浙教版九年级数学下册2.3 三角形的内切圆和外接圆的半径计算专题讲解学案

外接圆和内接圆的半径计算专题讲解
（一）三角形外接圆半径的求法及应用
方法一：R＝ab/(2h)
三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD．
证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°.
∵∠E＝∠C， ∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴，
∴ AB·AC＝AE·AD
方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边
在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证： 2R＝AB/SinC
证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°.
∴AE＝AB/SinE
∵∠C＝∠E，SinC ＝SinE
∴AE＝AB/SinC
∴2R＝AB/SinC
若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）
应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.
解：作AE⊥BC，垂足为E.
设CE＝x,
∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ，∴132-x2＝152-(14-x)2
∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.
例2 已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.
分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
例3 已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R.
分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，
∠CAE＝∠DAB＝ 90°－ 60°＝30°
CE＝AC＝1，AE＝，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x)
应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。
用方法二
例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径
解 从A作AM⊥BC于M，则
AD2－MD2＝A M2
＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．
　　
得R＝14，　　则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．
例5 如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，
求①抛物线的顶点坐标；
②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；
③△ABC的外接圆的面积．
　　解 ①A(2，－9)；
　　 　②B(－1，0)； C(5， 0)．
　　　 ③从A作AM⊥x轴交于M点，
　　则BM＝MC＝3．AM ＝9．
　　
　　　
　　∴R＝5
△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π
（二）三角形内切圆半径r的求法
知识点：若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.
（1）面积法求半径公式：推导及应用
例1：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、3、4．求△ABC的内切圆半径r．

分析 连结OA、OB、OC，将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2)．这三个三角形都具有下列特征：即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底，其边上的高都为内切圆的半径r，则可用面积守恒来解决问题．

变式一 如图3，已知△ABC的周长和面积都为16，求这个三角形的内切圆半径．
分析 连结AO、BO、CO，将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO．他们分别以三边AB、BC、AC为底，内切圆半径r为高．

变式一可以帮我们总结出已知三角形的周长c和面积s，得出这个三角形的内切圆半径．
变式二 如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、4、3．⊙O分别与AB及CA、CB的延长线相切，求⊙O的半径，
分析 本题虽不是求内切圆半径，但是依然可以用面积守恒的方法来解决．与课本题类似，只要连结OA、OB、OC，再连接圆心与各边的切点，就容易得到


变式三 如图5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB、BC、CA的长分别为5、3、4．其中有两个互相外切的等圆都与斜边相切，且分别与两直角边相切，求两个等圆的半径的长．
分析 因为本题当中没有特殊角度，只有直角三角形的三条边长，乍一看很难找到方法．但如果能利用面积守恒法解决本题，就比较容易了．

拓展延伸：如图6，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On为n(n≥2)个相等的圆，且相邻两圆都外切，他们都与边AB相切．其中⊙O1与AC边相切，⊙On与BC边相切．求这些等圆的半径r（用n表示）．
分析 和变式三类似，将三角形分割成 四部分，利用四部分的面积和等于三角形ABC的面积易解本题．




反思 本文列举的求三角形内切圆半径问题的相似之处在于，圆都与直角三角形斜边相切，一个圆（或几个等圆）分别与两条直角边相切，几个圆之间相外切，这就提示我们，连结圆心和切点的半径必垂直于切线，这条半径就是连结顶点与圆心所成的三角形的高，进而可以用内切圆半径r表示三角形（或梯形）面积．
当然，解决变式三及其拓展，面积守恒并不是唯一的方法，以变式三为例，还可以将⊙O2连同BC边向左平移，使⊙O2与⊙O1重合，利用相似三角形来解答．
（2）切线长定理求半径：公式推导及应用（应用于直角三角形内切圆）
设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有

证明 如图1，设圆I切Rt△ABC三边于D、E、F，连结ID、IE．

易得IDCE是正方形．
∴2r=CD＋CE=(a-BD)+(b-AE)=a＋b-(BF＋AF)=a＋b-c，

在有关直角三角形的一些问题中，应用这个公式来解决非常方便．
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：a2＋b2=c2(勾股定理)．
证明 如图1，连结IA、IB、IC，则

把(*)式代入上式，即得

化简即得 a2+b2=c2．
例2 设Rt△ABC斜边上的高CD=h，△ABC、△ACD、△CBD内切圆的半径分别为r1、r2、r3．求证：r1+r2+r3=h．

证明 如图2，在Rt△ABC，Rt△ACD和Rt△CBD中，由(*)式可得

三式相加，即得r1+r2+r3=CD=h．
例3 如图1，圆I是Rt△ABC的内切圆，切两直角边于D、E，切斜边AB于F．求证：S△ABC=AF·BF．


即S△ABC=AF·BF．
例4 如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是三角形的三条边(c为斜边)．求证：

证明 作Rt△ABC的内切圆I，切三边于D、E、F．连结IA、IB、IF．则


又由例3知
AF·BF=S△ABC



由以上几例可以看出，已知条件中有内切圆的，可以利用内切圆半径公式作媒介，证得结论，如例2，例3；已知条件中没有内切圆的，也可以作出内切圆，并利用内切圆半径公式解决问题，如例1，例4．这说明直角三角形内切圆半径公式有着广泛的应用