V92=81,/.±^r=±9.
1第相和古古相一
(2) V4Z = 16,.*.- 716*=-4.
???(I" 9 3: (3) 25 5 .
(4) V42 = (-4)2,/. 7(-4)2=4.
弄清与平方根有关的三种符号±7^，石，一斤的意义是解决这类问题的关
键.士^表示?非负数a的平方根.7^表示非负数a的算术平方根，一斤表示非负数a的负平方根.
注意7^= 士7^.在具体解题时，符号“f”的前面是什么符号，其计算结果
也就是什么符号.
已知2fl—l的平方根为士3,3a+6 — 1的算术平方根为4,求a+26的平方根.
O
㈣撕先根据2a —1的平方根为士3,3a + 6-l的算术平方根为4求出a，6
的值，再求出a + 26的值，由平方根的定义进行解答即可..
???2a —1 = 9,解得 a = 5.
?：3a+b~l的算术平方根为4,
???3a+6—1 = 16,即 15+6—1 = 16,解得6=2.
???a+26=5 + 4 = 9. /.a+26的平方根为 ±3.
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知“一个数的平方根有两个,
这两个数互为相反数”是解答本题的关键.
题目求的是a+26的平方根，而不是求a + 26的值，一个数的平方根有两
个，注意不要漏解.
V2a-1的平方根为士3,
已知:y= y^=r2+ 73(6+1)，当a，6取不同的值时，:y也有不同的值.当:y取最小值
时，求V的非算术平方根（即负的平方根）.
O-如】y= J~a~l + 73(6+1)，要 最小，就是要 y/a~2和 v/3(6+1)最小，
而73(6+1)>0,显然是当v/^^0和73(6+1)=0时:y取最小值.
^1^51 ??? y/a—2^0，%/3(6+l)>0，y= \/a — 2+ v^3(6+l),
???当 和73(6+1) =0时，:y 最小.
由7^1=0和 /3(6+1)=0,可得 a=2,6= — l.
???ba的非算术平方根是一yr=-i.
fc料過m本题主要是考查算术平方根的非负性，一个数的算术平方根的最小值为o.
本题用的是算术平方根的非负性，而不是用被开方数的非负性.
走进_B ^ inx e字 tsa上
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
?/X"- 1 (4) y(x-3)2.(3)(1) >/2-x—\ ; (2) ; ;x-2-/2x—\
料漏霜，使代数式在实数范围内有意义，若有被开方数，则被开方数大于等于
0;若式子中含有分母?则分母不能为0.
(1) ???2—1>0，工一???当 1<工<2时，（1)式有意义.
:心? ?当x>+时，（2)式有意义.
(3) Vx-l>0,x-2^0,.*.x^l 且 x參2 . ?当 x彡 1 且 _r#2时，（3)式有意义.
(4) Y(x—3)2>0，/.x取任何实数时，（4)式都有意义.
有被开方数的代数式要有意义，被开方数必须大于等于0;有分母的代数式
要有意义，分母必须不等于0.
当被开方数在分母中出现时，被开方数必须大于o.
观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1) 72 = 1. 414, 7200 = 14. 14, 720000 = 141. 4,…
yo. 03=0. 1732,73 = 1. 732, 7300 = 17. 32,…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动
(2) ???2:r —1>0(分母2i—1#0)，
.位，其算术平方根的小数点向 .移
动 位 ；
(2) 已知W=2.236,y^=7.071,则 y^7F=____
(3) ^T=l, ^1000 = 10,夕1000000 = 100,…
小数点的变化规律是____ :______ _
(4) 已知 >yi^=2. 154, v^00 = 4. 642,则 >10000 =
i
；
，一 ^0.1:
fefef森h O)观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2)利用得出的规律?1
计算即可得到结果；（3)归纳总结得到规律，写出即可；（4)利用得出的规律计算即可
得到结果.
(1)被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动
一位.
(2) 7071，36.
(3) 小数点的变化规律是：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，其立方根的小数点
向右（或向左）移动一位.
(4) >10000 = 21. 54, — ^07T=—0. 4642.
dKDgtm本题考查了立方根以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键.
注意乎方根与立方根的区别，小数点移动位数的规律不同，不要混淆.
第六讲平方根和立方根
先阅读所给材料，再解答下列问题:若v/FT与同时成立，则0：的值应是多
少？有下面的解题过程：因为yF=T和都是算术平方根，所以两者的被开方数:T_1,1_X
都是非负数.又因为x_i和l—x互为相反数，而两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那
就是它们都等于0,即:c—l=0，l一工=0,故z=l.
问题：已知:y= ^/^1+2,求:e的值.
