2019年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷（解析版）

2019年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
5．下列作图语句正确的是（　　）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
6．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
7．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若a2＝b2，则a＝b
D．同角的余角相等
10．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（　　）
A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠ADB是△　 　和△　 　的外角；以AC为一边长的三角形有　 　个．

12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有　 　个．

13．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是　 　cm．
14．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是　 　．

15．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是　 　．

16．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）

17．把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是　 　．
18．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．观察以下图形，回答问题：

（1）图②有　 　个三角形；图③有　 　个三角形；图④有　 　个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　个三角形（用n的代数式表示结论）．
20．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

21．认真阅读，并回答下面问题：
如图，AD为△ABC的中线，S△ABD与S△ADC相等吗？（友情提示：S△表示三角形面积）
解：过A点作BC边上的高h，
∵AD为△ABC的中线
∴BD＝DC
∵S△ABD＝S△ADC＝
∴S△ABD＝S△ADC
（1）用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：　 　
（2）利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，（只要割线不同就算一种）
（3）已知：AD为△ABC的中线，点E为AD边上的中点，若△ABC的面积为20，BD＝4，求点E到BC边的距离为多少？

22．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）．

23．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；
（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．

24．某地拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请利用尺规作图作出音乐喷泉P的位置．（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，必须用铅笔作图）．

25．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．

26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．



2019年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解．
【解答】解：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm．
则（x+1）+x+（x﹣1）＝12，
解得：x＝4，
则最短的边长是：4﹣1＝3cm．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键．
2．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高线的定义：过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的距离叫做三角形的高对各选项图形判断即可．
【解答】解：由三角形的高线的定义，C选项图形表示△ABC中AC边上的高．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义并准确识图是解题的关键．
3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC＝2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x＝2y+x+y，解得y＝x，再根据△ABC的面积是1即可求得x、y的值，从而求解．
【解答】解：连接CP，
设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．
∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，
∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，
∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，
∴△ABP的面积是4x．
∴4x+x＝2y+x+y，
解得y＝x．
又∵4x+x＝，
x＝．
则四边形PDCE的面积为x+y＝．
故选：B．

【点评】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角
D．四边形的稳定性
【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．
【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．下列作图语句正确的是（　　）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：A、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误；
B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误；
D、作∠AOB的平分线OC，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查图形中延长线、平行线、角平分线的画法，是基本题型，特别是A选项，应该是作出的等于原来的，顺序不能颠倒．
6．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
【解答】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质．
由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由OB＝OB得出△OBC≌△OAC（SSS）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．
7．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断BN选项正确．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点，利用三角形中位线定理，求证△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，然后即可证明其面积相等，其他3种情况，同理可得．
【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴在图①中，DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，
∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，
∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．
同理可得图②，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．
同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查三角形中位线定理和三角形面积的计算，难度不是很大，只是步骤繁琐，属于中档题．
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若a2＝b2，则a＝b
D．同角的余角相等
【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据三角形外角性质对B进行判断；根据平方根的定义对C进行判断；根据余角的定义对D进行判断．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；
B、三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，所以B选项错误；
C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，所以C选项错误；
D、同角的余角相等，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（　　）
A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟
【分析】根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和．
【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；
第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；
第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．
总计共用2+7+3＝12分钟．
故选：C．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题．
二．填空题（共8小题）
11．如图，∠ADB是△　ADC　和△　DFC　的外角；以AC为一边长的三角形有　4　个．

【分析】根据三角形和外角的定义在图形中找出相应的外角和三角形即可．
【解答】解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；
以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；
故答案为：ADC，DFC，4．
【点评】此题考查了三角形，根据三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，在图形中找出以AC为一边长的三角形，要找出全部的三角形．
12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有　6　个．

【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
13．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是　2.4　cm．
【分析】根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式，求得斜边上的高即可．
【解答】解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，∴△ABC是直角三角形，
∵S△ABC＝3×4÷2＝6cm2，∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，
∴△ABC最大边上的高是2.4cm．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形面积的计算．
14．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是　全等三角形，对应角相等　．

【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE＝∠BOE．
【解答】解：连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE＝∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法．
15．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是　同位角相等，两直线平行　．

【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．
16．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）

