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第4章 相似三角形 单元测试
班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 下列线段中，能成比例的是（ ）
A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
【答案】D
2． 如图，P是△ABC的边AC上一点，连结BP，下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【答案】B
3． 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
【答案】C
4． 如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
5． 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【答案】A
6． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（ ）
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
【答案】A
7． 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE︰EC＝3︰2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2︰5 B．3︰5 C．9︰25 D．4︰25
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∴∠EDF＝∠ABF，∠DEF＝∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，
又∵DE︰EC＝3︰2，
∴＝，
∴＝＝，故选C．
8． 如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝9，AB＝12，则DF＝（ ）
A．3 B．7 C．12 D．15
【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．
∵AB∥DE，
∴△CEF∽△CBA．
∵EF＝9，AB＝12，
∴EF：AB＝9：12＝3：4，
∴面积比＝9：16．
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积＝7k，
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴△CDF＝7k．
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF：EF＝7k：9k，
∴DF＝7．
故选：B．
9． 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
【答案】C
【解析】由题意可知△ADE∽△DPC，∴＝，即＝，∴xy＝12，y＝，为反比例函数，应从C，D里面进行选择．由于x最小应不小于CD，最大不超过BD，∴3≤x≤5．故选C．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果＝，那么＝__________．
【答案】2
12．已知P是线段AB的黄金分制点．PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝__________cm．
【答案】2－2
13．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．
【答案】1︰4
14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝__________．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴＝＝，∴＝＝．
15．如图所示，△ABC∽△AED，AD＝5cm，BD＝6cm，AC＝9cm，则AE＝__________cm，△ABC与△AED的相似比是__________．
【答案】，；
16．如图，在直角坐标平面xoy中，点A的坐标为(3，2)，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC︰BC的值为__________．
【答案】
【解析】解：如图，作AH⊥x轴于H，BG⊥y轴于点G，
∵△AOH∽△OBG，
∴＝，即＝，解得OG＝，
∴＝＝＝＝＝．
三、解答题（本题有8题，共66分）
17．（本题6分）已知线段a，b，c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．
【答案】解：（1）设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴ ＝＝．
（2）∵ a＋b＋c＝27，∴ 2k＋3k＋4k＝9k＝27，解得k＝3，∴ a＝6，b＝9，c＝12．
18．（本题6分）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，请从图中找出三对相似三角形，要求其中一对必须不是直角三角形，并说明这一对三角形相似的理由．
【答案】解：△ABH∽△GBH，△ACH∽△HFC，△BCH∽△BHD．
其中△BCH∽△BHD的理由如下：
设小正方形的边长为1，则BC＝1，BH＝，BD＝2．
∴＝，＝＝．
∴＝．
∵∠HBC＝∠DBH，
∴△BCH∽△BHD．
19．（本题6分）已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P．
（1）求证：△ADP∽△CBP；
（2）判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明．
【答案】解：（1）证明：由题意，得
∠DAP＝∠BCP，∠ADP＝∠CBP，
∴△ADP∽△CBP；
（2）成立．证明：∵△ADP∽△CBP，
∴＝，∴AP·BP＝DP·CP．
【解析】证明圆中的两三角形相似常用的定理是同弧所对的圆周角相等．
20．（本题8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求出河宽AB．
【答案】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△ABC∽△ADE，∴＝，
∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，
∴AD＝AB＋8.5，
∴＝，解得AB＝17．
答：河宽AB的长为17 m．
21．（本题8分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F．
（1）求证：EF＝AE－BE；
（2）连结BF，如果＝，求证：EF＝EP．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠DAF＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△BEA与△AFD中，
∴△BEA≌△AFD，
∴BE＝AF，
∴EF＝AE－AF＝AE－BE；
（2）在△AFD与△PEB中，
∵∠DAF＝∠BPE，∠BEP＝∠DFA＝90°，
∴△AFD∽△PEB，
∴＝，
∵＝且AF＝BE，
∴＝，即＝，
∵＝，
∴BF＝PB，
在等腰三角形BFP中，
∵BE⊥FP，
∴EF＝EP．
22．（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝BF；
（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
【答案】解：（1）证明：∵点E是AB中点，
∴AE＝BE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵点F在CB，DE延长线上，
∴AD∥BF，
∴∠ADE＝∠BFE，
在△AED与△BEF中，
∴△AED≌△BEF(AAS)，
∴AD＝BF；
（2）∵EB∥CD，
∴△EFB∽△FDC，
∵△AED≌△BEF，
∴ED＝EF，S△AED＝S△BEF，
∵＝，
∴＝，
∴设S△BFE为x，则S四边形EBCD为3x，
由4x＝32，得x＝8，
∴S四边形EBCD＝3×8＝24．
