浙教版八年级上册数学2.4 等腰三角形的判定定理同步练习（含答案）

2.4 等腰三角形的判定定理
基础闯关全练
1．如图2-4-1，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为( )

图2-4-1
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图2-4-2，已知AD是△ABC的外角平分线，且AD∥BC，则△ABC是__________三角形．

图2-4-2
3．如图2-4-3，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB，AC的中点，求证：BE=CD．

图2-4-3
4．如图2-4-4，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD= BE= CF,则△DEF的形状是( )
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形

图2-4-4
5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，如图2-4-5①，衣架杆OA=OB=18 cm，若衣架收拢，∠AOB=60°，如图2-4-5②，则此时A，B两点之间的距离是____cm.

图2-4-5
6．如图2-4-6，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，作AE∥DC，交BC的延长线于点E．则△ACE是 三角形．

图2-4-6
7．如图2-4-7，△ABC为等边三角形，∠1=∠2．BD= CE.求证：△ADE是等边三角形.

图2-4-7

能力提升全练
1．已知，如图2-4-8，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE=8，则线段BD+CE的长为( )

图2-4-8
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图2-4-9，在△ABC中，AB=BC，AB= 12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E．过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是______.

图2-4-9
3．如图2-4 -10，在△ABC中，AD为中线，∠BAD=∠DAC.
求证：AB =AC.

图2-4-10

三年模拟全练
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．有两个内角是70°与40°的三角形是等腰三角形
B．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C．有两个内角不等的三角形不是等腰三角形
D．有两个不同顶点的外角相等的三角形是等腰三角形
二、解答题
2．将一条两边互相平行的纸带按如图2-4-11所示的方式折叠，小明在折叠过程中发现：不管折叠角∠CPB是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由.

图2-4-11

五年中考全练
1．如图2 -4 - 12，∠AOB=60°，OA= OB，动点C从点D出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连结BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( )

图2-4-12
A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
二、解答题
2．如图2-4-13，四边形ABCD中，AB=BC．∠A=∠C．
求证：AD= CD.

图2-4-13

核心素养全练
如图2-4-14，△ABC中．AB =AC．∠A= 36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形，请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）
(1)在图2-4-14①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数分别是_______度和_____度：
(2)在图2-4-14②中画2条线段，使冈中有4个等腰三角形：
(3)继续以上操作发现：在△ABC中向凡条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有____个黄金等腰三角形，

图2-4-14


答案：
基础闯关全练
1.D ∵∠B=∠C.∴AC=AB.∵AB=5.∴AC=5.
2．答案 等腰
解析 ∵AD平分∠EAC,∴∠1=∠2，又∵AD∥BC，∴∠B=∠1,∠C=∠2，∴∠B= ∠C．∴△ABC是等腰三角形．
3．证明 ∵∠ABC= ∠ACB,
∴AB=AC(等角对等边)．
∵点D,E分别为边AB,AC的中点，
∴BD=CE．
在△BDC≌△CEB中,BD=CE, ∠DBC=∠ECB,BC=CB,
∴△BDC≌△CEB( SAS)，
∴BE =CD.
4.A ∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE,又∵∠A= ∠B= ∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE( SAS),∴DF=ED= FE,∴△DEF是等边三角形，故选A．
5．答案 18
解析 连结AB，∵OA= OB，衣架收拢时，∠AOB= 60°,∴△AOB是等边三角形．∴AB= OA= OB= 18 cm.
6．答案 等边
解析如图，∵CD平分∠ACB, ∠ACB= 120°,
∴∠1=∠2==60°.
∵AE//DC,∴∠3=∠2= 60°,∠E=∠1=60°,
∴∠4=180°-∠3-∠E=60°,
∴∠3= ∠4=∠E,
∴△ACE是等边三角形．

7．证明∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=600,AB=AC.
又∵∠1=∠2,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE( SAS)．
∴AD=AE．∠BAD=∠CAE．
∵∠BAD=60°,∴∠CAE=60°,
∴△ADE是等边三角形．
能力提升全练
1.D ∵BO和CD分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB.∵ DE／／BC,∴∠OBC=∠DOB．∠EOC= ∠OCB.∴∠DBO= ∠DOB,∠EOC=∠ECO.∴DB=DO,EO=EC,∴DE=DO+EO=DB+EC=8．故选D.
2．答案 24 cm
解析 ∵AB= BC，∴∠A= ∠C（等边对等角），∵FE∥BC，∴∠AEF=∠C,∴∠A= ∠AEF,∴FA=FE(等角对等边)．同理DC= DE.∴四边形BDEF的周长是BF+FE+DE+BD=BF+FA+DC+BD=AB+BC=24 cm.
3．证明 如图，延长AD到点E,使DE=AD，连结BE.
在△ACD和△EBD中．
∵
∴△ACD≌△EBD( SAS)．
∴BE =AC，∠BED=∠CAD（全等三角彤对应边，对应角相等）．
∵∠BAD=∠DAC．
∴∠BED=∠BAD,
∴AB=BE（等角对等边），
∴AB=AC．

三年模拟全练
一、选择题
1．C有两个内角是70°与40°，根据三角形内角和定理，可得第三个角必为70°，所以该三角形是等腰三角形，故A中的说法正确；当一个外角的平分线平行于三角形的一边时，根据平行线的性质，可得该三角形内的两个角相等，所以该三角形是等腰三角形，故B中的说法正确；在内角分别为50°、50°、80°的三角形中，50°角与80°角不相等，但该三角形为等腰三角形，故C中的说法不正确；有两个不同顶点的外角相等时，根据“等角的补角相等”，可得该三角形的两个内角相等，所以该三角形是等腰三角形，故D中的说法正确．故选C．
二、解答题
2．解析小明的想法正确．理由：
∵AC’// BD',
∴∠FEC=∠PFE．
由折叠可知,∠PEF=∠FEC’，
∴∠PEF=∠PFE,
∴PE =PF，即△PEF是等腰三角形．
五年中考全练
一、选择题
1．A．∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB．∠OAB=∠AB0=60°
①当点C在线段OB上时，如图1．
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD．∠CAD=60°,
∴∠OAC=∠BAD．
在△AOC和△ABD中，

∴△AOC≌△ABD( SAS),
∴∠ABD=∠AOC=60°,
∴∠DBF=180°-∠ABO-∠ABD=60°．∴∠DBE= ∠AOB,
∴BD// OA.
②当点C在OB的延长线上时，如图2．同①的方法得出BD//OA.，
故选A．

二、解答题
2．证明连结AC．
∵AB=BC．
∴∠BAC= ∠BCA（等边对等角），
又∵ ∠BAD= ∠BCD,
∴∠CAD= ∠ACD,
∴AD= CD（等角对等边）．
核心素养全练
解析(1) 108：36．
提示：作∠ABC的平分线BD，如图①所示，可知△ABD的顶角为108°，△CBD的顶角为36°，故答案为108，36.
(2)解法一：如图②，在图①的基础上，在AB上取一点E，使BE =BD．连结DE．图②中，△ABD，△AED，△BED，△BCD都是等腰三角形．
解法二：如图③，在图①的基础上作∠BCD的平分线交BD于点E．四个等腰三角形分别是△ABD，△BCD，△BEC,△CED．

(3)2n;n．从上面的探究过程我们可以知道，当画一条线段将黄金等腰三角形分割成两个等腰三角形时，其中一个是黄金等腰三角形，另一个是一般等腰三角形；当画两条线段将黄金等腰三角形分割成四个等腰三角形时，其中两个是黄金等腰三角形，另两个是一般等腰三角形；……，由此可以推广，在△ABC中画，2条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．