2019年浙教新版九年级上册数学第4章相似三角形单元测试卷（解析版）

2019年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．已知A，B两地的实际距离AB＝5km，画在图上的距离为CD＝2cm，则该图的比例尺为（　　）
A．2：5 B．1：250000 C．250000：1 D．1：2500
3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（　　）

A． B． C． D．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是（　　）
A．AD＝6，BD＝4，AE＝2.4，CE＝1.6，
B．DB＝2，AB＝6，CE＝1，AC＝3
C．AD＝4，AB＝6，AE＝2，AC＝3
D．AD＝4，AB＝6，DE＝2，BC＝3
5．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
6．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
9．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
10．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共8小题）
11．已知＝，则＝　 　．
12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是　 　km．
13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为　 　cm（结果保留根号）．
14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝　 　．

15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是　 　cm2．
16．当两个相似三角形的相似比为　 　时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
17．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝　 　．

18．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC＝6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为　 　．

三．解答题（共8小题）
19．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．

21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．

22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长．

23．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．

24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有　 　对相似三角形，写出来分别为　 　（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE 交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）求CF的长．




2019年浙教新版九年级上册数学《第4章 相似三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
2．已知A，B两地的实际距离AB＝5km，画在图上的距离为CD＝2cm，则该图的比例尺为（　　）
A．2：5 B．1：250000 C．250000：1 D．1：2500
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列出比例式直接计算即可．
【解答】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．
5km＝500000cm，得比例尺＝2：500000＝1：250000，
故选：B．
【点评】理解比例尺的概念，注意单位要统一．
3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AC＝AB＝2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先证明BD∥AE，可得△AEF∽△BDF，推出＝（）2，想办法求出即可解决问题；
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BC＝BE，
∴∠C＝∠BEC＝72°，
∴∠EBC＝36°，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∵∠DBE＝72°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴BD∥AE，
∴△AEF∽△BDF，
∴＝（）2，
设BC＝BE＝AE＝x，CE＝2﹣x，
∵∠C＝∠C，∠CBE＝∠A，
∴△CBE∽△CAB，
∴＝，
∴BC2＝CE?CA，
∴x2＝（2﹣x）2，
∴x2+2x﹣4＝0，
∴x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣（舍），
∴＝（）2＝
故选：C．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是（　　）
A．AD＝6，BD＝4，AE＝2.4，CE＝1.6，
B．DB＝2，AB＝6，CE＝1，AC＝3
C．AD＝4，AB＝6，AE＝2，AC＝3
D．AD＝4，AB＝6，DE＝2，BC＝3
【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、由AD＝6，BD＝4，可以得出，AE＝2.4，CE＝1.6，得出，就有，可以得出DE∥BC；
B、由DB＝2，AB＝6，可以得出，CE＝1，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC；
C、由AD＝4，AB＝6，可以得出，AE＝2，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC；
D、由AD＝4，AB＝6，可以得出，DE＝2，BC＝3得出＝，但是DE与BC不是被截线，故平行结论不成立．
故选：D．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系．
5．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
6．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．
7．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据两角对应相等，两三角形相似判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴∠BAC＝∠BAD＝∠CDE＝90°，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC（两角对应相等，两三角形相似）
∴∠ADB＝∠ABC，
∴△ABD∽△EFB，
且△ABD∽△AFD
故选：B．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
8．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】结合已知条件可以推出两三角形相似，以及它们的相似比，根据相似三角形的性质，即可得出面积比．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2，
∵＝，
∴S△ADE：S△ABC＝（）2＝1：4．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，关键在于求证三角形相似，根据已知推出相似比．
9．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由平行得相似，由相似得比例，即可作出判断．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案．
【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴＝，
∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ABC＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知＝，则＝　　．
【分析】根据＝，可得＝，再根据比例的性质即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴﹣＝，
＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，关键是将＝变形为＝．
12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是　58　km．
【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米．
即实际距离是58千米．
故答案为：58．
【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为　3（﹣1）　cm（结果保留根号）．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）．
故本题答案为：3（﹣1）．
【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值．
14．如图，已知：l1∥l2∥l3，AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，则AC＝　15　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出BC的值，即可得出答案．
【解答】解：∵：l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝6，DE＝5，EF＝7.5，
∴BC＝9，
∴AC＝AB+BC＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
15．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是　27　cm2．
【分析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解．
【解答】解：设宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得x＝．
∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，
∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，
故答案为：27．
【点评】此题主要考查多边形相似的性质：对应边长成比例，相似比的平方等于面积比，学生对此性质要熟练掌握．
16．当两个相似三角形的相似比为　1：　时，这两个相似三角形的面积比是1：2．
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【解答】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．
故答案为：1：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝　4或6　．

【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故＝＝，
则＝，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．


【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
18．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC＝6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为　4　．

【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交DG于P，如图所示：
∵△ABC的面积＝BC?AH＝9，BC＝6，
∴AH＝3，
设正方形DEFG的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
即，
由BC＝6，AH＝3，DE＝DG＝x，
得，
解得x＝2．
故正方形DEFG的面积＝22＝4；
故答案为：4．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
三．解答题（共8小题）
19．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【分析】（1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；

（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2．
【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
20．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．

【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．
【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．
即A、B间的实际距离是105m．

【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E，
（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；
（2）若AB＝4，求BC的长．

【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE＝36°，从而得到∠BCE＝∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；
（2）根据等角对等边的性质可得AE＝CE＝BC，再根据黄金分割求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∴∠BCE＝∠A＝36°，
∴AE＝BC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴BC2＝AB?BE，
即AE2＝AB?BE，
∴E为线段AB的黄金分割点；

（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BC＝CE，
由（1）已证AE＝CE，
∴AE＝CE＝BC，
∴BC＝?AB＝×4＝2﹣2．
【点评】本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键．
22．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得＝＝，则可计算出BC＝6，BF＝BE，然后利用BE+BE＝7.5求BE．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，即＝＝，
∴BC＝6，BF＝BE，
∴BE+BE＝7.5，
∴BE＝5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．

【分析】可先假设矩形成立，根据相似列式计算，最后求得矩形的长和宽相等，则只能是正方形．
【解答】解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b＝（a﹣2c）：（b﹣2c），
解得a＝b，
∴只能是正方形了．
【点评】本题考查相似多边形的性质．根据题意设未知数并列式是关键．
24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

【分析】先根据相似三角形的性质求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴＝，即＝，解得DF＝3，
∴EF＝＝＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
（1）图1中共有　3　对相似三角形，写出来分别为　△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD　（不需证明）；
（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB?CD＝AC?BC，即可求出CD的长；
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．
【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；

（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝6．
∵△ABC的面积＝AB?CD＝AC?BC，
∴CD＝＝＝4.8；

（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，
∴OB＝＝3.6．
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，
∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴PE＝1.8．
在△BPE中，BE＝＝＝1.35，
∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，
∴点P的坐标为（2.25，1.8）．
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．


【点评】本题结合动点问题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE 交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF．
（2）求CF的长．

【分析】（1）由同角的余角相等可得出∠DEF＝∠ABE，结合∠A＝∠D＝90°，即可证出△ABE∽△DEF；
（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF＝CD﹣DF即可求出CF的长．
【解答】（1）证明：∵EF⊥BE，
∴∠EFB＝90°，
∴∠DEF+∠AEB＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵AD＝12，AE＝8，
∴DE＝4．
∵△ABE∽△DEF，
∴＝，
∴DF＝，
∴CF＝CD﹣DF＝6﹣＝．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF＝∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．