浙教版九年级数学上册第3章 圆的基本性质单元复习（知识点+例题+试卷，无答案）

《圆的基本性质》 单元复习
与圆有关的位置关系，试题强调基础，突出能力，源于教材，知识重组，变中求新，重在培养创新意识。要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题型，结合运动的动态型综合题问题，结合函数的函数几何综合题逐渐成为新课程中的热门考点。

【本章知识框架】

圆 基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距
的 垂径定理
认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）
识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系
与圆有关的角：圆心角，圆周角

弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形
圆中的有关计算：
圆锥的侧面积、全面积

一、圆的概念
1、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。优弧、劣弧以及表示方法。
3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，

【例1】如图，已知一个圆，请你用多种方法确定圆心．
分析：要确定一个圆的圆心，我们可以从两个方面分析：
(1) 圆心在弦的中垂线上；(2) 圆心是直径的交点。

【例2】下列命题正确的是( )
A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦．
【例3】填空：
⑴ 一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 ；
⑵ 等边△ABC内接于⊙O，∠AOB= 度。
4、判定一个点P是否在⊙O上．
设⊙O的半径为R，OP＝d，则有：
d>r 点P在⊙O 外；
d＝r 点P在⊙O 上；
d
【例4】 ⊙O的半径为4 cm，若线段OA的长为10 cm，则OA的中点B在⊙O的______，若线段OA的长为6 cm，则OA的中点B在⊙O的______。
【例5】一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为______。
【例6】P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 （ ）
A 4个 B 8个 C 12个 D 16个


5、三角形的外接圆，外心
三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。
知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。
三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。
相关知识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。

【例7】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。
答案：2π。




二、圆的性质
1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。
3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

【例8】如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么　　　　　　（只需写出一个正确的结论）．







【例9】如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )
A 2 B 3 C 4 D 5
答案：A．
【例10】⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )
A．2cm B．14cm
C．2cm或14cm D．10cm或20cm
【例11】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．




4、与圆有关的角
⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
⑵ 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：
① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
② 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．



【例12】如图23-18，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AD∥BC，对角线AC、BD交于点E，那么圆中共有_________对全等三角形，_________对相似比不为1的相似三角形．







【例13】如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。P是圆上一动点（不与C、D重合），试说明∠CPD与∠COB与有什么数量关系，并加以说明．
答案：相等或互补。

三、弧、扇形、圆锥侧面的计算
⑴ 圆的面积:，周长:
⑵ 圆心角为n°，半径为R的弧长 ．
⑶ 圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积 或 .
知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。
【例14】如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为 。








四、辅助线
圆中常见的辅助线
1．作半径，利用同圆或等圆的半径相等；
2．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；
3．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；
4．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；
5．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；
6．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。










圆的基本性质单元测试卷
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．已知弦AB把圆周角分成1 : 3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为( )
A. B. C. 900或270 D. 450或1350
3．⊙O中的两条弦AB、AC的弦心距分别是OE、OF，且AB=2AC，那么，下面式子成立的应是( )
A . OE=OF B. OF=2OE C. OEOF

3．下列命题中正确的是
A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．切线垂直于圆的半径
C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．圆内接平行四边形是矩形
4．以下命题中，正确的命题的个数是( )
(1）同圆中等弧对等弦． (2）圆心角相等，它们所对的弧长也相等．
(3）三点确定一个圆． (4）平分弦的直径必垂直于这条弦．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=200 , D是弧AC点，则∠D是( )
A.1200 B. 1100 C.1000 D. 900
6．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a, 最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为( )
A. B. C. 或 D.a+b或a-b
7．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD=10，DF=4，
则菱形ABCD的边长为（ ）
A . 4 B.5 C. 6 D. 9
8．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm．则OM的长为（ )
A . cm B.cm C. 2cm D. 3cm
二、填空题（每小题5分，共25分）

9．过⊙O内一点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 cm.
10．一圆拱的跨度为20cm，拱高5cm，则圆拱的直径为 .
11．圆的半径等于2cm，圆内一条弦长为2cm，则弦的中点与弦所对弧的
中点的距离为 .
12．某工件的形状如图所示，圆弧BC的度数为600, AB=6cm，点B到点C的
距离等于AB，∠BAC=300，则工件的面积等于 .
13．在半径为1的圆中，弦AB、AC的长是存和，则∠BAC的度数为 .
14．如图，扇形OAB中，∠AOB=900 ，半径OA=1, C是线段AB的中点，CD//OA，交弧AB于点D，则CD= .
15．如图，AB是⊙O的直径，AB=2, OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在上，点P是半径OC上一个动点，那么 AP＋ DP的最小值等于

解答题（共 50 分）
16 . ( 8分）已知△ABC内接于⊙O，∠B=600, AC=12，则O点到AC的距离是多少？





17．(10分）已知⊙O的半径等于4cm , AB为⊙O的弦，其长为4 HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 cm，求AB弦所对的圆周角的度数．






18．(12分)，某种商品的商标图案如图所示的阴影部分，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=600，是以A为圆心、AB为半径的弧，是以B为圆心，BC为半径的弧，求该商标图案的面积.






19．(10分）如图，已知△ABC内接于⊙O, AD是⊙O的直径， CF⊥AD, E为垂足，CE的延长线交AB 于F．求证：AC2=AF·AB .





20．(l0分）如图，△ACF内接于⊙O, AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E．
( l）求证：∠ACE=∠AFC ;
(2）若CD = BE=8，求sin∠AFC的值．






21 (l5分）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H .
(l）求证：AH·AB=AC2 ;
(2）若过A的直线AF与弦CD（不含端点）相交于点E,与⊙O相交于点F、求证：AE·AF =AC2 ;
(3）若过A的直线AQ与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，
判断AP·AQ=AC2是否成立（不必证明） .





22．(15分)如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C,弦CD交AM于点E.
(1)如果CD⊥AB,求证：EN=NM
(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE2=EF·ED
(3)如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB,那么（2）的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.