2019年浙教新版九年级上册数学第3章圆的基本性质单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年浙教新版九年级上册数学第3章圆的基本性质单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 544.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-12-30 14:01:56 | ||
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文档简介
2019年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
8．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（ ）
A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2）
10．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为 cm．
13．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 cm内径的管道（内径指内部直径）．
14．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是 ， ．
15．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为 ．
17．等边三角形至少旋转 度才能与自身重合．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8m，求⊙O的直径．
21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
23．（1）计算： +﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ．
24．已知：点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合．
（1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？
（2）若BP＝2，求PE的长．
25．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
26．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
2019年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
2．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．
【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，连接OA，
则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：
AC＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AB＝2AC＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB＝CD，
∴＝，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝MB，CN＝ND，
∴BM＝DN，
∵OB＝OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM＝ON，故②正确，
∵OP＝OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，
∵AM＝CN，
∴PA＝PC，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°
【分析】先由弦和两条半径得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】解：如图，
AB为⊙O的弦，且AB＝OA，则△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠P＝30°，
∴∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣30°＝150°．
∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．
所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了一条弦所对的圆周角有两种情形：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上．
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【分析】根据旋转和平移的性质即可解答．
【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选：A．
【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质：
（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形．
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠D′＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转对称图形的概念解答．
【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；
C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
9．如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（ ）
A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2）
【分析】利用中点坐标公式计算即可．
【解答】解：设C1（x，y），
由题意：BC＝BC1，
∴＝0，＝1，
∴x＝﹣m，y＝2﹣n，
∴C1（﹣m，2﹣n），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．
【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，
∴作图正确是C选项图形．
故选：C．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 10 ．
【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．
12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为 13 cm．
【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．
【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．
故答案是13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．
13．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 100 cm内径的管道（内径指内部直径）．
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC＝AB＝×60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，
解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故答案为：100．
【点评】考查了垂径定理的应用和勾股定理，本题的难点在于构造出直角三角形，内径指的是直径，这一点学生可能会出错．
14．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是 4 ， （，2） ．
【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO＝120°可求出∠BCO及∠BAO的度数，由直角三角形的性质可求出∠ABO的度数，再根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定定理即可求出⊙C的半径；由△AOB是直角三角形可求出OB的长，过O作OD⊥OB于D，由垂径定理可求出OD的长，进而得出D点的坐标，再根据直角三角形的性质可求出CD的长，从而求出C点坐标．
【解答】解：连接AB，OC，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO＝120°，
∴∠BCO＝120°，∠BAO＝60°，
∵AC＝OC，∠BAO＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径＝OA＝4；
过C作CD⊥OB于D，则OD＝OB，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OD＝＝＝2，CD＝BC＝×4＝2，
∴D点坐标为（﹣2，0），
∴C点坐标为（﹣2，2）．
故答案为：4，C（﹣2，2）．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 120° ．
【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．
【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为 ．
【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝2，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD＝BD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，
即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD＝AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2＝，
∴S阴影＝DF×CF＝×＝．
【点评】考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
17．等边三角形至少旋转 120 度才能与自身重合．
【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．
【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，
所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 （﹣1，） ．
【分析】在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO＝CD＝4、OB＝BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE＝60°、CO＝2，由三角函数可得OE、CE．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，
∴AB＝2，OA＝＝4，
∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，
∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，
∴CO＝CD﹣DO＝2，
在RT△COE中，OE＝CO?cos∠COE＝2×＝1，
CE＝CO?sin∠COE＝2×＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
【点评】本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全等即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
【分析】由，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，再利用圆周角定理求出∠BCA，然后由三角形的内角和得到∠OAC．