【分析】利用勾股定理列式求出AB＝，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，
所以，AP＝时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．

【点评】本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．
17．把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是　如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等　．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是等腰三角形的两个底角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等，
故答案为：如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
18．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是　E　．
【分析】由已知，通过A比了5场，E比了1场运用排除法得到没与B队比赛的球队．
【解答】解：A比了5场，
所以A与E比过，
又E只比了1场，
而B比了4场，
所以B与E没比过．
故答案为：E．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证．此题解答的关键是由A比了5场一定与E比过，而E只比了1场得到答案．
三．解答题（共8小题）
19．观察以下图形，回答问题：

（1）图②有　3　个三角形；图③有　5　个三角形；图④有　7　个三角形；…猜测第七个图形中共有　13　个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　（2n﹣1）　个三角形（用n的代数式表示结论）．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形
（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．

（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；
图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；
图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；

∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
20．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；

（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴S△ABC＝AB?AC＝×6×8＝24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE＝EC，
∴BE?AD＝EC?AD，即S△ABE＝S△AEC，
∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．

（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
21．认真阅读，并回答下面问题：
如图，AD为△ABC的中线，S△ABD与S△ADC相等吗？（友情提示：S△表示三角形面积）
解：过A点作BC边上的高h，
∵AD为△ABC的中线
∴BD＝DC
∵S△ABD＝S△ADC＝
∴S△ABD＝S△ADC
（1）用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：　三角形中线平分三角形的面积　
（2）利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，（只要割线不同就算一种）
（3）已知：AD为△ABC的中线，点E为AD边上的中点，若△ABC的面积为20，BD＝4，求点E到BC边的距离为多少？

【分析】（1）根据推导过程，知三角形中线平分三角形的面积；
（2）根据（1）的结论，知借助三角形的直线就可四等分三角形的面积；
（3）根据（1）的结论求得△BED的面积，进一步根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：（1）三角形中线平分三角形的面积；

（2）第一种方法：BE＝DE＝DF＝CF；
第二种方法：BD＝CD，AE＝BE，AF＝CF．


（3）∵AD为△ABC的中线，点E为AD边上的中点，若△ABC的面积为20，
∴△BDE的面积＝×△ABC的面积＝5．
又BD＝4，
则点E到BC边的距离是2.5．
【点评】此题要掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分的结论，并能灵活运用．
22．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠CAE＝∠ACB，再截取AD＝BC，然后证明四边形ABCD为平行四边形，从而得到CD∥AB．
【解答】解：如图，CD为所作；

证明：∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．
23．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；
（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．

【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB＝MB；
（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证△BMO≌DQO，所以QO＝MO，由于∠QOC＝∠MOA，CO＝AO，所以△COQ≌AOM，则∠QCO＝∠MAO，从而可得CQ∥AM．
【解答】解：（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，如图1，
（2）延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作，如图2．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．某地拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请利用尺规作图作出音乐喷泉P的位置．（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，必须用铅笔作图）．

【分析】由题意可知，P在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
【解答】解：如图，

【点评】本题主要考查了设计与设计作图，得到点P是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．
25．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；
（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果??，那么?）
（2）说明你写的一个命题的正确性．

【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF．
【解答】解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵AD＝BC，∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴DF＝CE．
∴DF﹣EF＝CE﹣EF．
即DE＝CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+EF．
即DF＝CE．
∵∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE．
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．
【分析】由已知，1～19号运动员随意地站成一个圆圈，求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，从每组都小于等于31，得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
【解答】解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19，
显然a1＝1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．
令A1＝a2+a3+a4；
A2＝a5+a6+a7；
A3＝a8+a9+a10；
A4＝a11+a12+a13；
A5＝a14+a15+a16；
A6＝a17+a18+a19；
则A1+A2+A3+A4+A5+A6；
＝a2+a3+a4+…+a17+a18+a19；
＝2+3+4+…+17+18+19；
＝189（*）．
如果A1，A2，A3，A4，A5，A6中每一个都≤31，则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31＝186，与（*）式矛盾．
所以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，
所以必有a2+a3+a4≥32成立．
所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，同时也考查了学生对问题灵活处理的综合能力．解题的关键是求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，从每组都小于等于31，得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．