第四章：相似三角形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知：，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知△ABC∽△A′B′C′， AB＝8，A’B’＝6，则（ ）
A. 2 B. . C. 3 D.
3.现有长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面
一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，如图是此时的示意图，则图中水面高度为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部
分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5.如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，
则（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于（ ）
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
8.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC
上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
10.锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11。如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则
12.在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是
13.如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为____________
14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为________?
15.如图，把△ABC沿AB边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若， 则此三角形移动的距离
16.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 ______
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点， …，则顶点的坐标为________?
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．
18(本题8分）如图，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D.
（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）连结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长.
19（本题8分）.如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且， 已知EF：DF=5：8，AC=24．（1）求AB的长；（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．
20（本题10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过
B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
21（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
22（本题12分）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
23（本题12分）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在
边BC，AD上，MN，
EF交于点P，记k＝MN：EF．
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点（N与D重合时），∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求的值．
第四章：相似三角形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：设，
∴，，，
∴
故选择A
2.答案：B
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
又∵AB＝8，A’B’＝6，
∴.
故选B.
3.答案：A
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△BCF，
∴，
即，
∴．
故选：A．
4.答案：B
解析：∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则（）＝，即，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故选：B．
5.答案：D
解析：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴，
故选：D．
6.答案：D
解析：∵平行四边形ABCD，∴，
∵E是OD的中点，∴，
∴，
∵，∴△DEF∽△BEA，
∴，
∵，∴，故选择D
7.答案：A
解析：∵相似比为1：3，
∴，∵，∴，
∵△OBC∽△FGC，∴，
∴，∴，∴，故选择A
8.答案：A
解析：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），
故选：A．
9.答案：B
解析：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
10.答案：B
解析：∵，BC=6，S△ABC=12，∴，∴，
∵，∴△AMN∽△ABC，∴，
∴，∴，
故选择B
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵BE和CD是中线，∴DE是中位线，
∴，∴，
∵E是AC的中点，∴，
∴，
∴
12.答案：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
解析：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），
∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
13.答案：
解析：∵，∴，
∴，∴
∵，∴，
∴，，
∴
14.答案：
解析：∵，
，，
∴
∴ADB∽△CDA，
∴，∴，
∵，
∴，∴
15.答案：
解析：∵平移，∴，
∵，
∴，∵，
∴，∴
16.答案：（1）； （2）
（1）依题可得，CD=1，CB=2，
∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°，
∴∠BDC=∠OBA，
又∵∠DCB=∠BOA=90°，
∴△DCB∽△BOA，
∴；
（ 2 ）根据题意标好字母，如图，
依题可得：
CD=1，CB=2，BA=1，
∴BD=，
由（1）知 ，
∴OB=，OA=，
易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，
∴BH=，CH=，AG=，FG=，
，，
∴C（ ），F（ ， ），
∴由点C到点F横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，
……
∴Fn的坐标为：（ ， ），
∴F2019的坐标为：（ ×2019，×2019）=（ ，405），
故答案为：（1）； （2）
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）△PBA与△ABC相似， 理由如下： ∵AB=，BC=5，BP=1， ∴， ∵∠PBA=∠ABC， ∴△PBA∽△ABC； （2）∵△PBA∽△ABC ∴∠BAC=∠BPA， ∵∠BPA=90°+45°=135°， ∴∠BAC=135°．
18.解析：（1）∵MN∥BC，
∴，，
又∵AM=AN，∴，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵，∴DE∥BC，
∴，∴，
即，∴AM=BC=，∴MN=2AM=3.
19.解析：（1）∵l1∥l2∥l3 ， EF：DF=5：8，AC=24， ∴， ∴，∴BC=15， ∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9． （2）解：∵l1∥l2∥l3 ， ∴， ∴，∴OB=3， ∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12， ∴， ∴，∴．
20.解析：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△CBD.
∴，即CD2＝AD·BD.
∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.
∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.
∴△BDF∽△GDA.
∴，即AD·BD＝DF·DG.
∴CD2＝DF·DG.
21.解析：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，
则，即.解得t＝2；
②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，
则，即解得t＝4.
综上所述，当t＝2或t＝4时，△POQ与△AOB相似．
22.解析：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FBA与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
23.解析：（1）如图1中，
作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴FH＝AB，MQ＝BC，
∵AB＝CB，
∴EH＝MQ，
∵EF⊥MN，
∴∠EON＝90°，
∵∠ECN＝90°，
∴∠MNQ+∠CEO＝180°，∠FEH+∠CEO＝180°
∴∠FEH＝∠MNQ，∵∠EHF＝∠MQN＝90°，
∴△FHE≌△MQN（ASA），
∴MN＝EF，
∴k＝MN：EF＝1．
（2）∵a：b＝1：2，
∴b＝2a，
由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，
∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝，
当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．
（3）连接FN，ME．
∵k＝3，MP＝EF＝3PE，
∴，
∴，∵∠FPN＝∠EPM，
∴△PNF∽△PME，
∴，ME∥NF，
设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m，
如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．作FH⊥BD于H．
∵∠MPE＝∠FPH＝60°，
∴PH＝2m，FH＝2m，DH＝10m，
∴．