【解答】解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°（2分）
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°（3分）
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°（4分）
又∵OA＝OC∴∠OAC＝＝15°（6分）
【点评】本题考查了圆的有关定义及三角形的内角和定理，解题的关键是能够利用好圆周角定理，难度不大．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8m，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC＝弧BD，根据圆周角定理得出∠BCD＝∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠ACO，即可得出答案；
（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB过O，
∴弧BC＝弧BD，
∴∠BCD＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，AB过O，CD＝8m，
∴CE＝DE＝4m，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC＝＝2（m），
∵AB为直径，AB⊥CD，
∴∠BCA＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴BA＝＝＝10（m），
即⊙O的直径是10m．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；
（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
23．（1）计算： +﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 5 个；第2008个图案是 ．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质化简原式，可得答案；
（2）分析可得，图形三个一组，且依次循环；10除3的余数为1，2008除3的余数为1，故第10个图案与第2008个图案相同，都是第一个图案，即；在前16个图案中有共5组，第六组只有第一个图案；故在前16个图案中有5个．
【解答】解：（1）原式＝＝2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
【点评】本题考查代数式的化简及根据图形找规律的方法．
24．已知：点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合．
（1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？
（2）若BP＝2，求PE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根据旋转的性质求解；
（2）根据旋转的性质得BP＝BE＝2，∠PBE＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；
（2）∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴BP＝BE＝2，∠PBE＝90°，
∴PE＝PB＝2．
答：（1）△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；（2）PE为2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
25．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
【分析】（1）要证明∠B＝∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．
（2）因为△ABE≌△ACD，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．
【解答】（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B＝∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边．
26．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
【分析】（1）根据点的位置，直接写出点的坐标；
（2）根据（1）中发现的规律，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，即横坐标的和为0，纵坐标的和为0，列方程，求a、b的值．
【解答】解：（1）由图象可知，点A（2，3），点D（﹣2，﹣3），点B（1，2），点E（﹣1，﹣2），点C（3，1），
点F（﹣3，﹣1）；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
（2）由（1）可知，a+3+2a＝0，4﹣b+2b﹣3＝0，解得a＝﹣1，b＝﹣1．
【点评】本题考查了坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征．关键是通过观察发现规律，列方程求解．
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
8．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（ ）
A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2）
10．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为 cm．
13．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 cm内径的管道（内径指内部直径）．
14．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是 ， ．
15．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为 ．
17．等边三角形至少旋转 度才能与自身重合．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8m，求⊙O的直径．
21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
23．（1）计算： +﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ．
24．已知：点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合．
（1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？
（2）若BP＝2，求PE的长．
25．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
26．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
2019年浙教新版九年级上册数学《第3章 圆的基本性质》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】首先由AD∥OC可以得到∠AOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
2．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．
【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，连接OA，
则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：
AC＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AB＝2AC＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
4．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB＝CD，
∴＝，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝MB，CN＝ND，
∴BM＝DN，
∵OB＝OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM＝ON，故②正确，
∵OP＝OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，
∵AM＝CN，
∴PA＝PC，故③正确，
故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°
【分析】先由弦和两条半径得到等边三角形，则弦所对的圆心角为60度，要求这条弦所对的圆周角分两种情况：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出两种类型的圆周角．
【解答】解：如图，
AB为⊙O的弦，且AB＝OA，则△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠P＝30°，
∴∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣30°＝150°．
∠P、∠P′都是弦AB所对的圆周角．
所以圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是30°或150°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了一条弦所对的圆周角有两种情形：圆周角的顶点在弦所对的劣弧或优弧上．
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（ ）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【分析】根据旋转和平移的性质即可解答．
【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选：A．
【点评】本题结合游戏，考查了旋转和平移的性质：
（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
（2）平移的性质：①对应点之间的连线平行且相等，对应角相等，对应线段平行且相等；②平移方向为前后对应点射线的方向，距离为对应点之间线段的长度；③平移前后图形的形状与大小都没有发生变化，即为全等形．
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠D′＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转对称图形的概念解答．
【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；
C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
9．如图，将△ABC绕点B（0，1）旋转180°得到△A1BC1，设点C的坐标为（m，n），则点C1的坐标为（ ）
A．（﹣m，﹣n﹣2） B．（﹣m，﹣n﹣1） C．（﹣m，﹣n+1） D．（﹣m，﹣n+2）
【分析】利用中点坐标公式计算即可．
【解答】解：设C1（x，y），
由题意：BC＝BC1，
∴＝0，＝1，
∴x＝﹣m，y＝2﹣n，
∴C1（﹣m，2﹣n），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．
【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，
∴作图正确是C选项图形．
故选：C．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 10 ．
【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．
【解答】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，