根据阅读材料中的信息，当两个被开方数互为相反数时，这两个被开""i
方数只能同时等于0,可先求得:r的值，再进一步得出：y的值. f
由阅读材料提供的信息，可得1一2工=0且2x—1 = 0,
???工=如进而可得:y=2. .
= (i)= 4 ?
fc綱漱竹首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解
决问题，本题由材料得出的结论是：如果互为相反数的两个数都在根号内，那么这两个数都为0.
算术平方根具有双重非负性：一是被开方数是非负数，二是它的运算结果
是非负数，本题主要应用了被开方数是非负数这一性质.
??
请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子.
① \/16 = \/1 X 16 = X 42 =?J\ X \/42 = 1X 4 = 4
(1)/32= 72X16= %/2X4r=V2X ^=^2X4 = 4 72；
③ v^= 73X16= V/3X4r=V3X X4 = 4 V3.
;
_微通】要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应ei
认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是用序数乘
16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.
④ #= 74306= ViXA2 =74X v/4r=2X4 = 8
?780= 75X16= v/5X4r=^/5X 7^=75X4 = 4 75.
解这类题需注意观察题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子推广
得到一般的结论.
fell=^Eai^按规律找出被开方数后，要利用算术平方根的性质进行化简.
；
走诅匿居 i?X 教字 t0EI8Jt
翁霤⑩_
拓展训练
A组
1. 4的平方根是士2,那么v/肛的平方根是(
A?士 9
2. 下列各组数中互为相反数的是（ ）.
A. 一2与/( —2)2 B. 一2与
B. 9 C. 3 D. 土 3
C. -2与
3.已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（
D. | -2 | 与2
).
C. 76 dm
4.若2m—4与3m_l是同一个数的平方根，则m的值为（
C. — 3或 1
B. J2 dmA. 1 dm D. 3 dm
A. ― 3
5. —个数的立方根是它本身，则这个数是（ 〕
B. 1，0
6. 数n的平方根是:r，则n+1的算术平方根是(
b.
B. 1 D. -1
A. 0 C. 1，一 1 D. 1, 一1 或0
)?
A. 1 C. x~\~l D.不能确定
7.如果:那么:r：y的算术平方根是（
A. V2 B. #
B. (1)写一个比一斤小的整数：
D. 76C. 4
(2)已知a,6为两个连续的整数，且a< 则a + 6=_
9. 有一组按规律排列的数方,灰，沐,2,^■，…，则第n个数是
10. 若a的一个平方根是6,则它的另一个平方根是
平方根是_______ ?
若 ^0. 3670 = 0. 716, 37670 = 1. 542,则 1/^'
12.计算:
若a的一个平方根是6,则^的
，>—367011.
7( 一吾)⑴781-1-^27 + 9
13.求下列式子中工的值:
⑴（3工+1)2 = 16
I
(2)(工一2)3 — 1 = 一28.；
和立方枏—
B组
14.若 则 ws+y°16的值为（
A. 0 B. 1 C. 一 1 D. 2
15. 估计W+1的值的范围在（
A. 2到3之间
16. 下列语句中正确的是（
A. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B. 一个数的立方根不是正数就是负数
C. 负数没有立方根
D. 一个不为0的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
17. 在0?20的自然数中，立方根是有理数的共有( ).
A. 1个
18. 已知 y/2a一3 + ^/7~3
同课章节目录
- 第1章 有理数
- 1.1 从自然数到有理数
- 1.2 数轴
- 1.3 绝对值
- 1.4 有理数大小比较
- 第2章 有理数的运算
- 2.1 有理数的加法
- 2.2 有理数的减法
- 2.3 有理数的乘法
- 2.4 有理数的除法
- 2.5 有理数的乘方
- 2.6 有理数的混合运算
- 2.7 近似数
- 第3章 实数
- 3.1 平方根
- 3.2 实数
- 3.3 立方根
- 3.4 实数的运算
- 第4章 代数式
- 4.1 用字母表示数
- 4.2 代数式
- 4.3 代数式的值
- 4.4 整式
- 4.5 合并同类项
- 4.6 整式的加减
- 第5章 一元一次方程
- 5.1 一元一次方程
- 5.2 等式的基本性质
- 5.3 一元一次方程的解法
- 5.4 一元一次方程的应用
- 第6章 图形的初步知识
- 6.1 几何图形
- 6.2 线段、射线和直线
- 6.3 线段的长短比较
- 6.4 线段的和差
- 6.5 角与角的度量
- 6.6 角的大小比较
- 6.7 角的和差
- 6.8 余角和补角
- 6.9 直线的相交