23．（本题10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）证明：∵DC2＝CE·CA，
∴＝，而∠ACD＝∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD；
（2）如答图，连结OC，设⊙O的半径为r，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BAD，
∴OC∥AD，
∴＝＝＝2，
又∵CD＝2，
∴PC＝2CD＝4，
∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
∴＝，即＝，
∴r＝4（负值舍去），即⊙O的半径为4．
24．（本题12分）如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，从C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为Scm2．
解答下列问题：
（1）当t＝3时，求S的值；
（2）当t＝5时，求S的值；
（3）当5＜t＜8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
【答案】解：（1）作PE⊥QR，E为垂足，如图所示．
∵PQ＝PR，
∴QE＝RE＝QR＝4．
∴PE＝＝3．
当t＝3时，QC＝3，
设PQ与DC交于点G．
∵PE∥DC，
∴△QCG∽△QEP．
∴＝．
∵S△QEP＝×4×3＝6，
∴S＝×6＝（cm2）．
（2）当t＝5时，CR＝3，点B与点Q重合，设PR与DC交于点G，如图所示．
由△RCG∽△REP得S△RCG＝．
∴S＝S△PQR－S△RCG＝12－＝(cm2)．
（3）当5＜t＜8时，QB＝t－5，RC＝8－t，如图所示．
设PQ交AB于点H．
由△QBH∽△QEP得S△QBH＝(t－5)2．
由△RCG∽△REP得S△RCG＝(8－t)2，
∴S＝12－(t－5)2－(8－t)2，
即S＝－t2＋t－．
∴S＝－＋．
∴S最大值＝cm2．
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班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．___________________________________ 12．___________________________________
13．___________________________________ 14．___________________________________
15．___________________________________ 16．___________________________________
三、解答题（本题有8题，共66分）
17．（本题6分）
18．（本题6分）
19．（本题6分）
20．（本题8分）
21．（本题8分）
22．（本题10分）
23．（本题10分）
24．（本题12分）
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班级__________ 姓名__________ 得分_________
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1． 下列线段中，能成比例的是（ ）
A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
2． 如图，P是△ABC的边AC上一点，连结BP，下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
第2题图 第4题图 第6题图
3． 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
4． 如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（ ）
A． B． C． D．2
5． 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
6． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（ ）
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
7． 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE︰EC＝3︰2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（ ）
A．2︰5 B．3︰5 C．9︰25 D．4︰25
第7题图 第8题图 第9题图
8． 如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF＝9，AB＝12，则DF＝（ ）
A．3 B．7 C．12 D．15
9． 如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．如果＝，那么＝__________．
12．已知P是线段AB的黄金分制点．PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝__________cm．
13．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．
14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝__________．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图所示，△ABC∽△AED，AD＝5cm，BD＝6cm，AC＝9cm，则AE＝__________cm，△ABC与△AED的相似比是__________．
16．如图，在直角坐标平面xoy中，点A的坐标为(3，2)，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC︰BC的值为__________．
三、解答题（本题有8题，共66分）
17．（本题6分）已知线段a，b，c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．
18．（本题6分）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，请从图中找出三对相似三角形，要求其中一对必须不是直角三角形，并说明这一对三角形相似的理由．
19．（本题6分）已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P．
（1）求证：△ADP∽△CBP；
（2）判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明．
20．（本题8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求出河宽AB．
21．（本题8分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F．
（1）求证：EF＝AE－BE；
（2）连结BF，如果＝，求证：EF＝EP．
22．（本题10分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连结DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝BF；
（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
23．（本题10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．
24．（本题12分）如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，从C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为Scm2．
解答下列问题：
（1）当t＝3时，求S的值；
（2）当t＝5时，求S的值；
（3）当5＜t＜8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
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