在Rt△ODC中，
∴OC＝＝＝5，
∴AB＝2OC＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．
12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为 13 cm．
【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．
【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．
故答案是13．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．
13．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 100 cm内径的管道（内径指内部直径）．
【分析】连接OA作弦心距，就可以构造成直角三角形．设出半径弦心距也可以得到，利用勾股定理就可以求出了．
【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC＝AB＝×60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，
解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故答案为：100．
【点评】考查了垂径定理的应用和勾股定理，本题的难点在于构造出直角三角形，内径指的是直径，这一点学生可能会出错．
14．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°．⊙C的半径和圆心C的坐标分别是 4 ， （，2） ．
【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO＝120°可求出∠BCO及∠BAO的度数，由直角三角形的性质可求出∠ABO的度数，再根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定定理即可求出⊙C的半径；由△AOB是直角三角形可求出OB的长，过O作OD⊥OB于D，由垂径定理可求出OD的长，进而得出D点的坐标，再根据直角三角形的性质可求出CD的长，从而求出C点坐标．
【解答】解：连接AB，OC，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO＝120°，
∴∠BCO＝120°，∠BAO＝60°，
∵AC＝OC，∠BAO＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径＝OA＝4；
过C作CD⊥OB于D，则OD＝OB，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴OD＝＝＝2，CD＝BC＝×4＝2，
∴D点坐标为（﹣2，0），
∴C点坐标为（﹣2，2）．
故答案为：4，C（﹣2，2）．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
15．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了 120° ．
【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．
【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为 ．
【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝2，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD＝BD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，
即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD＝AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2＝，
∴S阴影＝DF×CF＝×＝．
【点评】考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
17．等边三角形至少旋转 120 度才能与自身重合．
【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．
【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，
所以，旋转角为360°÷3＝120°，故至少旋转120度才能与自身重合．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 （﹣1，） ．
【分析】在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO＝CD＝4、OB＝BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE＝60°、CO＝2，由三角函数可得OE、CE．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，
∴AB＝2，OA＝＝4，
∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，
∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，
∴△OBD是等边三角形，
∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，
∴CO＝CD﹣DO＝2，
在RT△COE中，OE＝CO?cos∠COE＝2×＝1，
CE＝CO?sin∠COE＝2×＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
【点评】本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全等即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关键．
三．解答题（共8小题）
19．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数．
【分析】由，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，再利用圆周角定理求出∠BCA，然后由三角形的内角和得到∠OAC．
【解答】解：∵OB＝OC∴∠OCB＝∠OBC＝40°（2分）
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°（3分）
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+100°＝150°（4分）
又∵OA＝OC∴∠OAC＝＝15°（6分）
【点评】本题考查了圆的有关定义及三角形的内角和定理，解题的关键是能够利用好圆周角定理，难度不大．
20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2cm，CD＝8m，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据垂径定理得出弧BC＝弧BD，根据圆周角定理得出∠BCD＝∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠ACO，即可得出答案；
（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，AB过O，
∴弧BC＝弧BD，
∴∠BCD＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，AB过O，CD＝8m，
∴CE＝DE＝4m，
在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC＝＝2（m），
∵AB为直径，AB⊥CD，
∴∠BCA＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCA，
∴＝，
∴BA＝＝＝10（m），
即⊙O的直径是10m．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
21．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
22．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD知＝，即+＝+，据此可得答案；
（2）由＝知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【解答】证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
23．（1）计算： +﹣2﹣1；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 5 个；第2008个图案是 ．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质化简原式，可得答案；
（2）分析可得，图形三个一组，且依次循环；10除3的余数为1，2008除3的余数为1，故第10个图案与第2008个图案相同，都是第一个图案，即；在前16个图案中有共5组，第六组只有第一个图案；故在前16个图案中有5个．
【解答】解：（1）原式＝＝2；
（2）根据分析，知应分别为，5，．
【点评】本题考查代数式的化简及根据图形找规律的方法．
24．已知：点P是正方形内一点，△ABP旋转后能与△CBE重合．
（1）△ABP旋转的旋转中心是什么？旋转了多少度？
（2）若BP＝2，求PE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根据旋转的性质求解；
（2）根据旋转的性质得BP＝BE＝2，∠PBE＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；
（2）∵△ABP旋转后能与△CBE重合，
∴BP＝BE＝2，∠PBE＝90°，
∴PE＝PB＝2．
答：（1）△ABP旋转的旋转中心是点B，按顺时针方向旋转90°；（2）PE为2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
25．如图，已知AD＝AE，AB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠A＝50°，问△ADC经过怎样的变换能与△AEB重合？
【分析】（1）要证明∠B＝∠C，可以证明它们所在的三角形全等，即证明△ABE≌△ACD；已知两边和它们的夹角对应相等，由SAS即可判定两三角形全等．
（2）因为△ABE≌△ACD，公共点A，对应线段CD与BE相交，所以要通过旋转，翻折两次完成．
【解答】（1）证明：在△AEB与△ADC中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B＝∠C．
（2）解：先将△ADC绕点A逆时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AE对折，即可得△ADC与△AEB重合．
或先将△ADC绕点A顺时针旋转50°，
再将△ADC沿直线AB对折，即可得△ADC与△AEB重合．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边．
26．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．
【分析】（1）根据点的位置，直接写出点的坐标；
（2）根据（1）中发现的规律，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，即横坐标的和为0，纵坐标的和为0，列方程，求a、b的值．
【解答】解：（1）由图象可知，点A（2，3），点D（﹣2，﹣3），点B（1，2），点E（﹣1，﹣2），点C（3，1），
点F（﹣3，﹣1）；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
（2）由（1）可知，a+3+2a＝0，4﹣b+2b﹣3＝0，解得a＝﹣1，b＝﹣1．
【点评】本题考查了坐标系中点的坐标确定方法，对应点的坐标特征．关键是通过观察发现规律，列方程求解．
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